曲边梯形的面积与定积分

设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间[a,b]等分成n个小区间，
在每个小区间 [xi1, xi ] 任 n 取i [xi1, xi ]
n
做和式：
f (i )x
f (i )(b a) / n.
练习
1、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 xi , xi1
上的近似值等于（ C ）
A.只能是左端点的函数值 f (xi )
B.只能是右端点的函数值 f (xi1)
C.可以是该区间内任一点的函数值 f (i )
D.以上答案均不正确
(i xi , xi1 )
二.定积分定义
3 3 x 2 1 dx
1
x2
解:

x3
'
3x2 ,
1 ' x


1 x2
原式
3
3x2dx
31 dx
3
3x2dx
3 1 dx
1
x 1
2
1
1 x2

x3
3 1

1 x
3 1

33
13

1 3

1 1


76 3
达标练习：
1 1 3t2 2dt _1__ 0
2
2
x

1
dx

_23__
ln
2
1 x
3 23x2 2x 1dx __9_ 1
4 2ex 1dx e__2 _ e 1 1
初等函数
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
11
11 1
S

n3
(n 1)n(2n 1) 6
(1 6
)(2 n
) n
（4）取极限
当分割的份数无限增多, 即n → ∞,△x → 0时
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
【错解】 52(x－2)dx＝25（x－2）dx，

0
0
由定积分的几何意义知5(x－2)dx 是由直 0
线 y＝x－2，x＝0，x＝5 及 x 轴所围成的
图形的面积(如图所示的阴影部分)，
错解！ 解：
∴5(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123， 0
1, n
i n

上任意一
点ξi处的值fξi 作近似值,都有
S

lim
n
n i1
f
ξi
Δx

1 lim f n n
ξi
1. 3
y
f b
y fx
f a
oa
bx
图1.5 1
• 求曲边梯形面积： • (1)思想：以直代曲． • (2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． • (3)关键：近似代替． • (4)结果：分割越细，面积越精确．
1 a2 2
5 3、3 (2 x)2 dx＝？ 2 0
4、3 9 x2 dx＝？9
0
4
理解练习
见学案例1；例2；例3
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a f (x)dx F(b) F(a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz
1 n

1 n3
[12

22



(n
1) 2

n2 ]
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S

1 n3
[12

22



(n
1)2

n2 ]
1 n(n 1)(2n 1) 1 1 1 1
n3
6
(1 )(2 ) 6n n3
可以证明,取f
x

x2在区间i

a
c
定积分的简单性质
(1)
b
kf (x)dx k
b
f (x)dx
(k为常数)
a
a
b
b
b
(2) a [f1(x) f2 (x)]dx a f1(x)dx a f2 (x)dx
b
c
b
(3)a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx (a<c<b)
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关
f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx

A
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
b
a
f
(
x
)dx


A
曲边梯形的面积的负值
A1
A2
A3
A4
b
a
f
( x)dx

A1

A2

A3
A4
定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
i1
i 1
Si f (i )x
n
且有，lim n0 i1
f (i )(b a) / n
A(常数）
则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)
记作 b
a f (x)dx
即A
b
n
f ( x)dx lim
a
n 0 i 1
f (i（ ) b - a) / n
1.4.1
曲边梯形的面积与定积分
了解：几个常用求和公式
1 2 3 ...... n n(n 1) 2
12 22 32 ...... n2 n(n 1)(2n 1) 6
13 23 33 ...... n3 ( n(n 1))2 2
一. 曲边梯形的定义
∴52(x－2)dx＝2×123＝13. 0
• 【错因分析】 在应用定积分的几何意义求 定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面 积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错 误．
即A
b
n
f ( x)dx lim
a
n 0 i 1
f (i（ ) b - a) / n
【防范措施】 若 f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的
积分上限
积分和
即A
b
n
f (x)dx lim
a
n0 i1
f
(i
)
b
n
a
积分下限
被
被积
积 函 数
积 表 达 式
分 变
[a,b] 积分区间
量
规定：a f (x)dx 0,
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
a
b
说明（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
n
1 +
1
x
| n+1 b a
3) (sin x )' cos x

b cos xdx
a

sin x |ba
4) (cos x )' sin x

b sin xdx
a
-
cos x |ba
5) (ln x )' 1
x

b 1 dx ax
ln|x ||ba
6) (e x )' e x
题型1：定积分的简单性质的应用
1、化简 1 f (x)dx
2
f (x)dx
3 f (x)dx
2008
f (x)dx
0
1
2
2007
2008
0 f (x)dx
题型2：定积分的几何意义的应用
问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。
1、3 4dx＝？ 1
8
2、a xdx＝？ 0
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
所以S 1 . 3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 （2）近似代替
y
不足近似值！
（3）求面积的和
（4）取极限 n
o
x
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si

n i1
f( i ) 1 nn

n ( i )2 i1 n

ln
b

ln a
213
2 xdx

x2
3 1

32

12

8
练习1:
1
1
1d
x

__1__
0
1
21xdx _2___
0
1
3
1
x3dx
_4___
0
4
2
x3dx
15
_4___
1
公式2：b x ndx x n1 b
a
n1 a
例２．计算定积分
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩
阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边
梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
（2） 近似代替 (不足近似值)
Si

f (i 1)x n

(i 1)2 n
1 n
y
O 12 nn
y x2
k n
nx
n
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1 n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n 1 [02 12 22 (n 1)2 ] n3
Formula).
或记作
b
a
f
( x)dx

源自文库
F(x)
b a

F (b)

F (a).
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积
函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数 在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把
计算定积分归结为求原函数的问题。
三、小结
微积分基本定理
b
a
f
( x)dx

F(b)
F (a)
b
公式1：
1dx

ln
x
b

ln b

ln a
ax
a
b
公式2：xndx
x n1
b
a
n1 a
定积分公式
1) (cx )' c
b cdx
a

cx |ba
2) x n' nx n1
b x ndx
a

b
定积分 f (x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 a
S1
S3
S2
b
2、定积分 f (x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯
形面积的代a数和来表示。
b a
f
( x)dx

S1

S2

S3
对定积分的几何意义理解有误导致错误
用定积分的几何意义求定积分52(x－2)dx. 0
1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连
续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的
图形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=b
x=a
曲边梯形的特点
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
Oa
bx
问题1 圆的面积公式是如何推导的？
曲边梯形的面积
将圆分成若干等份
r
r
无限分割！
y = f(x) y

b e xdx
a
e x |ba
7) (ax )' ax lna
b axdx
a

ax ln a
|ba
牛顿
• 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。1642年12月25日 生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索 普村,1727年3月20日在伦敦病逝。
• 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院 ，1665年获文学士学位。随后两年在家乡 躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多 数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后 当选为三一学院院委，次年获硕士学位。 1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年 任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年 任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜 封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。
b a
f
(x)dx

F ( x)
|ba
F (b)

F (a)
例1 计算下列定积分
找出f(x)的原 函数是关键
112
1dx x
213 2xdx
解（１）ln x' 1
x
2 1
1 dx x

ln
x
2 1

ln
2

ln 1

ln
2
公 式1：ab
1dx x

ln
x
b a
面积 S＝bf(x)dx； a 若 f(x)≤0 ， 则 在 [a ， b] 上 曲 边 梯 形 的 面 积 S ＝
－bf（x）dx； a 若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在
[a，b]上曲边梯形的面积 S＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.