平面向量及其运算
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②向量的减法向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差。即： = + ( )；
可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点。
③实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是任意的。
（2）若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值。
1．下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设点 ， ,若点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为（）
A． B． C． 或 D．无数多个
3．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
4．向量 ， ，若 与 平行，则 等于
注意：与 轴、 轴方向相同两个单位向量 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底不惟一，关键是不共线；
由定理可将任一向量ａ在给出基底 、 的条件下进行分解；
基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被 ， 、 唯一确定的数量。
⑤向量运算运算律：
； ；
；
4、平面向量的数量积：
（1）“投影”的概念：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
（2） ；规定 ；
几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积
（3）设 和 都是非零向量，则 ． 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ． ．
（4）运算律： ； ；
3.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝ ，且m·n＝ .
(1)求角A的大小；(2)若a＝ ，试判断bc取得最大值时△ABC的形状。
4.设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx， sin2x)，x∈R.
(1)若f(x)＝1－ 且x∈[－ ， ]，求x；
(2)若y＝2sin2x的图象按向量c＝(m，n)(|m|< )平移后得到y＝f(x)的图象，求实数m、n的值。
5.已知向量 =3i－4j， =6i－3j， =（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量。
（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
④两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 。
3、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 可表示成 ，记作 =(x,y)。
（2）平面向量的坐标运算：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| |＝ .
①若 ，则
②若 ，则
③若 ，则
④若 ，则 ；若 ，则
11．若 = ， = ，则 在 上的投影为________________。
12．已知 ， ，其中wk.baidu.com．
(1)求证： 与 互相垂直；(2)若 与 的长度相等，求 的值( 为非零的常数)．
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④相等向量：长度相等且方向相同的向量。
⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
2、向量加减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
A． B． C． D．
5．若 是非零向量且满足 ， ，则 与 的夹角是（）
A． B． C． D．
6．设 ， ，且 ，则锐角 为（）
A． B． C． D．
7．若 ，且 ，则向量 与 的夹角为．
8．已知向量 ， ， ，若用 和 表示 ，则 =____。
9．若 , ， 与 的夹角为 ，若 ，则 的值为．
10．若菱形 的边长为 ，则 __________。
（5）坐标运算：若 ，则 ，或 ；
设非零向量 ， ，则 ； ．
1.已知 ，其中 。
⑴求证： 与 互相垂直；⑵若 与 （ ）的长度相等，求 。
2.(2013·江苏)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝ ，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点。
③实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是任意的。
（2）若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值。
1．下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设点 ， ,若点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为（）
A． B． C． 或 D．无数多个
3．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
4．向量 ， ，若 与 平行，则 等于
注意：与 轴、 轴方向相同两个单位向量 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底不惟一，关键是不共线；
由定理可将任一向量ａ在给出基底 、 的条件下进行分解；
基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被 ， 、 唯一确定的数量。
⑤向量运算运算律：
； ；
；
4、平面向量的数量积：
（1）“投影”的概念：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
（2） ；规定 ；
几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积
（3）设 和 都是非零向量，则 ． 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ． ．
（4）运算律： ； ；
3.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝ ，且m·n＝ .
(1)求角A的大小；(2)若a＝ ，试判断bc取得最大值时△ABC的形状。
4.设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx， sin2x)，x∈R.
(1)若f(x)＝1－ 且x∈[－ ， ]，求x；
(2)若y＝2sin2x的图象按向量c＝(m，n)(|m|< )平移后得到y＝f(x)的图象，求实数m、n的值。
5.已知向量 =3i－4j， =6i－3j， =（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量。
（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
④两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 。
3、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 可表示成 ，记作 =(x,y)。
（2）平面向量的坐标运算：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| |＝ .
①若 ，则
②若 ，则
③若 ，则
④若 ，则 ；若 ，则
11．若 = ， = ，则 在 上的投影为________________。
12．已知 ， ，其中wk.baidu.com．
(1)求证： 与 互相垂直；(2)若 与 的长度相等，求 的值( 为非零的常数)．
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④相等向量：长度相等且方向相同的向量。
⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
2、向量加减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
A． B． C． D．
5．若 是非零向量且满足 ， ，则 与 的夹角是（）
A． B． C． D．
6．设 ， ，且 ，则锐角 为（）
A． B． C． D．
7．若 ，且 ，则向量 与 的夹角为．
8．已知向量 ， ， ，若用 和 表示 ，则 =____。
9．若 , ， 与 的夹角为 ，若 ，则 的值为．
10．若菱形 的边长为 ，则 __________。
（5）坐标运算：若 ，则 ，或 ；
设非零向量 ， ，则 ； ．
1.已知 ，其中 。
⑴求证： 与 互相垂直；⑵若 与 （ ）的长度相等，求 。
2.(2013·江苏)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝ ，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．