高考复习专题10 空间向量与立体几何选择填空题(含解析)三年高考试题

1．【2019年新课标3理科08】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
2．【2019年全国新课标2理科07】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
3．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O 的体积为（）
A．8πB．4πC．2πD．π
4．【2019年浙江04】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）
A．158B．162C．182D．324
5．【2019年浙江08】设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）
A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β
6．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A．2B．2C．3D．2
7．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）
A．B．C．D．
8．【2018年新课标2理科09】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则
异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
9．【2018年新课标3理科03】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
A．B．
C．D．
10．【2018年新课标3理科10】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．54
11．【2018年浙江03】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．2B．4C．6D．8
12．【2018年浙江06】已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
13．【2018年浙江08】已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB 上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）
A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1
14．【2018年上海15】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A．4B．8C．12D．16
15．【2018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形
的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
16．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个
面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10B．12C．14D．16
17．【2017年新课标2理科04】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
A．90πB．63πC．42πD．36π
18．【2017年新课标2理科10】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
19．【2017年新课标3理科08】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．πB．C．D．
20．【2017年浙江03】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：
cm3）是（）
A．1B．3C．1D．3
21．【2017年浙江09】如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、
R分别为AB、BC、CA上的点，AP＝PB，2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α
22．【2017年北京理科07】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）
A．3B．2C．2D．2
23．【2019年天津理科11】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．
24．【2019年新课标3理科16】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．
25．【2019年北京理科11】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为．
26．【2019年北京理科12】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．27．【2019年江苏09】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．
28．【2018年江苏10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．
29．【2018年新课标2理科16】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为．30．【2018年天津理科11】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为．
31．【2017年江苏06】如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线
均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．
32．【2017年新课标1理科16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．
33．【2017年新课标3理科16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是．（填写所有正确结论的编号）
34．【2017年上海04】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．35．【2017年上海07】如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．
36．【2017年天津理科10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．
1．【2019年新课标3理科08】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平
面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【解答】解：∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，
M是线段ED的中点，
∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，
∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，
∴直线BM，EN是相交直线，
设DE＝a，则BD，BE，
∴BM a，EN a，
∴BM≠EN，
故选：B．
2．【2019年全国新课标2理科07】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；
对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；
对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；
对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．
故选：B．
3．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）
A．8πB．4πC．2πD．π
【解答】解：如图，
由P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，
则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，
则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，
∵E，F分别是P A，AB的中点，∴EF∥PB，
又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面P AC，
∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为D．
半径为，则球O的体积为．
故选：D．
4．【2019年浙江04】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）
A．158B．162C．182D．324
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，
即27，
高为6，则该柱体的体积是V＝27×6＝162．
故选：B．
5．【2019年浙江08】设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）
A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β
【解答】解：方法线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC于F，过D作DH∥AC，交BG于H，
则α＝∠BPF，β＝∠PBD，γ＝∠PED，
则cosαcosβ，可得β＜α；
tanγtanβ，可得β＜γ，
方法由最大角定理可得β＜γ'＝γ；
方法易得cosα，可得sinα，sinβ，sinγ，
故选：B．
6．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A．2B．2C．3D．2
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：2．
故选：B．
7．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面
积的最大，
此时正六边形的边长，
α截此正方体所得截面最大值为：6．
故选：A．
8．【2018年新课标2理科09】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，
AA1，
∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），
B1（1，1，），
（﹣1，0，），（1，1，），
设异面直线AD1与DB1所成角为θ，
则cosθ，
∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
故选：C．
9．【2018年新课标3理科03】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．
故选：A．
10．【2018年新课标3理科10】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）
A．12B．18C．24D．54
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB＝6，
球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C，OO′2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：18．
故选：B．
11．【2018年浙江03】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．
如图所示：
故该几何体的体积为：V．
故选：C．
12．【2018年浙江06】已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵m⊄α，n⊂α，
∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，
当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，
则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
故选：A．
13．【2018年浙江08】已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB 上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）
A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1
【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．
过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，
连接SN，
取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN＝OM，
则θ1＝∠SEN，θ2＝∠SEO，θ3＝∠SMO．
显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．
∵tanθ1，tanθ3，SN≥SO，
∴θ1≥θ3，
又sinθ3，sinθ2，SE≥SM，
∴θ3≥θ2．
故选：D．
14．【2018年上海15】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A．4B．8C．12D．16
【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，
而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4＝8，
当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，
当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，
故有8+4+4＝16
故选：D．
15．【2018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：P A⊥底面ABCD，
AC，CD，
PC＝3，PD＝2，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△P AB，△PBC，
△P AD．
故选：C．
16．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10B．12C．14D．16
【解答】解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S梯形2×（2+4）＝6，
∴这些梯形的面积之和为6×2＝12，
故选：B．
17．【2017年新课标2理科04】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
A．90πB．63πC．42πD．36π
【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，
V＝π•32×10•π•32×6＝63π，
故选：B．
18．【2017年新课标2理科10】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC ＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，]），
可知MN AB1，
NP BC1；
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ＝1，MQ AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC
＝4+1﹣2×2×1×（）
＝7，
∴AC，
∴MQ；
在△MQP中，MP；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP；又异面直线所成角的范围是（0，]，
∴AB1与BC1所成角的余弦值为．
【解法二】如图所示，
补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；
BC1，BD，
C1D，
∴BD2，
∴∠DBC1＝90°，
∴cos∠BC1D．
故选：C．
19．【2017年新课标3理科08】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．πB．C．D．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r，
∴该圆柱的体积：V＝Sh．
故选：B．
20．【2017年浙江03】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A．1B．3C．1D．3
【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为π×12×331，
故选：A．
21．【2017年浙江09】如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、
R分别为AB、BC、CA上的点，AP＝PB，2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α
【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．
不妨设OP＝3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3，﹣3，0）．Q，R，
，（0，3，6），（，6，0），，
．
设平面PDR的法向量为（x，y，z），则，可得，
可得，取平面ABC的法向量（0，0，1）．
则cos，取α＝arccos．
同理可得：β＝arccos．γ＝arccos．
∵．
∴α＜γ＜β．
解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．
设OD＝h．
则tanα．
同理可得：tanβ，tanγ．
由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．
∴α＜γ＜β．
故选：B．
22．【2017年北京理科07】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）
A．3B．2C．2D．2
【解答】解：由三视图可得直观图，
再四棱锥P﹣ABCD中，
最长的棱为P A，
即P A
＝2，
故选：B．
23．【2019年天津理科11】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．
【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，
由勾股定理得：正四棱锥的高为2，
由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；
由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，
则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1；
故答案为：
24．【2019年新课标3理科16】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．
【解答】解：该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，
E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，
∴该模型体积为：
V O﹣EFGH
＝6×6×4
＝144﹣12＝132（cm3），
∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，
∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8（g）．
故答案为：118.8．
25．【2019年北京理科11】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，
则该几何体的体积V．
故答案为：40．
26．【2019年北京理科12】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．
【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得：
若l⊥α，l⊥m，则m∥α．
故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．
27．【2019年江苏09】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．
【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，
∴AB×BC×DD1＝120，
∴三棱锥E﹣BCD的体积：
V E﹣BCD
AB×BC×DD1
＝10．
故答案为：10．
28．【2018年江苏10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．
【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，
八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，
多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2．
故答案为：．
29．【2018年新课标2理科16】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠ASB
．
△SAB的面积为5，
可得sin∠ASB＝5，即5，即SA＝4．
SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：2．
则该圆锥的侧面积：π＝40π．
故答案为：40π．
30．【2018年天津理科11】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为．
【解答】解：正方体的棱长为1，M﹣EFGH的底面是正方形的边长为：，
四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，
四棱锥M﹣EFGH的体积：．
故答案为：．
31．【2017年江苏06】如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线
均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．
【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，
圆柱的体积为：πR2•2R＝2πR3．
则．
故答案为：．
32．【2017年新课标1理科16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．
【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG BC，即OG的长度与BC的长度成正比，
设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5﹣x，
三棱锥的高h，
3，
则V，
令f（x）＝25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）＝100x3﹣50x4，
令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，
则f（x）≤f（2）＝80，
∴V4cm3，∴体积最大值为4cm3．
故答案为：4cm3．
解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG，∴FG＝SG＝5，
SO＝h，
∴三棱锥的体积V
，
令b（x）＝5x4，则，
令b′（x）＝0，则4x30，解得x＝4，
∴（cm3）．
故答案为：4cm3．
33．【2017年新课标3理科16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是．（填写所有正确结论的编号）
【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|＝1，|AB|，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，
直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量，（cosθ，sinθ，﹣1），||，
设与所成夹角为α∈[0，]，
则cosα|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴③正确，④错误．
设与所成夹角为β∈[0，]，
cosβ|cosθ|，当与夹角为60°时，即α，
|sinθ|，
∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，
∵β∈[0，]，∴β，此时与的夹角为60°，
∴②正确，①错误．
故答案为：②③．
34．【2017年上海04】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．
【解答】解：球的体积为36π，
设球的半径为R，可得πR3＝36π，
可得R＝3，
该球主视图为半径为3的圆，
可得面积为πR2＝9π．
故答案为：9π．
35．【2017年上海07】如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．
【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），
∴．
故答案为：（﹣4，3，2）．
36．【2017年天津理科10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．
【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2＝18，
则a2＝3，即a，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即a＝2R，
即R，
则球的体积Vπ•（）3；
故答案为：．。