和角公式应用

课题1 和角公式的应用

【教学目标】

1．熟练掌握和角公式，并能灵活应用它们解决相关问题．

2．应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式，了解公式的形式以及辅助角的意义．能较为熟练地使用辅助角公式．

【教学重点】

1．熟练掌握和角公式，会用公式及其变形公式进行计算和化简．

2．能较为熟练的使用辅助角公式，从中体会公式的作用．

【教学难点】

应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式．

【教学过程】

(一)复习提问

1．化简sin

π3cos x ＋cos π3

sin x ＝？ 2．sin 2α＋cos 2α＝？

3．tan(α＋β)＝________；tan α＋tan β＝________.

4．诱导公式：sin(π－α)＝________. (二)创境导入

教师提问：如何利用和角公式，将3cos x ＋sin x 化为一个三角函数的形式？ 教师提议：下面我们共同来研讨这个问题．

(这样很自然抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向．)

(三)讲授新课

[基础题组]

例4 利用和角公式，将3cos x ＋sin x 化为一个三角函数的形式．

分析：解决本题的关键是把cos x 和sin x 前的系数化成同一个特殊角的正弦值和余弦值的相同倍数后再求解． 解：3cos x ＋sin x ＝2sin π3cos x ＋2cos π3

sin x ＝2? ????sin π3cos x ＋cos π3sin x ＝2sin ? ??

??π3＋x . 说明：这个例题的解答过程体现了是数学中的化归思想．

教师提出问题：本题的解答采用的是两角和的正弦公式，你能采用两角和的余弦公式解答本题吗？并放手让学生用另一种方法解决此题．

[导入题组]

(1)多媒体屏幕显示导入题组，教师引导、启发学生完成填空，进行问题的探讨．导入题组的设置有利于分化难点，突出重点，拓宽思维，养成善于思考，善于提问的好习惯．

本题是将形如a sin ωx ＋b cos ωx 的函数合并化为一个三角函数的形式，请同学们完成下面的填空，然后结合例1的解答过程归纳出一般规律．

∵? ????a a 2＋b 22＋? ??

??b a 2＋b 22＝__________，

－1≤a

a 2＋

b 2≤1，－1≤b a 2＋b

2≤1， ∴a a 2＋b 2，b a 2＋b 2

可以作为同一个角的正弦(或余弦)值和余弦(或正弦)值， 设tan θ＝b a

，则 a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2(________sin ωx ＋________cos ωx )

＝a 2＋b 2(cos θsin ωx ＋________cos ωx )

＝a 2＋b 2sin(ωx ＋________)．

(2)师引导学生分析辅助角公式的特点，归纳出一般规律．

[巩固题组]

试根据上面的结论，将34sin3x ＋14

cos3x 合并为一个三角函数的形式． 让学生分析，并请一个学生板书，教师及时订正．

目的：使学生及时巩固，加深对运算法则的理解和应用．

[应用题组一]：

例5 已知α，β均为锐角，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114

，求cos β以及角β的值．

解：∵cos α＝17，α为锐角， ∴sin α＝

1－? ??

??172＝437. ∵0＜α＜π2，0＜β＜π2， ∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝－

1114

， ∴sin(α＋β)＝

1－? ??

??－11142＝5314. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]

＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α

＝－1114×17＋5314×437

＝12

. ∵β为锐角，∴β＝π3. [教师分析] 1．解决本题的关键是根据已知条件中的角灵活的将所求的角进行变形．在三角变换中，首先应考虑角的变换， 如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、

化简和证明的目的．常用的变换角的方法有：α＝(α＋β)－α，α＋2β＝(α＋β)＋β，等等．

2．这样用已知角(α＋β)和角α表示未知的角β，是数学中的一种重要的方法．然后找两个学生利用所学知识完成此题，教师及时点评，多媒体显示答案．

学生练习一：

已知sinα＝3

5

，cos(α＋β)＝－

7

25

，且α，β均为锐角，求cosβ的值．

[应用题组二]：

例6 在△ABC中，已知sin A＝2sin B cos C，试判断△ABC的形状．

教师分析：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．因此本题中的已知条件sin A＝2sin B cos C就转化为sin[π－(B＋C)]＝2sin B cos C，然后再利用和角公式求解．

解：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．

∵sin A＝2sin B cos C，

∴sin[π－(B＋C)]＝2sin B cos C.

即sin(B＋C)＝2sin B cos C.

∴sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C.

整理，得sin B cos C－cos B sin C＝0.

即sin(B－C)＝0，

∴B＝C.

即△ABC是等腰三角形．

学生练习二：

在△ABC中，已知sin A sin B＜cos A cos B，试判断△ABC的形状．

目的：通过练习，进一步突破难点，深化概念的理解．

(四)归纳小结

1．辅助角公式：设tanθ＝b

a

，则a sinωx＋b cosωx＝a2＋b2sin(ωx＋φ)；

2．和(差)角公式是三角函数中最基本的，也是最常用的公式．在学习过程中，如果同学们能对公式做到四会：会正用公式；会逆用公式，会变形用公式；会构造应用公式，则许多问题会迎刃而解．

3．灵活应用公式进行应用．

目的：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式的理解，促进知识的内化．

(五)课后作业

1．填空题：

(1)1－tan15°

1＋tan15°

＝________；

(2)tan25°＋tan 35°＋ 3 tan 25°tan 35°＝________；

(3)若α＋β＝3π

4

，则(1－tanα)(1－tanβ)＝________.

2．计算：

(1)若tan(α＋β)＝4

3

，tanβ＝

12

5

，求tanα的值．

(2)已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，求tan 2α和tan 2β的值．

(3)已知π

2

＜β＜α＜

3π

4

，cos(α－β)＝

12

13

，sin(α＋β)＝－

3

5

，求

sin2α的值．

(4)在△ABC中，已知sin A＝2sin C cos B，试判断△ABC的形状．

【教学设计说明】

本节课所学习的“化一个三角函数的形式”和“构造角”，是职高学生在学习三角公式时的一个难点和重点．本教案通过探究式教学法和题组递进教学法，将本节课的例题和练习题由易到难、由浅入深进行了编排，源于课本而又高于课本．通过“导入问题”引发学生的疑惑和学习兴趣，利用“基础题组”来解决这一疑惑，并体现了“化归思想”和“一题多解”；由“导入题组”分化了难点，归纳出一般规律；运用“巩固题组”，加深学生的理解；经过两个“应用题组”，使学生深入练习，突破难点，深化概念理解．整个教学过程，体现了在新课程理念指导下的课堂教学，一步步深入，一点点渗透，潜移默化中使学生掌握了新知识．

课后反思：