三曲线凹凸与拐点
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证 f ( x) 二阶可导, f ( x) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号, f ( x)在x0取得极值,由可导函数取得极值的条件, f ( x) 0.
方法1: 设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点;
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
三、曲线的拐点及其求法
1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bxΒιβλιοθήκη Baidu
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b) 内
(1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ;
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凹的 ;
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的 ;
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
由假设 f ( x) 0 f ( x)在[a,b]内单调减
由1 2 f (1 ) f (2 ) 0
2 f ( x0 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] 0
即
f
x1
2
x2
f ( x1 ) 2
f ( x2 )
f ( x0 ) f ( x1 ) f (1 )h ( x1 1 x0 )
f ( x2 ) f ( x0 ) f (2 )h ( x0 2 x2 )
两式相减，得
2 f ( x0 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] [ f (1 ) f (2 )]h
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
这里n为奇数≥3， 则( x0 , f ( x0 ))是拐点
证 记 g( x) f ( x) 则 g(n3)( x0 ) f (n)( x0 ) 0 由高阶导数判定极值的方法知 g( x)在x0处取得极值 不妨设为极小值
一、曲线凹凸的定义 y
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设f ( x)在(a,b)内连续, 如果对(a,b)内任意
两点 x1, x2 ,
恒有
f ( x1 x2 ) 2
(2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
(2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
证明 (2)x1, x2 (a,b), x1 x2
记 x0 对f ( x)在[
x1 x1 ,
x2 ,h 2 x0 ],[ x0
x0 , x2 ]上
x1 x2 x0 分别应用L—定理，得
这就证明了 f ( x)在(a,b)内是上凸的
同理可证（1）
注 定理的结论可推广到任意区间上
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解 y 3x2, y 6x,
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的；
在x0的左、右两侧邻近，有 f ( x) f ( x0 ) 0 f ( x)
x x0时 f ( x) f ( x0 ) 0 x x0时 f ( x) f ( x0 ) 0
4
f (7) 2 0,
4
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
4
4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例4 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
f ( x)
0
0
(23 ,)
拐点
拐点
f ( x) 凹的
(0,1)
凸的 (2 3 ,1127)
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
7 x2 4 .
f (3) 2 0,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号, f ( x)在x0取得极值,由可导函数取得极值的条件, f ( x) 0.
方法1: 设函数f ( x)在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0, (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点;
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
三、曲线的拐点及其求法
1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bxΒιβλιοθήκη Baidu
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b) 内
(1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ;
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凹的 ;
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的 ;
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
由假设 f ( x) 0 f ( x)在[a,b]内单调减
由1 2 f (1 ) f (2 ) 0
2 f ( x0 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] 0
即
f
x1
2
x2
f ( x1 ) 2
f ( x2 )
f ( x0 ) f ( x1 ) f (1 )h ( x1 1 x0 )
f ( x2 ) f ( x0 ) f (2 )h ( x0 2 x2 )
两式相减，得
2 f ( x0 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] [ f (1 ) f (2 )]h
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
这里n为奇数≥3， 则( x0 , f ( x0 ))是拐点
证 记 g( x) f ( x) 则 g(n3)( x0 ) f (n)( x0 ) 0 由高阶导数判定极值的方法知 g( x)在x0处取得极值 不妨设为极小值
一、曲线凹凸的定义 y
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设f ( x)在(a,b)内连续, 如果对(a,b)内任意
两点 x1, x2 ,
恒有
f ( x1 x2 ) 2
(2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
(2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
证明 (2)x1, x2 (a,b), x1 x2
记 x0 对f ( x)在[
x1 x1 ,
x2 ,h 2 x0 ],[ x0
x0 , x2 ]上
x1 x2 x0 分别应用L—定理，得
这就证明了 f ( x)在(a,b)内是上凸的
同理可证（1）
注 定理的结论可推广到任意区间上
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解 y 3x2, y 6x,
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的；
在x0的左、右两侧邻近，有 f ( x) f ( x0 ) 0 f ( x)
x x0时 f ( x) f ( x0 ) 0 x x0时 f ( x) f ( x0 ) 0
4
f (7) 2 0,
4
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
4
4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例4 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
f ( x)
0
0
(23 ,)
拐点
拐点
f ( x) 凹的
(0,1)
凸的 (2 3 ,1127)
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
7 x2 4 .
f (3) 2 0,