电动力学复习总结第三章 稳恒磁场2012答案
电动力学期末考试复习知识总结及试题
电动力学期末考试复习知识总结及试题第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过渡。
二、知识体系：三、内容提要：1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）（3）电磁感应定律①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。
②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律,①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。
2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程其中：1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。
2当，过渡到真空情况：3当时，回到静场情况：4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。
介质中：3、介质中的电磁性质方程若为非铁磁介质1、电磁场较弱时：均呈线性关系。
向同性均匀介质：，，2、导体中的欧姆定律在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。
4．洛伦兹力公式考虑电荷连续分布，单位体积受的力：洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。
说明：①②5.电磁场的边值关系其它物理量的边值关系：恒定电流:6、电磁场的能量和能流能量密度：能流密度：三．重点与难点1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。
电动力学第三章习题解答
⎞⎠⎟⎟⎟
=
−μ1
I πa
2
(1)
在导体圆柱外
1 r
∂ ∂r
⎛⎜⎜⎜⎝r
∂A2 ∂r
⎞⎠⎟⎟⎟
=
0
O
A
θr
y
x
P
(2)
解这两个微分方程得
A1
=
−
μ1Ir 2 4πa2
+ b ln
r
+c
- 58 -
华中师大 陈义成
A2 = f ln r + g
边界条件
在 r = 0 处, A1 有限，得到 b = 0 ；在 r = a 处，由式（3-1-13）和（3-1-16），有
B1 = μ0nIe z ， B2 = 0
可以验证上述尝试解满足方程和边值关系，根据唯一性定理，这就是问题的解。
3.4 稳定电流 I 在半径为 a 的无限长圆柱导体中沿轴向流动，设导体的磁导率为
μ1 ，其外充满磁导率为 μ2 的均匀介质。通过矢势 A 求圆柱导体内、外的磁感应强度及
磁化电流分布。
【解】（1）求磁感应强度
华中师大 陈义成
第三章 习题解答
3.1 设在 x < 0 空间充满磁导率为 μ 的均匀介质，x > 0 区域为真空。今有线电流 I
沿 z 轴流动，求磁感应强度 B 和磁化电流分布。
【解】一、选柱坐标系（如图）；
z
B2
二、定解问题：
∫ ∫∫ 1） H ⋅ dl = I ；2） B ⋅ dS = 0 ；
−
B1 μ
⎞ ⎟ ⎠
x=0
=
0
；
y eφ
μ
μ0
φ
x
电动力学复习总结电动力学复习总结答案
第二章 静 电 场一、 填空题1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b ra,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。
答案： 02aRε2、若一半径为R 的导体球外电势为3002cos cos =-+E R E r rφθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v vr R E E e e rθθθ3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。
答案： σφεφσφεφεφφερφ-=∂∂=-=∂∂-∂∂=-=∇nc n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。
答案：z y x e b e ax e axy ϖϖϖ+--225、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。
答案：0nϕσε∂=-∂6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。
答案： -（1-εε0） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()()8x x W dv dv rρρπε''=⎰⎰v v的适用于 情形.答案：全空间充满均匀介质8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
答案： 34qRR πεv9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 . 答案：04q aπε10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。
答案：唯一性定理, 求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。
答案：零13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。
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第二章 静 电 场一、 填空题1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b ra ,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。
答案：02aRε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3002cos cos =-+E R E r rφθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-r R E E e e rθθθ3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。
答案： σφεφσφεφεφφερφ-=∂∂=-=∂∂-∂∂=-=∇nc n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。
答案：z y x e b e ax e axy+--225、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。
答案：0nϕσε∂=-∂ 6、均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。
答案： -（1-εε0） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()()8x x W dv dv rρρπε''=⎰⎰的适用于情形.答案：全空间充满均匀介质8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
答案：34qRR πε 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 .答案：04q aπε10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。
答案：唯一性定理, 求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。
答案：零13、一个内外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳内距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。
电动力学 第三版_郭硕鸿_课后答案[第3章]
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电动力学习题解答参考 第三章 静磁场1. 试用A r 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B r写出A r的两种不同表示式证明两者之差是无旋场解0B r 是沿z 方向的均匀的恒定磁场即ze B B r r =0且AB r r×∇=0在直角坐标系中zx y y z x x y z e yA x A e x A z A e z A y A A r r rr )()()(∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=×∇如果用A r 在直角坐标系中表示0B r 即=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂000y A x A x A z A z A y A xy zx yz 由此组方程可看出A r有多组解如解1)(,00x f y B A A A x Z y +−=== 即 xe xf y B A rr )]([0+−= 解2)(,00y g x B A A A Y z x +=== 即 ye y g x B A rr )]([0+=解1和解2之差为yx e y g x B e x f y B A r r r )]([)]([00+−+−=∆则zx y y z x x y z e y A xA e x A z A e z A y A A r r r r ])()([])()([])()([)(∂∆∂−∂∆∂+∂∆∂−∂∆∂+∂∆∂−∂∆∂=∆×∇这说明两者之差是无旋场2.均匀无穷长直圆柱形螺线管每单位长度线圈匝数为n电流强度为I 试用唯一性定理求管内外磁感应强度B解根据题意得右图取螺线管的中轴线为z 轴本题给定了空间中的电流分布故可由∫×='43dV r rJ B rr r πµ求解磁场分布又J r 在导线上所以∫×=34r r l Jd B r r r πµ1 螺线管内由于螺线管是无限长理想螺线管故由电磁学的有关知识知其内部磁内部资料料料内部资料内部电动力学习题解答参考 第三章 静磁场场是均匀强磁场故只须求出其中轴线上的磁感应强度即可知道管内磁场 由其无限长的特性不妨取场点为零点以柱坐标计算x y x e z e a e a r r r r r ''sin 'cos −−−=ϕϕyx e ad e ad l d r r r 'cos ''sin 'ϕϕϕϕ⋅+⋅−=)''sin 'cos ()'cos ''sin '(x y x y x e z e a e a e ad e ad r l d r r r r r r r −−−×⋅+⋅−=×∴ϕϕϕϕϕϕ zy x e d a e d az e d az rrr'''sin '''cos '2ϕϕϕϕϕ+−−= 取由'''dz z z +−的以小段此段上分布有电流'nIdz ∫++−−=∴232220])'([)'''sin '''cos '('4z a e d a e d az e d az nJdz B z y x rr r r ϕϕϕϕϕπµ I n az a z d nI e nI z a dz a d z 0232023222200]1)'[()'(2])'([''4µµϕπµπ=+=⋅+=∫∫∫∞+∞−∞∞−r 2)螺线管外部:由于是无限长螺线管不妨就在xoy 平面上任取一点)0.,(ϕρP 为场点)(a >ρ 222')'sin sin ()'cos cos ('z a a x x r +−+−=−=∴ϕϕρϕϕρrr )'cos(2'222ϕϕρρ−−++=a z a ('=−=x x r r r r x e a r )'cos cos ϕϕρ−zy e z e a rr ')'sin sin (−−ϕϕρyx e ad e ad l d r r r 'cos ''sin 'ϕϕϕϕ⋅+⋅−= zy x e d a a e d az e d az r l d r r r r r ')]'cos([''sin '''cos '2ϕϕϕρϕϕϕϕ−−+−−=×∴+−+−⋅=∴∫∫∫∫∞∞−∞∞−'''sin '''''cos ''[43203200dz e r d az d dz e r d az d nI B y x rr r ϕϕϕϕϕϕπµππ]')'cos('3220∫∫∞∞−−−+z e dz r a a d rϕϕρϕπ由于磁场分布在本题中有轴对称性而螺线管内部又是匀强磁场且螺线管又是无限长故不会有磁力线穿出螺线管上述积分为0所以0=B r内部资料料料内部资料内部电动力学习题解答参考 第三章 静磁场3. 设有无穷长的线电流I 沿z 轴流动以z<0空间充满磁导率为µ的均匀介质z>0区域为真空试用唯一性定理求磁感应强度B 然后求出磁化电流分布解本题的定解问题为×∇=×∇=<−=∇>−=∇===010020212201211)0(,)0(,z z z A A AA z J A z J A r r r rrr rr µµµµ由本题具有轴对称性可得出两个泛定方程的特解为∫∫==rl Id x A rl Id x A rr r rr r πµπµ4)(4)(201由此可推测本题的可能解是<>=)0(,2)0(,20z er I z e r I B θθπµπµr rr 验证边界条件1)(,12021=−⋅==B B n A A z r rr r r 即 题中,=⋅=θe e e n z z rr r r 且所以边界条件1满足2)(,11120102=−××∇=×∇==H H n A A z z r r rr r即µµ本题中介质分界面上无自由电流密度又θθπµπµe r I B H e rI B H r r r r r r 2222011====,012=−∴H H r r 满足边界条件0)(12=−×H H n r r r综上所述由唯一性定理可得本题有唯一解<>=)0(,2)0(,20z er I z e r I B θθπµπµr rr 在介质中MB H r r r −=0µ故在z<0的介质中22H B M r rr −=µ内部资料料料内部资料内部即θθθµππµπe r e r e r M )1(22200−=−⋅= ∴介质界面上的磁化电流密度r z M e r I e e r I n M r r r r r r )1(2)1(200−=×−=×=µµπµµπαθ总的感应电流)1()1(20200−=⋅⋅⋅−=⋅=∫∫µµϕµµππθθI e d r e r I l d M J Mr r rr 电流在z<0的空间中沿z 轴流向介质分界面4. 设x<0 半空间充满磁导率为µ的均匀介质x>0 空间为真空今有线电流I 沿z 轴流动求磁感应强度和磁化电流分布解假设本题中得磁场分布仍呈轴对称则可写作ϕπµe rI B vv 2′=其满足边界条件0)(0)(1212==−×=−⋅αvv v v v vv H H n B B n 即可得在介质中ϕµπµµe r I B H vv v 22′== 而Me r I M B H v v v v v −′=−=ϕµπµµ0022∴在x<0的介质中ϕµµµµπµe r I M vv 002−′= 则∫=ld M I Mvv 取积分路线为B A C B →→→的半圆,ϕe AB vQ ⊥ AB ∴段积分为零 002)(µµµµµ−′=I I M ϕπµe r I I B M v v 2)(0+=∴∴由ϕϕπµπµe rI B e r I I M v v v 22)(0′−==+可得02µµµµµ+=′内部资料料料内部资料内∴空间ϕπµµe rB 0+= I I M 0µµµµ+−=沿z轴5.某空间区域内有轴对称磁场在柱坐标原点附近已知)21(220ρ−−≈z C B Bz 其中B 0为常量试求该处的ρB 提示用,0=⋅∇B r 并验证所得结果满足0Hr×∇解由B v 具有轴对称性设zz e B e B B v v v +=ρρ其中 )21(220ρ−−=z c B B z 0=⋅∇B v Q 0)(1=∂∂+∂∂∴z B zB ρρρρ即02)(1=−∂∂cz B ρρρρ A cz B +=∴2ρρρ(常数) 取0=A 得ρρcz B =z e z c B e cz B vv v )]21([220ρρρ−−+=∴10,0==D j v vQ 0=×∇∴B v 即 0)(=∂∂−∂∂θρρe B z B z v2代入1式可得2式成立∴ρρcz B = c 为常数6. 两个半径为a 的同轴线圈形线圈位于L z ±=面上每个线圈上载有同方向的电流I1 求轴线上的磁感应强度2 求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的L 和a 的关系提示用条件022=∂∂z B z解1由毕萨定律L 处线圈在轴线上z 处产生得磁感应强度为内部资料料料内部资料内,11z z e B B = ∫∫−+==θπαπd L z a r B z 232231])([4sin 4 232220])[(121a z L Ia +−=µ同理L 处线圈在轴线上z处产生得磁感应强度为zz e B B vv 22=2322202])[(121a z L Ia B z++=µ∴轴线上得磁感应强度zz z e a z L a z L Ia e B B v v v++++−==2322232220])[(1])[(121µ 20=×∇B vQ 0)()(2=∇−⋅∇∇=×∇×∇∴B B B v v v 又0=⋅∇Bv0,0222=∂∂=∇∴z B zB v 代入1式中得62225222322212222122])[(])[()(6])[(])[()(])[(a z L a z L z L a z L a z L z L a z L +−+−−++−+−−−+−−−62225222322212222122])[(])[()(6])[(])[()(])[(a z L a z L z L a z L a z L z L a z L +−++−−++ ++++++−−0取z得)(12])(2)(2[)(22522212222122322=+++−+−+−L a L a L L a L a L 2225a L L +=∴内部资料料料内部资料内电动力学习题解答参考 第三章 静磁场a L 21=∴7. 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上试解矢势A r的微分方程设导体的磁导率为0µ导体外的磁导率为µ解定解问题为×∇=×∇=∞<>=∇<−=∇外内内外内外内A A A A A a r A a r J A a a v v v vvv vv µµµ11)(,0)(,00202选取柱坐标系该问题具有轴对称性且解与z 无关令ze r A A v v )(内内=z e r A A vv )(外外代入定解问题得=∂∂∂∂−=∂∂∂∂0))(1))((10r r A r rr J r r A r r r 外内µ 得43212ln )(ln 41)(C r C r A C r C Jr r A +=++−=外内µ由∞<=0)(r r A 内 得01=C 由外内A A v v ×∇=×∇µµ110 得 232Ja C µ−=内部资料料料内部资料内部电动力学习题解答参考 第三章 静磁场由aaA A 内外v v =令0==aaA A 内外v v 得 a Ja C Ja C ln 2,4124202µµ==−=∴ra a J A r a J A ln 2)(412220v v v vµµ外内8.假设存在磁单极子其磁荷为Qm它的磁场强度为304r rQ H m r r πµ=给出它的矢势的一个可能的表示式并讨论它的奇异性解rm m e rQ r r Q H v v v 2030144πµπµ== 由rm e rQ H B A v v v v 204πµ===×∇ 得=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂0])([10)](sin 1[14])(sin [sin 12θφθπφθθθθφθφrr m A rA r r rA r A r r Q A A r (1)令,0==θA A r得rQ A m πθθθφ4sin )(sin =∂∂θθπθπθθφθφsin cos 144sin sin 0r Q A d rQ A mm −=∴=∴∫显然φA 满足1式∴磁单极子产生的矢势φθθπe r Q A m vv sin cos 14−=内部资料料料内部资料内部当2πθ→时φπe rQ A m v v 4→当πθ→时∞→A v故A v的表达式在πθ=具有奇异性A v不合理9. 将一磁导率为µ半径为R 0的球体放入均匀磁场0H r内求总磁感应强度B r 和诱导磁矩mr解根据题意以球心为原点建立球坐标取0H v 的方向为zev此球体在外界存在的磁场的影响下极化产生一个极化场并与外加均匀场相互作用最后达到平衡保持在一个静止的状态呈现球对称本题所满足的定解问题为−=∞<=∂∂=∂∂=>=∇<=∇∞==θϕϕϕµϕµϕϕϕϕcos )(,,,0,0000002221212121R H R R R R R R R R R m R m m m m m m m 由泛定方程和两个自然边界条件得∑∞==0)(cos 1n n n n m P R a θϕ∑∞=++−=010)(cos cos 2n nn nm P R d R H θθϕ由两个边界条件有+−−=+−=∑∑∑∑∞=+∞=−∞=+∞=0200001100100000)(cos )1(cos )(cos )(cos cos )(cos n n n nn n n n n nn n n n nn P R d n H P nR a P R d R H P R a θµθµθµθθθ得内部资料料料内部资料内≠==+−=+)1(,0223000101n d a R H d n n µµµµµµ>⋅+−+−=<+−=∴00230000000,cos 2cos ,cos 2321RR H R R R H R R R H m m θµµµµθϕθµµµϕ+==+=+−+=−∇=00011000000012323sin 23cos 231H H B H e H e H H r m v v v v vv v µµµµµµµµθµµµθµµµϕθ−⋅+−+==−⋅+−+=⋅+−−−⋅+−+=−∇=])(3[2])(3[2sin ]21[cos ]221[3050300000020230503000003300003300022R H R R R H R H H B R H R R R H R H e H R R e H R R H r m v v v v v v v vv v v v vv v µµµµµµµµµµµθµµµµθµµµµϕθ >−⋅+−+<+=∴)()(3[2)(,230305030000000000R R R H R R R H R H R R H B vv v v v vv µµµµµµµµµµ当B v在R>R 0时表达式中的第二项课看作一个磁偶极子产生的场θµµµµϕcos 20230002H RR m ⋅+−∴中可看作偶极子m v产生的势即R H R R H R R R Rm v v v v ⋅⋅+−=⋅+−=⋅⋅02300002300032cos 241µµµµθµµµµπ HR m v v300024⋅+−=∴µµµµπ10. 有一个内外半径为R 1和R 2的空心球位于均匀外磁场0H r内球的磁导率为µ求空内部资料料料内部资料内电动力学习题解答参考 第三章 静磁场腔内的场Br讨论0µµ>>时的磁屏蔽作用解根据题意以球心为原点取球坐标选取0H v的方向为z e v在外场0H v的作用下 球壳极化产生一个附加场并与外场相互作用最后达到平衡B v的分布呈现轴对称定解问题−=∞<∂∂=∂∂∂∂=∂∂==>=∇<<=∇<=∇∞======θϕϕϕµϕµϕµϕµϕϕϕϕϕϕϕcos ,,,0,0,00000322121231223121232121321R H RR R R R R R R R R R R m R m R R m m R R m m R R m m R R m m m m m 由于物理模型为轴对称再有两个自然边界条件故三个泛定方程的解的形式为∑∞==0)(cos 1n n n n m P R a θϕ∑∞=++=01)(cos (2n n n nn n m P Rc R b θϕ∑∞=++−=010)(cos cos 3n nn nm P Rd R H θθϕ因为泛定方程的解是把产生磁场的源0H v做频谱分解而得出的分解所选取的基本函数系是其本征函数系)}(cos {θn P 在本题中源的表示是)(cos cos 100θθRP H R H −=−所以上面的解中)0(,0≠====n d c b a n n n n 故解的形式简化为θθϕθϕθϕcos cos cos )(cos 2102111321RdR H Rc R b R a mm m +−=+==内部资料料料内部资料内部电动力学习题解答参考 第三章 静磁场代入衔接条件得−=−−−=+−=++=2(22(32113210031110122120221212111111R c b R d H R c b a R d R H R c R b R c R b R a µµµµµ解方程组得3200312032000320001)2)(2()(2)(3)2(3R R R H R H a µµµµµµµµµµµµ++−−−++= 32003120320001)2)(2()(2)2(3R R R H b µµµµµµµµµ++−−+= 3200312031320001)2)(2()(2)(3R R R R H c µµµµµµµµµ++−−−= 320320031203132000620001)2)(2()(2)(3)2(3R H R R R R H R H d +++−−−++=µµµµµµµµµµµµ而 )3,2,1(,00=∇−==i H B i m i i ϕµµvv ze a B v v 101µ−=∴ 003212000321])()(2)2)(2()(11[HR R R R v µµµµµµµ−−++−−=当0µµ>>时1)(2)2)(2(2000≈−++µµµµµµ 01=∴B v 即球壳腔中无磁场类似于静电场中的静电屏障11. 设理想铁磁体的磁化规律为000,M M H B µµ+=rr 是恒定的与H r无关的量今将一个内部资料料料内部资料内部电动力学习题解答参考 第三章 静磁场理想铁磁体做成均匀磁化球0M为常值浸入磁导率为'µ的无限介质中求磁感应强度和磁化电流分布解根据题意取球心为原点做球坐标以0M v的方向为z e v本题具有球对称的磁场分布满足的定解问题为=∞<=∂∂′−∂∂=>=∇<=∇∞===0cos ,,0,021021021*******02R m R m R m m R R m m m m M R RR R R R ϕϕθµϕµϕµϕϕϕϕ ∴∑∞==0)(cos 1n n n nm P R aθϕ∑∞=+=01)(cos )(2n n n nm P R b θϕ代入衔接条件对比)(cos θn P 对应项前的系数得)1(,0≠==n b a nn µµµ+′=2001Ma 30012R M b µµµ+′=)(,cos 20001R R R M m <+′=∴θµµµϕ)(,cos 20230002R R RR M m>+′=θµµµϕ由此µµµµµµ+′′=+=<22,0000110M M H B R R v r v v ,0R R > )(3[2305030022RM R R R M R B m v r v v v −⋅+′′=∇′−=µµµµϕµ >−⋅+′′<+′′=∴)()(3[2)(,2203050300000R R R M R R R M R R R M B v r v v vv µµµµµµµµ内部资料料料内部资料内部电动力学习题解答参考 第三章 静磁场又0)()(0120其中αααµv v v vv v+=−×M R B B n 代入B v的表达式得ϕθµµµαe M Mvv sin 230′′12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场0H r中结果如何解根据题意假设均匀外场0H v 的方向与0M v的方向相同定为坐标z 轴方向定解问题为−=∞<=∂∂−∂∂=>=∇<=∇∞===θϕϕθµϕµϕµϕϕϕϕcos cos ,,0,00000002022102102121R H M R RR R R R R m R m R m m R R m m m m 解得满足自然边界条件的解是)(,cos 011R R R a m <=θϕ)(,cos cos 02102R R R d R H m >+−=θθϕ代入衔接条件0013010020100012M a R d H R d R H R a µµµµ=+++−=得到 0000123µµµµ+−=H M a 3000012)(R H M d µµµµµ+−+=)(,cos 23000001R R R H M m <+−=∴θµµµµϕ内部资料料料内部资料内部电动力学习题解答参考 第三章 静磁场)(,cos 2)(cos 0230000002R R RR H M R H m>+−++−=θµµµµµθϕ]sin 23cos 23[000000000011θθµµµµθµµµµϕe H M e H M H r m v v v +−−+−−=−∇=∴ µµµµ+−−=0000023H M v v )(,22230002000001R R M H M H B <+++=+=v v v v v µµµµµµµµµ−+−+−−−=−∇=r m e R R H M H H v v )cos 22)(cos [(23000000022θµµµµµθϕ 350230000000)(3])sin 2)(sin (Rm R R R m H e R R H M H v v r r v v−⋅+=+−++−−θθµµµµµθ ])(3[3500202RmR R R m H H B v v r r v v v −⋅+==µµ030003000022H R R M m v vv µµµµµµµ+−++=13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为R 0总电荷为Q今使球壳绕自身某一直径以角速度ω转动求球内外的磁场Br提示本题通过解m ϕ或A r的方程都可以解决也可以比较本题与5例2的电流分布得到结果解根据题意取球体自转轴为z 轴建立坐标系定解问题为=∞<=∂∂=∂∂−=∂∂−∂∂>=∇<=∇∞===0)(,4sin )(1,0,021211221000000202R m R m m m R R m m m m R R R R R Q R R R R R ϕϕϕµϕµπθωθϕθϕϕϕ其中4sin R Q πθωσ=是球壳表面自由面电流密度解得满足自然边界条件的解为内部资料料料内部资料内部)(,cos 0212R R Rb m >=θϕ代入衔接条件=+−=−024301102101R b a R Q R b R a πω解得 016R Q a πω−= πω12201R Q b =)(,cos 6001R R R R Q m <−=∴θπωϕ)(,cos 1202202R R R R Q m>=θπωϕ00016sin 6cos 61R Q e R Q e R Q H r m πωθπωθπωϕθv vv v =−=−∇=∴ωπµµvr v 001016R Q H B == ])(3[41sin 12cos 1223532032022Rm R R R m e R R Q e R R Q H r r m r v v v vv v −⋅=+=−∇=πθπωθπωϕ其中ωvv 320QR m =])(3[4350202RmR R R m H B r v v v v v −⋅==πµµ14. 电荷按体均匀分布的刚性小球其总电荷为Q 半径为R 0它以角速度ω绕自身某以直径转动求1 它的磁矩2 它的磁矩与自转动量矩之比设质量M 0是均匀分布的 解1磁矩∫×=dV x J x m )(21v v v v内部资料料料内部资料内又 rR x e R == )(34)(30R R v x J ×==ωπρ∫∫×=××=∴φθθπωφθθωπφd drd R e e R Q d drd R R R R Q m r 2430230sin )(4321sin )(4321v v v v r v 又 )sin cos (cos sin y x z r e e e e e e vv v v v v φφθθθφ−−+=−=×∫∫∫−−+=∴ππφθθφφθθπω20243sin )sin cos (cos [sin 83R y x z d drd R e e e R Q m vv v v ωφθθπωππv v 5sin 8320200043300QR d drd R e R Q R z ==∫∫∫2)自转动量矩∫∫∫∫××=×=×==dV R R R M dm v R P d R L d L )(43300v v v v v v v v vωπ52sin 43sin )sin cos (cos [sin 43sin )(sin 43sin )sin (43sin )(43200203430200024302230022300223000ωφθθπωφθθφφθθπωφθθθωπφθθθωπφθθωπππππθφv v vv v v v v v v v R M d drd R R M d drd R e e e R M d drd R e R R M d drd R e e R R M d drd R e e e R R M R R y x z r r z r ==−−+=−=×−=××=∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 0200202525M Q R M QR L m ==∴ωωv v v v15. 有一块磁矩为m r的小永磁体位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中求作用在小永磁体上的力F r.内部资料料料内部资料内电动力学习题解答参考 第三章 静磁场解根据题意因为无穷大平面的µ很大则可推出在平面上所有的H v均和平面垂直类比于静电场构造磁矩m r 关于平面的镜像m ′r则外场为=⋅=∇−=2304cos 4r m R R m B m m e πθπϕϕµv v v)sin cos (4]sin cos 2[430330θθθθαπµθθπµe e r m e r e r m B rr e vv r v v +=−−−=∴m v∴受力为za r ee a m B m F v v vv )cos 1(643)(24022απµαθ+−=⋅∇⋅===内部资料料料内部资料内部。
大学物理稳恒磁场习题及答案
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 稳恒磁场 习题解答一、填空题（每空1分）1、电流密度矢量的定义式为：dIj n dS ⊥=，单位是：安培每平方米（A/m 2） 。
2、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量Φ = 0 ．若通过S 面上某面元d S 的元磁通为d Φ，而线圈中的电流增加为2I 时,通过同一面元的元磁通为d Φ＇，则d Φ∶d Φ＇= 1:2 。
3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O 点磁感强度的大小是2020100444R IR IR IB πμμμ-+=。
4小为πR 2c Wb。
5、如图2所示通有电流I 的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于：对环路a ：dB l ⋅⎰=____μ0I __； 对环路b ：d B l ⋅⎰=___0____； 对环路c ：d B l ⋅⎰ =__2μ0I __。
6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。
二、单项选择题（每小题2分）（ B ）1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为A. 2πr 2BB. πr 2BC. 0D. 无法确定的量（ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为A. 0.90B. 1.00C. 1.11D. 1.22（ D ）3、如图3所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度A. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内B. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外C ．方向在环形分路所在平面内，且指向aD ．为零（ D ）（ C ）绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为A. B 1 = B 2B. B 1 = 2B 2 C ．B 1 = 21B 2 D ．B 1 = B 2 /4（ B ）6、有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的 (A) 4倍和1/8． (B) 4倍和1/2． (C) 2倍和1/4． (D) 2倍和1/2． 三、判断题（每小题1分，请在括号里打上√或×）（ × ）1、电源的电动势是将负电荷从电源的负极通过电源内部移到电源正极时，非静电力作的功。
刘觉平电动力学第3章答案
第三章电磁相互作用的基本规律目录：习题3.1 带电粒子在电磁场中的运动规律 (2)习题3.2 电磁场在外场作用下的运动规律 (2)习题3.3 电磁场的能动张量定理 (20)习题3.4 电磁场的角动量张量定理 (24)习题3.5 介质中的Maxwell方程组 (25)习题3.6 介质中电磁场能-动量与角动量定理 (39)习题3.8 波动方程 (50)习题3.9 平面电磁波的偏振 (55)习题3.10 电磁场的螺旋度 (58)规范不变性的内容都空了，没有处理。
最后两节也没有处理，不过本身做的很详细。
其他都好好看了。
习题3.11． 试证作用量 int 0bp p free a S S S m cds eA dx μμ⎡⎤=+=-⎣⎦⎰在()1U 规范变换 ()111A UA U iU U eμμμ--'=+∂ 下不变。
式中()exp U ie χ∈证明：2． 将带电粒子的加速度用它的速度以及电场强度和磁感强度表示出来解：加速度定义：dva dt =由于()03/20002122d m v dp dv d v dv m m v ma m v dt dt dt dt cdt γγγγ--⎛⎫⎛⎫==+=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以5/25/222dp vv vv ma ma ma I a M dt c c γγ--⎛⎫⎛⎫=+⋅=⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而dpe E v B dt⎡⎤=-+⨯⎣⎦ 所以1a e E v B M -⎡⎤=-+⨯⋅⎣⎦ 其中5/22vv M m I c γ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，是一个二阶张量 习题3.21． 证明由式（3.2.2）定义的电荷密度与式（3.2.3）定义的三维电流密度满足连续性方程。
证明：由式（3.2.2）知电荷密度为3()()()()l l lx Q x x ρδ=-∑由式（3.2.3）知三维电流密度为()33()()()()()()()l l l l l l ldx dx dx j x Q x x Q x x dt dt dt ρδδ==-=-∑∑有33()()()()()()3()()()()()()l l l l l l l l l l l lx x x x dx Q Q t t x dt x x dx Q x dt δδρδ∂-∂-∂==⋅∂∂∂∂-=⋅-∂∑∑∑而()3()()(())l l l ldx j Q x x dt δ∇⋅=∇⋅-∑由于()l dx dt 与x 无关,故3()()()()l l l ldx x x j Q dt x δ∂-∇⋅=⋅∂∑所以0j tρ∂+∇⋅=∂2． 试证：直至A μ的一阶导数，除开一个常数因子，电磁场场强张量的对偶张量是在(1)U 规范变换下不变的唯一的一个二阶赝张量。
大学物理自测题下(黄皮书)稳恒磁场要点及详细答案
磁场强度与磁感应强度的关系
磁场强度
描述磁场强弱的物理量，与磁感应强 度和介质有关。
磁感应强度
描述磁感应线密度的物理量，与磁场 强度和介质有关。
04
CATALOGUE
磁场能量与磁场力
磁场能量密度
总结词
描述磁场中单位体积所含的能量。
详细描述
磁场能量密度是描述磁场中单位体积所含的能量，用公式表示为W = B²/2μ，其 中B为磁感应强度，μ为磁导率。
磁场能量的储存和释放
总结词
描述磁场能量的储存和释放过程。
详细描述
磁场能量的储存和释放过程与磁场的变化密切相关。当磁场发生变化时，会在磁场中产 生感应电场，从而将磁场能转化为电能。这个过程可以用法拉第电磁感应定律来描述。
磁场力与能量转换
要点一
总结词
描述磁场力在能量转换中的作用。
要点二
详细描述
磁场力是磁场对带电粒子的作用力，它在能量转换中起着 重要作用。例如，在发电机中，磁场力驱动带电粒子运动 ，将机械能转化为电能。而在电动机中，磁场力又将电能 转化为机械能。
05
CATALOGUE
磁场的测量与仪器
磁通量计
磁通量计是测量磁场强度的仪器，通过测量导线圈中磁通量的大小来间接测量磁场 强度。
磁通量计主要由导线圈、测量电路和显示装置组成，其中导线圈是测量磁场的关键 部分，需要选用高导磁材料制作。
磁通量计的测量原理基于法拉第电磁感应定律，通过测量感应电动势的大小来计算 磁通量的大小。
02
CATALOGUE
稳恒磁场中的磁力
Hale Waihona Puke 安培环路定律总结词
高考物理最新电磁学知识点之稳恒电流知识点总复习附答案
高考物理最新电磁学知识点之稳恒电流知识点总复习附答案一、选择题1．有一家用电褽斗，其内部电路结构如图所示，改变内部连线方式可以使电褽斗处于断开状态或获得低、中、高三个不同的温度挡，选项图中是它的四种不同的连接方式，其中能获得低挡温度的是（）A．B．C．D．2．如图所示的电路中，E为电源，其内阻为r，L为小灯泡(其灯丝电阻可视为不变)，R1、R2为定值电阻，R3为光敏电阻，其阻值大小随所受照射光强度的增大而减小，V为理想电压表．若将照射R3的光的强度减弱，则()A．电压表的示数变大B．小灯泡消耗的功率变小C．通过R2的电流变小D．电源内阻消耗的电压变大3．图中小灯泡的规格都相同，两个电路中的电池也相同。
实验发现多个并联的小灯泡的亮度明显比单独一个小灯泡暗。
对这一现象的分析正确的是（）A．灯泡两端电压不变，由于并联分电流，每个小灯泡分得的电流变小，因此灯泡亮度变暗B．电源电动势不变，外电路电压变大，但由于并联分电流，每个小灯泡分得的电流变小，因此灯泡亮度变暗C．电源电动势不变，外电路电压变小，因此灯泡亮度变暗D．并联导致电源电动势变小，因此灯泡亮度变暗4．如图所示，双量程电压表由表头G和两个电阻串联而成。
已知该表头的内阻，满偏电流，下列说法正确的是A．表头G的满偏电压为500VB．使用a、b两个端点时，其量程比使用a、c两个端点时大C．使用a、b两个端点时，其量程为0~10V，则R1为9.5kΩD．使用a、c两个端点时，其量程为0~100V，则为95kΩ5．如图所示电路中，A、B两灯均正常发光，R为一滑动变阻器，若将滑动片P向下滑动，则（）A．A灯变亮B．B灯变亮C．总电流变小D．R1上消耗功率变大6．如图所示的电路，R1、R2、R4均为定值电阻，R3为热敏电阻(温度升高，电阻减小)，电源的电动势为E，内阻为r.起初电容器中悬停一质量为m的带电尘埃，当环境温度降低时，下列说法正确的是()A．电压表和电流表的示数都减小B．电压表和电流表的示数都增大C．电压表和电流表的示数变化量之比保持不变D．带电尘埃将向下极板运动7．下列说法正确的是（）A ．电源是通过非静电力做功把电能转化为其他形式的能的装置B ．库仑提出了库仑定律，并最早用实验测得元电荷e 的数值C ．英国物理学家法拉第最早引入了电场的概念，并提出用电场线表示电场D ．牛顿设计了理想斜面实验，得出力不是物体产生运动的原因8．电动机是把电能转化成机械能的一种设备，在工农业、交通运输、国防及家电、医疗领域广泛应用。
电动力学 第3章 静电场和稳恒磁场1
导体球上感应电荷为
Q1 d Q1 4 0
R R1
小结：利用分离变量法求电势：1）写出各个区域的 拉氏方程；2）根据对称性写出对应的解； 3）边界 条件
3.4
电像法
静电镜像法是求解静电场的一种特殊的方法，它适 用于点电荷的边值问题，而且边界条件具有较好的 对称性情况。 一、点电荷密度的 函数表示 1、一个点电荷可以用一个 函数来表示，定义如下：
1 2 ）
R R1
R3
2
R2
R1 1
1
R
0，2） 2
R R2
1
R R3
1 3） 1 0 R
R R3
2 , 2 0 R
R R2
R R3
1 2 2 2 Q R d R R R d 0 R R 2
1 1 1 W dV D dV dV D dS 2 2 2 W
1 2
1 1 r , , D 2 , S r 2 r r
1 dV 2
注意：w
不代表能量密度。能量密度遍布于 电场内，而不仅仅是电荷分布的区域内，即电场 1 w ED 能量密度为 2
blm m l r , , alm r l 1 P cos cos m l r m l
l
dlm m l clm r l 1 P cos sin m l r m l
l
式中 alm , blm , clm , dlm 为任意常数，在具体问题中 由边界条件定出。
第三章 3.1静电场 静电场特点
《电动力学》知识点归纳及典型例题分析(学生版)
《电动力学》知识点归纳及典型例题分析一、知识点归纳知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇+∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;;B D J t D H t B Eρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==Jρ）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;0;B D t D H t B E（齐次的麦克斯韦方程组）知识点2：位移电流及与传导电流的区别。
答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=⋅∇J在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。
一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有.0≠∂∂-=⋅∇t J ρ现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=⨯∇ 取两边散度，由于0≡⨯∇⋅∇B ，因此上式只有当0=⋅∇J 时才能成立。
在非恒定情形下，一般有0≠⋅∇J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。
由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。
把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+⋅∇D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=⨯∇0μ。
此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。
由电荷守恒定律.0=∂∂+⋅∇tJ ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=⋅∇E 两式合起来得：.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式.0tEJ D ∂∂=ε 位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。
它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。
而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。
知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。
高考物理专题电磁学知识点之稳恒电流单元汇编附答案
高考物理专题电磁学知识点之稳恒电流单元汇编附答案一、选择题1．在如图所示的电路中，E为电源电动势，r为其内阻，L为小灯泡（其灯丝电阻可视为不变），R1、R2为定值电阻，R3为光敏电阻，其阻值大小随所受照射光强度的增大而减小，V为理想电压表。
当开关S闭合后，若将照射R3的光的强度减弱，则下列说法中正确的是（）A．电压表的示数变小B．通过R2的电流变小C．小灯泡消耗的功率变大D．电源的内电压变大2．图中小灯泡的规格都相同，两个电路中的电池也相同。
实验发现多个并联的小灯泡的亮度明显比单独一个小灯泡暗。
对这一现象的分析正确的是（）A．灯泡两端电压不变，由于并联分电流，每个小灯泡分得的电流变小，因此灯泡亮度变暗B．电源电动势不变，外电路电压变大，但由于并联分电流，每个小灯泡分得的电流变小，因此灯泡亮度变暗C．电源电动势不变，外电路电压变小，因此灯泡亮度变暗D．并联导致电源电动势变小，因此灯泡亮度变暗3．如图所示的电路，R1、R2、R4均为定值电阻，R3为热敏电阻(温度升高，电阻减小)，电源的电动势为E，内阻为r.起初电容器中悬停一质量为m的带电尘埃，当环境温度降低时，下列说法正确的是()A．电压表和电流表的示数都减小B．电压表和电流表的示数都增大C．电压表和电流表的示数变化量之比保持不变D．带电尘埃将向下极板运动4．硅光电池是一种太阳能电池，具有低碳环保的优点。
如图所示，图线a是该电池在某光照强度下路端电压U和电流I变化的关系图象，图线b是某电阻R的U−I图象。
在该光照强度下将它们组成闭合回路时，下列说法中正确的是（）A．硅光电池的电动势大于3.6VB．硅光电池的总功率为0.4WC．硅光电池的内阻消耗的热功率为0.32WD．若将R换成阻值更大的电阻（光照不变），电源效率将减小5．如图所示，用粗细均匀的同种金属导线制成的两个正方形单匝线圈a、b，垂直放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，a的边长为L，b的边长为2L。
高考物理电磁学知识点之稳恒电流知识点训练附答案
高考物理电磁学知识点之稳恒电流知识点训练附答案一、选择题1．有一家用电褽斗，其内部电路结构如图所示，改变内部连线方式可以使电褽斗处于断开状态或获得低、中、高三个不同的温度挡，选项图中是它的四种不同的连接方式，其中能获得低挡温度的是（）A．B．C．D．2．如图所示，图线a是某一电源的U－I曲线，图线b是一定值电阻的U－I曲线．若将该电源与该定值电阻连成闭合电路（已知该电源的内阻r=2.0Ω），则说法错误的是（）A．该定值电阻为6ΩB．该电源的电动势为20VC．将2只这种电阻串联作为外电阻，电源输出功率最大D．将3只这种电阻并联作为外电阻，电源输出功率最大3．如图电路中，电源电动势为E、内阻为r，R0为定值电阻，电容器的电容为C．闭合开关S，增大可变电阻R的阻值，电压表示数的变化量为ΔU，电流表示数的变化量为ΔI，则下列说法错误的是A．变化过程中ΔU和ΔI的比值保持不变B．电压表示数变大，电流表示数变小C．电阻R0两端电压减小，减小量为ΔUD．电容器的带电量增大，增加量为CΔU4．如图所示的电路，闭合开关S后，a、b、c三盏灯均能发光，电源电动势E恒定且内阻r不可忽略．现将变阻器R的滑片稍向上滑动一些，三盏灯亮度变化的情况是（）A．a灯变亮，b灯和c灯变暗B．a灯和c灯变亮，b灯变暗C．a灯和c灯变暗，b灯变亮D．a灯和b灯变暗，c灯变亮5．如下图的电路中,当滑动变阻器的滑动头向下滑动时,A、B两灯亮度的变化情况为( )A．A灯和B灯都变亮B．A灯和B灯都变暗C．A灯变亮,B灯变暗D．A灯变暗,B灯变亮6．如图所示，电源电动势E=30V，内阻r=1Ω，直流电动机线圈电阻R M=1Ω，定值电阻R=9Ω。
闭合开关S，稳定后理想电压表示数为10V。
下列说法中正确的是（）A．通过电动机的电流为10A B．通过电动机的电流为30 11AC．电动机的输出功率为16W D．电动机的输出功率为20W7．某同学将一直流电源的总功率P E、输出功率P和电源内部的发热功率P r随路端电压U 变化的图线画在了同一坐标上，如图中的a、b、c所示，下面说法不正确的是（）A ．反映P r 变化的图线是bB ．电源电动势为8VC ．电源内阻为2ΩD ．当电压为2V 时，外电路的电阻为2Ω8．如图所示，定值电阻R =20Ω，电动机线圈的电阻R 0=10Ω，当开关S 断开时，电流表的示数是0.5A ．当开关S 闭合后，电动机转动起来，电路两端的电压不变，电流表的示数I 和电路消耗的电功率P 应是（ ）A ．I =1.5AB ．I ＜1.5AC ．P =15WD ．P ＞15W9．电线是家庭装修中不可或缺的基础建材，电线的质量直接关系到用电安全。
电动力学复习总结第三章-稳恒磁场2012答案
电动力学复习总结第三章-稳恒磁场2012答案第三章稳恒磁场一、 填空题1、已知半径为a 圆柱形空间的磁矢势2201(),4z A J a r e r a μ=-<(柱坐标),该区域的磁感应强度为（ ）.答案：0022JB J r re θμμππ=⨯=2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）.答案：12VA Jdv ⋅⎰3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典物理中矢势的环流LA dl⋅⎰表示（ ）.答案：0lH dl ⋅=⎰或求解区是无电流的单连通区域4、无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ',空间矢势A的解析表达式（ ）.答案：()4vJ x dv r μπ''⎰5、磁偶极子的矢势(1)A 等于（ ）；标势(1)m ϕ等于（ ）.答案：033,44m R m RA R R μϕππ⨯⋅==6、在量子物理中, 矢势A 具有更加明确的地位,其中exp()ceiA dl h⋅⎰是能够完全恰当地描述磁场物理量的（ ）.答案：相因子, 7、磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）.答案：e m B ⋅∇,e m B ⨯8、电流体系()J x '的磁矩等于（ ）.答案：1()2vm x J x dv '''=⨯⎰9、 无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ',空间矢势A 的解析表达式（ ）.答案：()4vJ x dv r μπ''⎰二、 选择题1、 线性介质中磁场的能量密度为A.H B ⋅21B. J A⋅21 C. H B ⋅ D. J A ⋅ 答案：A2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=∇2成立的条件是 A ．介质分区均匀 B.任意介质C.各向同性线性介质D.介质分区均匀且0=⋅∇A答案：D 3、引入磁场的矢势的依据是 A.0=⨯∇H ; B.0=⋅∇H; C.0=⨯∇B ; D. 0=⋅∇B 答案：D 4、电流J 处于电流eJ 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为eA ,则它们的相互作用能为A. e VA Jdv ⋅⎰ B.12e VA Jdv ⋅⎰ C. e e VA J dv ⋅⎰ D. VA Jdv ⋅⎰答案：A 5、对于一个稳恒磁场B ，矢势A 有多种选择性是因为A.A 的旋度的散度始终为零;B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A 散度; C. A 的散度始终为零;答案： B 6、磁偶极子的矢势A 和标势ϕm 分别等于A. 330,44ϕπμπ⨯⋅==m R m RA R R B. 033,44μϕππ⋅⨯==m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μϕππ⨯⋅== D. 330,44ϕππμ⨯⋅==m R m RA R R 答案：C7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满足0=⨯∇BD. 该区域每一点满足0B J μ∇⨯=.答案：B三、 问答题1、在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？答：稳恒电流请况下， 因稳恒电流是闭合的，则有0=⋅∇→J ，由电荷守恒定律：0=∂∂+⋅∇→t J ρ，知：0=∂∂tρ，即：)(→=r ρρ。
大学物理_恒定电流、稳恒磁场基本性质习题解答
13 稳恒电流、稳恒磁场习题解答一、选择题1、 沿x 方向的电流产生的磁感应强度：T yI B 67011052.0251042--⨯=⋅⋅⨯==πππμ 方向沿着z 轴正向沿y 方向的电流产生的磁感应强度： T yI B 6702105.24.0251042--⨯=⋅⋅⨯==πππμ 方向沿着z 轴负向T B B B 621105.2-⨯=-= 方向沿着z 轴正向2、1012a I B μ=2020222)145cos 45(cos 2/44a Ia I B πμπμ=︒-︒⋅=由于 21B B = 所以 8:2:21π=a a3、由安培环路定理得：NI l d H l =⋅⎰ 则 r NIH π2= rNI H B πμμ200==2102/2/0ln2212D D h NI dr h rNI s d B D D ⋅⋅=⋅⋅=⋅=⎰⎰πμπμφ4、aev Te t q I π2=== T aevaIB 5200105.1242-⨯===πμμ5、导线1的左端与导线2的右端到o 点的距离不同，则21B B ≠，即021≠+B B由于a、b 两端的电压相等，cb ac ab I I I 22==，所以，03=B ，而0321≠++=B B B B6、ebmv R = B A v v 2= 则B A R R 2= eBm T π2=所以B A T T =7、 由于DIB R V H = 则 IBVD R H =8、略。
二、填空题1、4.0×1010个； 2、单位正电荷沿闭合回路移动一周时，非静电力所作的功；⎰⋅=电源内l d E k ε；由负极指向正极； 3、 Rih πμ20； 4、0； 5、2.197×10-6Wb;6、 22R B π-； 7、7.59×10-2m ； 8、1:11、lnec rnec Tne I ===π2 )(10410个⨯==eclI n2、略3、先把狭缝补全，并假设其电流密度与圆筒的一样，由整个圆筒得对称性得，0=B再假设在狭缝处有一反向电流，其电流密度为i -，则狭缝在管轴线上的RihB πμ20=4、由A 、C 两端的电压相等：221122112211θθI I l I l I R I R I UAC=⇒=⇒==rI rI B πθμμ42110101==rI rI B πθμμ42220202==所以021=-B B5、由对称性得：Wb r r r Il dr l r I s d B r r r612100102.2ln 22222211-+⨯=+⋅=⋅⋅=⋅=⎰⎰πμπμφ6、由于⎰=⋅0s d B，则圆盘的磁通量： 22B R s d B π＝圆盘⎰⋅ ， 所以任意曲面S 的磁通量为： 22BR s d B S π-⋅⎰＝7、m eBmv R 21059.7-⨯==8、rIB πμ20=2ln 220201πμπμφIldr l rIs d B aa=⋅⋅=⋅=⎰⎰2ln 2204202πμπμφIldr l rIs d B aa=⋅⋅=⋅=⎰⎰所以1:1:21=φφ三、计算题1、解：两半无限长载流直导线在O 点产生的磁感应强度为：01=B ；四分之一圆周载流导线在O 点产生的磁感应强度为：RIB 802μ=，方向垂直纸面向外；故：此载流导线在0点产生的磁场为： RIB 802μ=2、解：取坐标轴如图所示，将半球分割成无数薄圆盘片，圆周单位长度的线圈匝数为θπθπd NRd RNdN 22==当线圈通电流I 时，该薄圆盘片上电流在球心O 处产生的磁感应强度大小为dNy x IxdB 232220)(2+=μπθμθπμRNI d Ny x IxdB 20232220cos 2)(2=+=由于每个薄圆盘片上电流在球心O 产生的磁感应强度方向一致，故 ⎰⎰===0204cos πμθπθμRNI d RNI dB B磁感应强度的方向由电流的流向决定，沿y 轴正向或负向。
大学物理-稳恒磁场习题思考题及答案
习题14-1. 如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B . 解：圆弧在O 点的磁感应强度 R6IR 4I B 001μπθμ==方向垂直纸面向外直导线在O 点的磁感应强度 R 2I 3)]60sin(60[sin 60cos R 4I B 000002πμπμ=--=方向垂直纸面向里 总场强 )313(R 2I B 0-=πμ 方向垂直纸面向里14-2. 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A 、B 两点，并与很远处的电源相连，如图所示.求环中心O 点的磁感应强度B .解：设两段圆弧电流对O 的磁感应强度大小分别为1B 、 2B ，导线长度分别为1L 和2L ，横截面积为S ，电阻 率为ρ，电流1I 和2I 的关系12121221L L SL S L R R I I ===ρρ即 2211L I L I = r L I 4r dl 4I B 110L 21011⋅==⎰πμπμ r L I 4r dl 4I B 220L 22022⋅==⎰πμπμ由于两段圆弧电流对O 的磁感应强度方向相反，所以 0B =14-3. 无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时o 点的磁感应强度。
解： a 段 R4IB 01πμ=b 段 0B 2=c 段 R4IB 03μ=O 点的总场强 0044I IB R Rμμπ=-j +k 方向如图 14-4. 无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ，j 的方向平行于轴线。
求腔内任意点的磁感应强度B 。
解：采用补偿法，以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路20r j d πμ=∙⎰L B 1 2rj B 01μ= 同理还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路20)r a (j d -=∙⎰πμL B 2 2)r a (j B 02-=μ 1201B B B μ=+=⨯j a 14-5.在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流A 5=I 自下而上通过，如图所示。
电动力学复习总结电动力学复习总结答案
第二章 静 电 场一、 填空题1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b ra,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。
答案：02aRε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3002cos cos =-+E R E r rφθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v vr R E E e e rθθθ3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。
答案： σφεφσφεφεφφερφ-=∂∂=-=∂∂-∂∂=-=∇nc n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。
答案：z y x e b e ax e axy ϖϖϖ+--225、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。
答案：0nϕσε∂=-∂ 6、均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。
答案： -（1-εε0） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()()8x x W dv dv rρρπε''=⎰⎰v v的适用于 情形.答案：全空间充满均匀介质8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
答案： 34qRR πεv9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 . 答案：04q aπε10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。
答案：唯一性定理, 求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。
答案：零13、一个内外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳内距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。
高考物理最新电磁学知识点之稳恒电流知识点总复习附答案(2)
高考物理最新电磁学知识点之稳恒电流知识点总复习附答案(2)一、选择题1．如图所示，平行金属板中带电质点P 原处于静止状态，电流表和电压表为理想电表，当滑动变阻器4R 的滑片向b 端移动时，则（ ）A ．电压表读数增大B ．电流表读数增大C ．质点P 将向上运动D ．3R 上消耗的功率逐渐增大2．某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。
在这种疗法中，为了能让质子进入癌细胞，首先要实现质子的高速运动，该过程需要一种被称作“粒子加速器”的装置来实现。
质子先被加速到较高的速度，然后轰击肿瘤并杀死癌细胞。
如图所示，来自质子源的质子（初速度为零），经加速电压为U 的加速器加速后，形成细柱形的质子流。
已知细柱形的质子流横截面积为S ，其等效电流为I ；质子的质量为m ，其电量为e .那么这束质子流内单位体积的质子数n 是A 2I U eS mB I m eS eUC 2I eU eS mD 2Im eS eU3．如图所示为某同学利用传感器研究电容器放电过程的实验电路，实验时先使开关S 与1 端相连，电源向电容器充电，待电路稳定后把开关S 掷向2 端，电容器通过电阻放电，传感器将电流信息传入计算机，屏幕上显示出电流随时间变化的i ﹣t 曲线，这个曲线的横坐标是放电时间，纵坐标是放电电流。
仅由这个i ﹣t 曲线所提供的信息可以估算出A．电容器的电容B．一段时间内电容器放电的电荷量C．某时刻电容器两极板间的电压D．一段时间内电阻产生的热量4．如图所示，双量程电压表由表头G和两个电阻串联而成。
已知该表头的内阻，满偏电流，下列说法正确的是A．表头G的满偏电压为500VB．使用a、b两个端点时，其量程比使用a、c两个端点时大C．使用a、b两个端点时，其量程为0~10V，则R1为9.5kΩD．使用a、c两个端点时，其量程为0~100V，则为95kΩ5．如图所示的电路，R1、R2、R4均为定值电阻，R3为热敏电阻(温度升高，电阻减小)，电源的电动势为E，内阻为r.起初电容器中悬停一质量为m的带电尘埃，当环境温度降低时，下列说法正确的是()A．电压表和电流表的示数都减小B．电压表和电流表的示数都增大C．电压表和电流表的示数变化量之比保持不变D．带电尘埃将向下极板运动6．在如图所示的电路中，闭合开关S后，a、b、c三盏灯均能发光，电源电动势为E，内阻为r。
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第三章稳恒磁场一、 填空题1、 已知半径为a 圆柱形空间的磁矢势2201(),4z A J a r e r aμ=-<(柱坐标),该区域的磁感应强度为（ ）.答案：0022J B J r re θμμππ=⨯=2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）.答案：12VA Jdv ⋅⎰3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典物理中矢势的环流LA dl⋅⎰表示（ ）.答案：0lH dl ⋅=⎰或求解区是无电流的单连通区域4、 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间矢势A的解析表达式（ ）.答案：0()4v J x dv r μπ''⎰5、 磁偶极子的矢势(1)A 等于（ ）；标势(1)m ϕ等于（ ）.答案：033,44m R m RA R Rμϕππ⨯⋅==6、 在量子物理中, 矢势A具有更加明确的地位,其中exp()ce i A dl h ⋅⎰ 是能够完全恰当地描述磁场物理量的（ ）. 答案：相因子,7、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）.答案：e m B ⋅∇ ,e m B ⨯8、 电流体系()J x '的磁矩等于（ ）.答案：1()2vm x J x dv '''=⨯⎰9、 无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间矢势A 的解析表达式（ ）.答案：()4vJ x dv r μπ''⎰二、 选择题1、 线性介质中磁场的能量密度为A.H B ⋅21B. J A⋅21 C. H B ⋅ D. J A ⋅ 答案：A2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=∇2成立的条件是A ．介质分区均匀 B.任意介质C.各向同性线性介质D.介质分区均匀且0=⋅∇A答案：D3、 引入磁场的矢势的依据是A.0=⨯∇H ;B.0=⋅∇H; C.0=⨯∇B ; D. 0=⋅∇B 答案：D4、 电流J处于电流e J 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为e A ,则它们的相互作用能为A. e V A Jdv ⋅⎰B. 12e V A Jdv ⋅⎰C. e e V A J dv ⋅⎰D. VA Jdv ⋅⎰答案：A5、 对于一个稳恒磁场B ，矢势A 有多种选择性是因为A.A 的旋度的散度始终为零;B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A散度; C. A的散度始终为零;答案： B6、 磁偶极子的矢势A 和标势ϕm 分别等于A. 330,44ϕπμπ⨯⋅== m R m RA R R B. 033,44μϕππ⋅⨯== m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μϕππ⨯⋅== D. 330,44ϕππμ⨯⋅== m R m RA R R答案：C7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域C. 该区域每一点满足0=⨯∇BD. 该区域每一点满足0B J μ∇⨯=. 答案：B三、 问答题1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？答：稳恒电流请况下， 因稳恒电流是闭合的，则有0=⋅∇→J ，由电荷守恒定律：0=∂∂+⋅∇→t J ρ，知：0=∂∂t ρ，即：)(→=r ρρ。
所以导电介质中电荷的分布不随时间改变，为一守恒量，至于→r 处ρ值大小由介质形状、大小等决定。
若是均匀导电介质,由0sJ dS ⋅=⎰⎰ 得, 0sE dS σ⋅=⎰⎰,根据高斯定理, 导体内处处无净余电荷分布, 电荷分布于表面及不均匀处. 2、 判定下述说法的正确性，并说明理由： （1） 不同的矢势，描述不同的磁场； （2） 不同的矢势，可以描述同一磁场；（3） 0B =的区域，A 也为零。
答：（1）（3）不正确，（2）的说法是正确的，理由如下：因为任意函数φ的梯度的旋度恒为零，则：→→→=⨯∇=∇+⨯∇B A A )(ϕ，说明：不同的矢势，可以描述同一磁场。
B=0的区域，若→A 可以表为某一函数的梯度，即ϕ∇=→A ，则亦满足0=⨯∇=→→A B ，所以矢势可以不为零。
3、 在空间充满介质与无介质两种情况下，若电流分布相同，它们的磁场强度是否相同？答：对于各向同性的均匀非铁磁介质，有：→→=H B μ即μ→→=BH又：3()'()'44J x dv J r A x B A dv r r μμππ→→→⨯=⇒=∇⨯=⎰⎰所以'413dv r rJ H ⎰→→→⨯=π。
即：若电流分布相同，它们的磁场强度也相同。
但若不满足以上条件，即非均匀介质或非静磁场，即0≠∂∂→tD则→H 一般不同。
4、 由12W B Hdv ∞=⋅⎰，12vW A Jdv =⋅⎰ ,有人认为静磁场的能量密度是12B H ⋅ ，有人认为是12A J ⋅，你怎么认为，为什么？答:能量密度是12B H ⋅ 而不是12A J ⋅ ，因为12vW A Jdv =⋅⎰ 仅对电流分布区域积分,磁场能量是分布于整个磁场中，而不是仅在电流分布区域内。
5、 试比较静电场和静磁场。
答: 静电场和静磁场的比较静电场：无旋场0E ∇⨯= 静磁场：无源场 0B ∇⋅=可引入标势φ： E ϕ=-∇， 可引入矢势：B A =∇⨯ ，,D D E ρε∇⋅== ， ,H J B Hμ∇⨯==， 微分方程 ερφ-=∇2 微分方程 J A μ-=∇2 边值关系 ：21ϕϕ=， 12A A=2121n nϕϕεεσ∂∂-=-∂∂ 能量 12v W d v ρϕ=⎰ 12vW A J d v =⋅⎰6、 描述磁场B 的、满足A ∇⋅=0的矢势，是什么性质的矢量场？它是否是唯一的？理由是什么？答：依题意有：0A BA →⎧⎪∇⨯=⎨⎪∇⋅=⎩知→A 为一个有旋无源的场，既为横场，但不是唯一的，还需→A 在边界上的法向分量。
7、 我们知道，在J =0的区域，磁场强度满足0∇⨯H =，如果我们把它表示成m ϕ∇H =-，此方程仍能成立。
试述这样引入m ϕ所存在的问题。
答：若对静磁场，0J =时，0=⨯∇→H ，在此引入m H ϕ-∇=→。
只考虑了0=→J 即没有自由电流分布，但只有在没有自由电流分布的单连通区域内H →的环量才为零，只有对任意回路, 都有0lH dl ⋅=⎰ 时, 0∇⨯H =一定成立,才可以引入磁标势。
8、 磁标势微分方程是否说明存在真正的磁荷? 答:磁标势微分方程▽2φ= -ρm /μ0。
不是，这是一种假设,把电流圈看成磁偶极子，它即磁场是由磁偶极子产生的。
而磁偶极子可看成极性不同的两个“磁荷”形成，因而“磁荷”是磁偶极子的等效的假设。
9、 对于直长导线的磁场，在什么样的区域可以引入磁标势？ 答：可以在除去以直长导线为边线的半平面以外的区域引入磁标势。
10、试用磁荷观点与分子电流观点求一个磁化矢量为()x M 的永磁体在空间激发的磁场，并证明所得结果是一致的。
答：①依磁荷观点：整个空间中0,0,0J H B →→→=∇⨯=∇⋅=由0H →∇⨯=引入m ϕ，即H 可表为m H ϕ=-∇00m B M μϕμ⇒=-∇+ ，其中()0=∇⨯∇m ϕ……⑴ ②依分子电流观点：M J M =∇⨯ ，而依照题意有：0f J =，0D J = ，即：0B M μ∇⨯=∇⨯⇒BM ϕμ=-∇00B M μμϕ⇒=-∇且()0ϕ∇⨯∇=……⑵ 比较⑴⑵知，所得结果是一致的。
11、试说明：分布于有限区域的电流系，在R →∞时，其矢势A 21R，其磁感应强度B 31R 。
解：因有限区域的电流系可以分成许多闭合流管，∞→R 时，其失势场主要由闭合流管的磁偶极势和场决定即： )1(→A =2301~4RA R R m →→→⇒⨯πμ (1)(1)0331()~4R B A m B R R μπ→→→→→=∇⨯=-⋅∇⇒12、 我们知道，对于闭合电流圈，在场点离其很远的情况下，其矢势和场由其磁偶极势和场所决定。
因此，在上述条件下，人们常说小闭合电流圈与一磁偶极子等效。
试问，当场点离电流圈不是很远时，闭合电流能否与某种分布的磁偶极子等效？解：设电流线圈电流为I.当场点离电流圈不是很远时，闭合电流的场不能等效为一个磁偶极子的场，，但闭合电流的磁场可看作线圈所围的一个曲面上许多载电流I 的无限小线圈组合而成,如图,磁场就是许多无限小线圈的磁场矢量和. 如图3-12dm IdS =13、有一很长的柱面，表面有均匀分布的电流沿轴向流动，有人为了求柱面内长度为l 的一段柱体之中的磁场能量，使用了如下的公式：12L W dv =⋅⎰A J 按此公式，由于柱内0=J ，因此磁场能0W =L 。
试问这样做对否？为什么？解：这样做显然是不对的，因为磁场能量应为1(2w B H dv →→=⋅⎰普遍式），12W A J dv =⋅⎰仅对总能量有意义，→→⋅J A 21并非能量密度。
14、 如何对小电流圈在远处的矢势作多极展开？试证明展开式的第一项0=(0)A ，第二项(1)A 可表为043R μπ⨯=(1)m R A ，其中'212m x 1dl =⨯⎰ 。
解：对小电流圈在远处的矢势，R 〉〉X →'时，则⋯⋯+∂∂∂+⋅∇-=∑→R x x x x R x R r j i j j i i 1''211'112.！ 又: 0(')A()'4j x x dv rμπ=⎰所以 0')'(4)(0)0(===→→→→→⎰⎰l Id dv x J Rx A πμ '1')'(40)1(dv Rx x J I A⋅∇-=→→→→⎰πμ对于一个闭合流管，有：''4'1'4300)1(→→→→→→⋅=⋅∇-=⎰⎰l d R R x I l d R x I Aπμπμ式中，3RR→与积分变量无关，且'→x 为线圈上各点坐标，则''→→=x d l d又由0'=⎥⎦⎤⎪⎭⎫⋅⎢⎣⎡ ⎝⎛→→→⎰x R x d （全微分绕闭合回路的线积分为零）得()''''0x R d l d l R x →→→→→→⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰ 11'''''''22x R d l x R d l d l R x x dl R →→→→→→→→→→→→⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎤⎛⎫⋅=⋅-⋅=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎰⎰⎰所以3030)1(4''24R R m R l d x I R A →→→→→→⨯=⨯⎪⎭⎫⨯ ⎝⎛=⎰πμπμ，其中'2→→→⨯=⎰l d x I m 。