数列求和7种方法(方法全_例子多)
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一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(611
2
++==∑=n n n k S n
k n
5、 21
3
)]1(2
1
[+==
∑=n n k
S n k n [例1] 已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）
＝x x x n
--1)1(＝
2
11)
211(21--n ＝1－n 21
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2
1
++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当
8
8-
n ，即n ＝8时，501)(max =n f
题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝
题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .
解： 原式=
答案：
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21
}的通项之积
设n n n
S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S （错位相减）
1122212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
练习题1 已知
，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .
答案：
练习题2 的前n 项和为____
答案：
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证：n n
n n n n
n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得 n
n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ n
n n S 2)1(⋅+=
[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
解：设
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2
2
=+-=x x x x
①+②得 （反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴ S ＝44.5