2019年II非平衡态统计物理

II ．非平衡态统计物理

第一章 气体运动方程

第一节

玻尔兹曼方程

全同粒子，近独立体系，粒子数不变μ空间。

单粒子微观状态用（p r ,）描述，（p r ,）张开的空间称。

平衡态

系统的微观状态可用分布函数描述

()()εε,,f p r f =

为单粒子能量

——处于（v r ,）处的粒子数的密度分布。

思考题：与正则系综理论的关系，例如，如何写出配分函数。 非平衡态

粒子数密度与时间t 有关

()t p r f ,,

关键：如何求f ？

显然，如果t 是微观时间，求解()t p r f ,,

的难度和解微观运

动方程差不多。所以，t 一般是某种介观时间或宏观时间。

• 先试图写下f 的运动方程 • 再讨论如何求解

如果粒子不受外力，没有粒子间的碰撞，我们有粒子流守恒方程

()0=⋅∇+∂∂f v t

f

如何来的？对V ∆积分

()0=⋅∇+∂∂⎰⎰∆∆V V dV f v dV t f

()⎰

⎰∆∆-=∂∂⇒V

S

S d f v dV f t

左边： V ∆中单位时间粒子数的增加 右边： 单位时间流入V ∆的粒子数。

注意：S d

的方向为向外的，至少在局部v 是常数，所以，v dS -⋅是

从dS 流入V ∆的粒子数，因为

d S

dl ds

v ds dt dV

dt

⋅-⋅=

= v

- V ∆ 另一方法：

没有外力，p 至少在局部是常数。 ()()()t r f dt t r f t r df ,,, -+=

dt t +时刻处于r

处的粒子

＝t 时刻处于dt v r -的粒子

因为在dt 内粒子移动

dt v r d = ()

((,)(,))/((,)(,))/f

f r t dt f r t dt f r vdt t f r t dt t

f

v v f r ∂=+-=--∂∂=-⋅=-∇⋅∂ 如果粒子受外力，但互相不碰撞

()()(),,,,,,df r p t f r v dt p p dt t f r p t =---

f f f v p

t r p

f f v F

r p

∂∂∂∴=-⋅-∂∂∂∂∂=-⋅-∂∂ 如果粒子相互碰撞

c t f p f F r f

v t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂+∂∂⋅+∂∂ 玻尔兹曼方程 c

t f ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂为由粒子碰撞引起的粒子数密度的变化 假设

• 只有两体碰撞 • 边界条件不重要

• 外力只对单粒子运动起作用，不影响碰撞 • 不同相空间点的f 没有关联 • 时间标度远大于分子碰撞时间 空间标度远大于分子尺度

二体碰撞 p ''

入射

p p ', p

p '

出射

p p ''''', p '''

能量守恒 εεεε'''+''=+'

动量守恒 p p p p

'''+''='+

逆过程也类似

p ''

出射

p p ', p

p '

入射

p p ''''', p '''

能量守恒

εεεε'''+''=+'

动量守恒

p p p p

'''+''='+ • 在r 处，t 时刻由p p ''''',产生p p ',的概率为

()(),,,,f r p t f r p t R '''''

()()εεεεδδ'''-''-+⋅'''-''-'+∝'p p p p R

在()p r

,处增加的粒子数为

()()⎰

'''''''''''p d p d p d R t p r f t p r f

,,,, 在t 时刻，在()p r ,处减小的粒子数为

()()⎰'''''''p d p d p d R t p r f t p r f

,,,,

()⎰'''''''-'''''=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∴p d p d p d R f f f f t f c

()()

()()

t p r f f t p r f f t p r f f t p r f f ,,,,,,,,

'''='''''='''='=

注意：这里我们假设t 是介观时间，已略去分子碰撞细节。

习题：假设 ()r U m P +=22

ε，计算出c

t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂中对p d p d '''''的积分

第二节 一些简单例子

1、平衡态

“平衡”

()()p r f t p r f ,,,=⇒ 0,0=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=∂∂⇒

c

t f t f

（这似乎是充分条件） 0=∂∂+∂∂∴p

f

F

r f m p 设

()(),f r p f ε=

()()r

r U F r U m

p

∂∂-=+=22ε

f f p f p p m f f U f F r r εεεεε

∂∂∂∂==

∂∂∂∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂ ()0=∂∂⋅+∂∂-∴ε

εf m p F f F m p

即()()p r f f

,ε=为平衡态的解的形式

0=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂c

t f 为了保证, ()εf 还必须受到限制，如()εβε-e f ~等。

思考题：为什么？（因为 ''''''0f f f f -=） 2、没有碰撞，没有外力

0,0==⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂F t f c

0=∂∂+∂∂∴r

f v t f