中考数学专题 函数及其图像

【解析】由题意可确定 y 与 x 是一次函数关系，当 x＝0 时，壶底到水面的高度 y 最大； 当 y＝0 时，时间 x 达到最大值．
【答案】B
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9．(2010· 台州)如图，点 A、B 的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线 y＝a(x－m) 2＋n 的顶点 在线段 AB 上运动，与 x 轴交于 C、D 两点(C 在 D 的左侧)，点 C 的横坐标最小值为－3，则 点 D 的横坐标最大值为( )
【答案】D
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6．(2009 中考变式题)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则点 A(a，c)在( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
)
【解析】∵图象开口方向向下，∴a<0.∵图象与 y 轴正半轴有交点，∴c>0，∴A(a，c) 在第二象限．
【解析】注意此分段函数的图象是不连续的． 【答案】C
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11．(2009 中考变式题)在同一直角坐标系中，函数 y＝mx＋m 和 y＝－mx2＋2x＋2(m 是 常数，且 m≠0)的图象可能是( )
【解析】排除法． 【答案】D
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12．(2009 中考变式题)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列四个 结论：①b<0；②c>0；③b2－4ac>0；④a－b＋c<0，其中正确的个数有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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4．(2011 中考预测题)如图，某电信公司提供了 A、B 两种方案的移动通讯费用 y(元)与 通话时间 x(分)之间的关系，则以下说法错误的是( ) ．．
A．若通话时间少于 120 分，则 A 方案比 B 方案便宜 20 元 B．若通话时间超过 200 分，则 B 方案比 A 方案便宜 12 元 C．若通讯费用 60 元，则 B 方案比 A 方案的通话时间多 D．若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或 185 分
D．k≥3
【解析】由题意得，k－3<0，∴k<3. 【答案】A
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3．(2010· 南京)如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标是(3,4)，则顶 点 A、B 的坐标分别是( ) A．(4,0)，(7,4) B．(4,0)，(8,4) C．(5,0)，(7,4) D．(5,0)，(8,4)
来自百度文库A．－3
B．1
C．5 D．8
【解析】当顶点为 A(1,4)时，此时 C 的横坐标最小值为 x＝－3，D 的横坐标最小值为 x ＝5.当顶点为 B(4,4)时，此时 D 的横坐标为最大值 5＋3＝8.
【答案】D
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10．(2011 中考预测题)从甲地向乙地打长途电话的收费标准为：不超过 3 分钟收费 2.4 元，以后每增加 1 分钟加收 1 元(不足 1 分钟按 1 分钟计算)．若通话时间不超过 5 分钟，则 下图中表示电话费 y(元)与通话时间 x(分)之间的函数关系的图象，正确的是( )
b 【解析】观察图象得－ <0，a<0，∴b<0，①正确；c>0，②正确；因抛物线与 x 轴有 2a 两个交点，∴b2－4ac>0，③正确；当 x＝－1 时，a－b＋c>0，④错误；所以正确的有 3 个．
【答案】C
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二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
6 13．(2010· 陕西)已知 A(x1，y1)、B(x2，y2)都在 y＝ 图象上．若 x1x2＝－3，则 y1y2 的值 x 为________．
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x ＋2x≤2 5．(2010· 黄冈)若函数 y＝ ，则当函数值 y＝8 时，自变量 x 的值是( 2xx>2
2
)
A．± 6 C．± 6或 4
B．4 D．4 或－ 6
【解析】 y＝x2＋2(x≤2)，则有 x2＋2＝8，∴x1＝ 6(舍去)，x2＝－ 6.若 y＝2x(x≥2)， 若 则有 2x＝8，∴x＝4.
【解析】排除法，观察图象可得，当 x<120 时，50－30＝20(元)，A 正确；当 x>200 时， 2 2 可求得 yA＝ x－18，yB＝ x－30，B 正确；当 x＝60 时，观察图象可得 C 正确；当费用相 5 5 差 10 元时，通话时间是 145 分或 195 分．
【答案】D
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19．(12 分)(2010· 温州)如图，抛物线 y＝ax2＋bx 经过点 A(4,0)、B(2,2)，连结 OB、AB. (1)求抛物线的解析式； (2)求证：△OAB 是等腰直角三角形； (3)将△OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 135° 得到△OA′B′，写出 A′B′的中点 P 的 坐标，试判断点 P 是否在此抛物线上，并说明理由．
1 1 【解析】令 y＝0，则 4x－2＝0，解得 x＝ ，∴交点坐标是( ，0)． 2 2
【答案】D
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2．(2010· 哈尔滨)反比例函数 y＝ 取值范围是( ) A．k<3 B．k≤3 C．k>3
k－3 的图象，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的 x
【答案】B
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7．(2010· 北京)将二次函数 y＝x2－2x＋3 化为 y＝(x－h)2＋k 的形式，结果为( A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1) 2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
)
【解析】y＝x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x－1)2＋2. 【答案】D
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《函数及其图象》达标检测 (训练时间：60 分钟 分值：100 分) 《函数及其图象》达标检测 (训练时间：60 分钟 分值：100 分)
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一、选择题(每小题 4 分，共 48 分)
1．(2009 中考变式题)一次函数 y＝4x－2 与 x 轴的交点坐标是( 1 1 A．(－ ，0) B．(－2,0) C．(2,0) D．( ，0) 2 2 )
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8．(2010· 天津)如图，是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水， 水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用 x 表示时 间，y 表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内 y 与 x 的函数关系的是(不 考虑水量变化对压力的影响)( )
1 2 5 【解析】令 y＝0，则－ x2＋ x＋ ＝0，解得 x1＝10，x2＝－2，即推出的距离是 10 米． 12 3 3
【答案】10
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17． (2011 中考预测题)请选择一组你喜欢的 a、 c 的值， b、 使二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当 x<2 时，y 随 x 的增大而增大；③当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是____________．
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(3)如图，△OA′B′为旋转后的三角形，∵△OAB 是等腰直角三角形，且 OA＝4.∴OB ＝AB＝2 2. 由题意得 A′坐标为(－2 2，－2 2)， ∴A′B′的中点 P 的坐标为(－ 2，－2 2)． 1 当 x＝－ 2时，y＝－ ×(－ 2)2＋2×(－ 2)≠－2 2， 2 ∴点 P 不在此抛物线上．
解：设乙车出发 x h 后，甲、乙两车离 A 地的路程分别是 y1 km 和 y2 km.根据题意，得 y1＝60(x＋0.5)＝60x＋30，y2＝80x. 当乙车追上甲车时，y1＝y2.即 60x＋30＝80x. 解这个方程，得 x＝1.5.
答：乙车出发后 1.5 h 追上甲车．
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【解析】由题意，得 x1y1＝6，x2y2＝6，∴x1y1·2y2＝6×6＝36，∵x1x2＝－3，∴y1y2＝ x －12.
【答案】－12
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14．(2010· 天津)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值 如下表： 3 1 1 3 x 0 1 „ － －1 － „ 2 2 2 2 5 9 5 7 y 0 „ － －2 － －2 － „ 4 4 4 4 则该二次函数的解析式为________．
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a＝－ 1， 16a＋4b＝0， 2 解：(1)由题意得 解得 4a＋2b＝2. b＝2.
1 ∴该抛物线的解析式为 y＝－ x2＋2x. 2
(2)如图，过 B 作 BC⊥x 轴于点 C， 1 1 由(1)知 y＝－ x2＋2x＝－ (x－2)2＋2. 2 2 则此二次函数的顶点坐标为(2,2)， ∵A(4,0)，∴OC＝BC＝AC＝2. ∴∠BOC＝∠OBC＝∠BAC＝∠ABC＝45° . ∴∠OBA＝90° ，OB＝AB. ∴△OAB 是等腰直角三角形．
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15．(2009 中考变式题)将抛物线 y＝2(x＋1) 2－3 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单 位，则所得抛物线的表达式为________．
【解析】抛物线向右平移 1 个单位得到 y＝2x2－3，再向上平移 3 个单位得到 y＝2x2.
【答案】y＝2x2
16．(2009 中考变式题)一名男士推铅球，铅球行进高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位： 1 2 5 m)之间的关系是 y＝－ x2＋ x＋ ，则他将铅球推出的距离是______m. 12 3 3
【解析】已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过三点(－1，－2)、(0，－2)、(1,0)，则
a－b＋c＝－2， c＝－2， a＋b＋c＝0，
a＝1， 解得b＝1， c＝－2.
所以该二次函数的解析式是 y＝x2＋x－2.
【答案】y＝x2＋x－2
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20．(12 分)(2011 中考预测题)如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米， 底部宽度 OM 为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使 C、D 点在抛物线上，A、B 点在地 面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【解析】过 C 作 CE⊥OA 于点 E，∵C(3,4)，故在 Rt△OCE 中，OC＝5.∵四边形 OABC 是菱形，∴OA＝OC＝5，故 A(5,0)．过 B 作 BF⊥x 轴于点 F，在 Rt△BAF 中，由 AB＝OC ＝5，BF＝CE＝4 得 AF＝3，∴OF＝8，∴B(8,4)．
【答案】D
【解析】如 y＝－x2＋4x＋1 或 y＝－x2＋4x＋3 等． 【答案】答案不唯一
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三、解答题(共 32 分)
18．(8 分)(2010· 南京)甲车从 A 地出发以 60 km/h 的速度沿公路匀速行驶，0.5 h 后，乙 车也从 A 地出发，以 80 km/h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追 上甲车．请建立一次函数关系解决上述问题．
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解：(1)M(12,0)，P(6,6)． (2)设抛物线解析式为 y＝a(x－6) 2＋6. ∵抛物线 y＝a(x－6)2＋6 经过点(0,0)， 1 ∴0＝a(0－6)2＋6，则 a＝－ . 6 1 1 ∴抛物线解析式为 y＝－ (x－6)2＋6，即 y＝－ x2＋2x. 6 6 1 (3)设 A(m,0)，则 B(12－m,0)，C(12－m，－ m2＋2m)， 6 1 D(m，－ m2＋2m)． 6 1 1 1 ∴“支撑架”总长 AD＋DC＋CB＝(－ m2＋2m)＋(12－2m)＋(－ m2＋2m)＝－ m2＋ 6 6 3 1 2m＋12＝－ (m－3)2＋15. 3 ∵此二次函数的图象开口向下， ∴当 m＝3 米时，AD＋DC＋CB 有最大值为 15 米．