带答案对数与对数函数经典例题
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经典例题透析
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1．将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
思路点拨：运用对数的定义进行互化.
解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；
(6).
总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1)(2)(3)lg100=x (4)
思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：(1)；
(2)；
(3)10x=100=102，于是x=2；
(4)由.
类型二、利用对数恒等式化简求值
2．求值：解：.
总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：
【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
解：.
类型三、积、商、幂的对数
3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.
(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15
解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a
(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
举一反三：
【变式1】求值
(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解：
(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.
解：由3a=c得：
同理可得
.
【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.
证明：
.
【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.
证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
即.
类型四、换底公式的运用
4．(1)已知log x y=a，用a表示；
(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.
解：(1)原式=；
(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.
方法一：a m=x，b n=x，c p=x
∴，
∴；
方法二：.
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2)；(3).
解：
(1)
(2)；
(3)法一：
法二：.
总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.
类型五、对数运算法则的应用
5．求值
(1) log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
解：(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
举一反三：
【变式1】求值：
解：
另解：设=m (m>0).∴，
∴，∴，
∴lg2=lgm，∴2=m，即.
【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?
解：∵∴，
类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
6. 求下列函数的定义域：
(1)；(2).
思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.
解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；
(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).
解：(1)因为，所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2).
(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.
[1]当k≤0时，定义域为R；
[2]当k>0时，
(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；
(ii)若0 (iii)若a=2，则当0