第15课时___指数式与对数式

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课题：指数式与对数式
教学目标：1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质．
教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明，指数及对数方程的解法 （一） 主要知识：
1.n 次方根的定义及性质：n 为奇数时，a a
n n
=，n 为偶数时，a a
n n
=.
2.分数指数幂与根式的互化：
n m
n
m
a a
=
m n
a
-=(0a >,,*m n N ∈，且1n >)
零的正分数指数幂为0，0.
3.指数的运算性质：r s r s a a a += ，()r
r
r
ab a b = （其中,0a b >，,r s R ∈）
4.指数式与对数式的互化：log b
a a N N b
=⇔=．N
a N
a
=log
，log N a a N =.
5.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有
log ()log log a a a M N M N =+； log log log a a a M M N N
=-； log log n
a a M
n M =；
1log log a
a M n
=
6.换底公式及换底性质：
()1 log log log m a
m N N a =
(0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)
()
2a
b b
a
log
1log
=
，()3c c b a b a log log log =⋅， ()4b
n
m b
a
m
a
n
log
log
=
7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
()
1()
()log f x a a
b f x b =⇔=；log ()()b
a f x
b f x a =⇔=（定义法）
()2()()()()f x g x a a f x g x =⇔=；log ()log ()a a f x g x =⇔ ()()0f x g x =>（同底法） ()3()()f x g x a b =⇔()log ()log m m f x a g x b = (两边取对数法)
()4log ()log ()a b f x g x =⇔1log ()log ()log a a a f x g x b
= (换底法)
()
52log log 0a
a A x B x C ++=（()
2
0x
x
A a
Ba C ++=）（设log a t x =或x
t a =）（换元法）
（二）主要方法：
1.重视指数式与对数式的互化；
2.根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；
3.不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；
4.运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．
5.指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.
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（三）典例分析： 问题1．计算：()1
)0,0(3
2
24
>>⋅
-b a ab
b a
；
()
2()
()
3
12
12
3
3
2
140.1a
b
---⎛⎫⋅
⎪
⎝⎭
()
31
21
3
16324(12427162(8
)-
-+-+-
()
43948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；
()52(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；
问题2．()1已知1
12
2
3x
x
-
+=，求
223
322
23
x x
x x
--
+-+-的值；
()2
27log 4
=
.A 3 .B 4
.C 6
.D 9
115
()3已知n y m x a
a
==log
,log
，求log a ⎝
；
问题3．已知3
5a
b
c ==，且
112a
b
+
=，求c 的值．
问题4．()1（00上海春）方程()()()3
3
3
log 31log 1log 3x x x -=-++ 的解是
()2（02上海）方程()3log 12321x x -⋅=+的解x =
问题5．设1x >，1y >，且2log 2log 30x
y y x -+=，求224T x y =-的最小值．
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（四）巩固练习：
1.已知23
4x
-=，则x =
2.求551
log 272log 2
3
25
+的值.
3.设,518
,9log
18
==b
a ，求45log
36
.
4. 若3128x y ==，则
11x
y
-
=
5.（06成都市诊断）lg 83lg 5+的值为 .A 3- .B 1- .C 1
.D 3
（五）课后作业：
1.方程()
3lg lg 2lg 2+=+x x 的解是
2.方程()()51log
1log
4
2
2
=+++x x 的解是
3.设1
5
11
2
1)
3
1
(log
)
3
1
(log
--+=x ，则x 属于区间
.A ()2,1-- .B ()1,2 .C ()3,2-- .D ()2,3
117
4.若239103x x +=⋅，那么21x +的值为
.A 1
.B 2 .C 5 .D 1或5
5.已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，则
y
x 的值为
.A 1
.B 4 .C 1或4
.
D 4
1或4
6.如果方程()2
lg lg 7lg 5lg lg 7lg 50x x ++⋅+⋅=的两根为α、β，则αβ的值是
.A lg 7lg 5⋅
.B lg 35
.C 35
.
D 35
1
7.64log 32= ；5
361log log 6log 23
x ⋅⋅=，则x =
若2a =，12log 3=
8.
52
3
2
+的值为
.A 2
.
B
.
C 9
.
D 3
9.21(5)2x f x -=-，则(125)f =
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10.已知：1a b >>，10log log 3
a b b a +=
log log a b b a -的值为
11.求值或化简：(1)142log
2
112log 48
7
log
2
22
--
+=
)
2(11lg 9lg 240212361lg 27lg
3
5+-+-
+=
11.若3log 41x =，求
332
2
22
x x x
x
--++的值
12.已知log 2a x =，log 1b x =，log 4c x =，则log abc x =
.A 47
.
B 27
.
C 72
.
D 74
13.设12
x <-
=
.A
.B
.C
.D
119
14.已知：23
4x
-=，则x = 11
2
3
3
3812849-
⎛⎫
⎛⎫⨯⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
15.设0a >
=
.A
.B
.C
.D
16.函数3()og f x l x =，则()1
9log 2f
--的值是
.A 2 .
B 2 .
C 2
2 .
D 3
o g l
17.552log 10log 0.25+=
18.
2b =，则有
.A a b > .B a b < .C a b = .D a b ≤
（六）走向高考：
1.（04全国Ⅲ文）解方程012242=--+x x
120
2.（07上海文）方程9
13
1
=
-x 的解是
3. （07上海）方程 96370x x -∙-=的解是
4.（07上海春）若1x 、2x 为方程11
122x x
-+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的两个实数解，则12x x +=
5.（07湖南文）若0a >，2
349
a =
，则23
log a =
6.（05广东）函数x
e
x f -=
11)(的定义域是
7. (05全国Ⅱ) 设函数11
()2
x x f x +--=，求使()f x
≥的x 取值范围．
8.（04
湖北文）若111a
b
<
<
，则下列结论中不正确的是
.A log log 1a b b a ⋅= .B l o g l o g 2
a
b b a +> .C 2
(log )1b a <
.D l o g l o g l o g l o g
a
b a b
b a b a +>
+
9.（04
北京）方程()lg 42lg 2lg 3x x +=+的解是
10.（06辽宁文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为
11.（06上海文）方程2
33log (10)1log x x
-=+的解是。