材料力学(第七讲)

第七章 • 梁变形的描述： 梁变形的描述：
弯曲变形
θ(x)
w(x)
θ′(x)
x
l
A
F
x
l
B
1、横截面的形心在垂直于梁轴方向的位移 —— 挠度 w 2、横截面形心的轴向位移可忽略不计 3、截面绕形心轴的角位移 —— 转角θ 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x) 忽略剪切变形 ，且梁的转角一般很小—— θ = θ’ ≈ tgθ’ ＝ dw/dx
思考： 思考： 1. 该梁可分几段积分？ 该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有 多少位移边界与连续条件？ 多少位移边界与连续条件？ (1). 分4段。位移边界条件： 位移边界条件：A端：两个； 两个； D端：无。 位移连续条件： 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：3个 (2). 分3段。ED段不受力， 段不受力，保持直线， 保持直线，仅作刚性转动。 仅作刚性转动。 请自行考虑。 请自行考虑。
四个方程定4 四个方程定4个常数
w1 ( x ) = M0x 4x2 − l2 24 lE I
w2 ( l ) = 0
l l ′ = w2 ′ w1 2 2
M 0 (x − l ) M 0l (x − l ) w2 (x ) = − 6 EIl 24 EI
3
(
)
第七章
第七章
弯曲变形
M0 x+C θ = w′ ( x ) = EI M0 2 w ( x) = x + Cx + D A 2 EI
3、积分常数的确定 w(0) = 0 w’(0) = 0
x
B
M0
D=0 C=0
M0 2 M0 w ( x) = x , θ ( x) = x EI 2EI
第七章
弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
第七章 查表, 查表,p 351
弯曲变形 q
F
θA
M0
wA
M 0l 2 2 EI
Fl 3 3 EI
l
A
M0
M 0l EI
Fl 2 2 EI
F
l
A
F
M0
q
− ql 3 6EI
2 3
− ql 4 8EI
4
叠加： 叠加：
wA =
M 0l Fl ql (↑ ) + − 2 EI 3 EI 8 EI
l
q
A
M 0l 2 Fl 2 ql 3 θA = + − EI 2 EI 6 EI ( )
第七章 载荷叠加法的应用 例：EI =常数， 常数， 求 wA ，θ A 分析方法： 分析方法： q
弯曲变形
F
l
A
M0
载荷由集中力F 载荷由集中力F，均布力q 均布力q和力偶M 和力偶M0构成， 构成，分别查 表（请熟悉P351 请熟悉P351附录 P351附录E 附录E中 1，3，4，6，8，9各 梁的挠度和转角） 梁的挠度和转角），然后将各个载荷在A 然后将各个载荷在A端引起 的位移叠加。 的位移叠加。
()
2. BC扭转(AB 扭转(AB刚化 (AB刚化， 刚化，BC弯曲 BC弯曲 刚度刚化) 刚度刚化) Fal Fa 2 l w A2 = ϕ B ⋅ a = ⋅a = ↓ GI p GI p
第七章
弯曲变形
例：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
F A B C E D
边界条件： 边界条件：
w A = 0, θ A = 0 固定端： 固定端：
连续条件： 连续条件： E点：
自由端： 自由端：无位移边界条件
左 右 左 右 wE = wE , θE = θE 左 右 wB = wB
右 左 右 wC = 0 θC = θC
b
弯曲变形怎样描述？ 弯曲变形怎样描述？
b1
F
F
l l1
第七章
弯曲变形
•弯曲变形的特点
挠曲轴
轴线变为曲线， 轴线变为曲线，变弯后的梁轴， 变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、 连续、光滑曲线 对称弯曲时， 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁， 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而各横截面仍保持平面， 因而各横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
(通常θ 通常θ<1º=0.0175弧度 =0.0175弧度) 弧度)
第七章
弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导（请考虑推导思路） 请考虑推导思路）
中性层曲率表示的弯曲变形公式
M = （纯弯） ρ EI 1
1 M ( x) = （推广到非纯弯） ρ ( x) EI
由高等数学知识
1 w ′′( x ) =± ρ ( x) 1 + [ w ′( x )]2
支座性质定该处线和或 角位移 弯矩图符号定挠曲轴凹凸性
凹 凹 凸
M
+
qa 2 4
qa 2 32
直线
挠曲轴大 致形状
弯矩图过零点处为挠曲轴拐点
第七章
Me
弯曲变形
Me
思考题：悬臂梁受力如图示.关 于梁的挠曲线,由四种答案,请 分析判断,哪一个是正确的?
Me Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
Me
Me
A
l 2
第七章
弯曲变形
§7-5 计算梁位移的叠加法
载荷叠加法 逐段变形效应叠加法 例题
第七章
弯曲变形
一、 载荷叠加法
在材料服从胡克定律、 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 且变形很小的前提下,载荷与它 所引起的变形成线性关系。 所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时， 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是 各自独立的， 各自独立的，互不影响。 互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截 面上引起的变形， 面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形， 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形， 然后叠加。 然后叠加。
第七章
弯曲变形
第七章 弯曲变形
§7-1 §7-2 §7-3 §7-5 §7-6 §7-7 引言 挠曲轴近似微分方程 计算梁位移的积分法 计算梁位移的叠加法 简单静不定梁 梁的刚度条件与合理刚度设计
第七章
弯曲变形
§7-1 引言
目的: 目的: 1、 解决梁的刚度问题 2、 求解静不定梁 3、 为研究稳定问题打基础 回顾： 回顾： 拉压杆的变形： 拉压杆的变形：伸长或缩短 (∆l) 圆轴扭转的变形： 圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转角ϕ ) 问题： 问题：
l
B
F F
A B
a
F
A w A1
B
w3
Fa
A
ϕB
1. AB弯曲(BC 弯曲(BC刚化 (BC刚化） 刚化）
w A1
Fa (↓ ) = 3 EI
3
3. BC弯曲(AB 弯曲(AB刚化 (AB刚化， 刚化，BC扭转刚度刚化 BC扭转刚度刚化) 扭转刚度刚化) Fl 3 w A3 = w B = ↓ 3 EI
(
)
32
挠曲轴微分方程
(1 + [w′( x )] )
w ′′( x )
2 32
=±
M (x) —— 二阶非线性常微分方程 EI
第七章
弯曲变形
(1 + [w′( x )] )
方程简化
w ′′( x )
2 32
M (x) =± EI
w
正弯矩
o
w
x
•小变形时： w′ 2 << 1
d 2w M(x) =± 2 dx EI
A B
C
逐段变形效应叠加法： 逐段变形效应叠加法： 静定梁或刚架的任一横 截面的总位移， 截面的总位移，等于各 梁段单独变形 (其余梁 段刚化)在该截面引起 的位移的代数和或矢量 和。
l
qa
A B
a
qa2/2
C
l
a
第七章 例：EI =常数 =常数， 常数，求 wA
C
弯曲变形
BC刚化 BC刚化 C
AB刚化 AB刚化 加 a.BC弯曲刚度刚化 a.BC弯曲刚度刚化C b.BC扭转刚度刚化 b.BC扭转刚度刚化
w=0 w=0 w=0
位移边界条件 自由端： 自由端：无位移边界条件。 无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B、C 点连续且光滑 连续： 连续：wB左= wB右
A B C F
θ=0
M
D
光滑： 光滑：θΒ左 = θΒ右
第七章
弯曲变形
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件 例：
F A B C E D
B
l 2
C
l 2
D
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
(a)
Me
(b)
Me
Me
Me
A
l 2
B
l 2
C
l 2
D
A
l2
B
l2
C
l2
D
(C)
(d)
AB,CD段弯矩为零， 段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。 所以这两段保持直线不发生弯曲变形。 AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。 三段变形曲线在交界处应有共切线。
中间铰B 中间铰B： 中间支撑C 中间支撑C：
左 wC =0
第七章
弯曲变形
例：已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A 解:
x
B
M0
1、弯矩方程: 弯矩方程: M ( x ) = M 0 2、挠曲轴近似微分方程
w′′ ( x ) =
M0 EI
M0 θ = w′( x) = x +C EI
M0 2 w ( x) = x + Cx + D 2EI
qa 3 = (3a + 4l ) (↓ ) 24 EI
θC = θC1 + θC 2
qa 2 (a + l ) ( ↵) = 6 EI
第七章
弯曲变形
q
进一步讨论
wC = wC 1 + wC 2 qa (3a + 4l ) (↓ ) = 24 EI
3
A
C B
l
a
q
θC = θC1 + θC 2
qa 2 (a + l ) (↵) = 6 EI
l
A
第七章
弯曲变形
例：若图示梁B 若图示梁B端的转角θ 端的转角θB=0， =0，则力偶矩ｍ 则力偶矩ｍ等于多少？ 等于多少？
θB
Pa m ⋅ 2a =− + =0 EI 2 EI
2
Pa m= 4
第七章
弯曲变形
q
C B
二、逐段变形效应叠加法
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
仅考虑BC段变形( 段变形(刚化AB,可 视BC为悬臂梁) 为悬臂梁)
x
A
B
M0
Hale Waihona Puke Baidu
C
l/2
M0 /l
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力， 计算约束反力，建立坐标系。 建立坐标系。 AC段： w ' ' = M 0 x BC段： w ' ' = M 0 ( x − l ) 2 1 EI l EIl 2 M x ' 0 M0 2 ' w1 = + C1 ( ) w = x − l + C2 2 2 EI l 2lEI M0 x3 M0 3 w1 = + C1 x + D1 ( w2 = x − l ) + C2 x + D2 6EI l 6lEI
wC 1 = qa qa (↓) θC 1 = (↵) 8 EI 6 EI
4 3
A
l
A B
a q
C
l
qa
A B
a
qa2/2
a
C
仅考虑AB段变形( 段变形(刚化BC)
qa2l (↵) θC 2 = θB2 = 6EI qa3l wC 2 = θB2a = (↓) 6EI
l
总挠度和转角
wC = wC 1 + wC 2
负弯矩
x
o
•正负号确定: 正负号确定: 坐标系： 坐标系：w 向上为正 弯矩: 弯矩M 弯矩M为正时， 为正时，挠曲线为凹曲线 w′′ > 0 弯矩M 弯矩M为负时， 为负时，挠曲线为凸曲线 w′′ < 0
M与w〞保持同号
d 2w M(x) = 2 dx EI
第七章
弯曲变形
小结
挠曲轴的近似微分方程
弯曲变形
怎样描绘挠曲轴的大致形状？ 怎样描绘挠曲轴的大致形状？
依据1 依据1：画出弯矩图， 画出弯矩图，根据弯矩的正负 根据弯矩的正负， 弯矩的正负，零值点或 零值区， 零值区，确定挠曲轴的凹凸 确定挠曲轴的凹凸， 凹凸，拐点或直线区， 拐点或直线区，而 且，弯矩愈大， 弯矩愈大，曲率愈大。 曲率愈大。
d 2w M(x) = dx 2 EI
w
正弯矩
o
x
应用条件： 应用条件： 小变形 坐标轴 w 向上， 向上，弯矩下凹为正 •土木建筑部门， 土木建筑部门，采用坐标轴 w 向下坐标系
d 2w M(x) = − dx 2 EI
σ max ≤ σ p
第七章
弯曲变形
§7-3
计算梁位移的积分法
一、梁的挠曲轴方程
w ′′ = M (x) EI
dw M (x) =θ = ∫ dx + C dx EI
M (x) w = ∫∫ dx + Cx + D EI C、D为积分常数， 为积分常数，它们由位移的边界条件与连续条件 确定。 确定。
第七章
w = ∫∫ M (x) dx + Cx + D EI
弯曲变形
二、梁位移的边界条件与连续条件
第七章
弯曲变形
M0 x3 w= + C1 x + D1 6 EI l M0 ( x − l)3 + C2 x + D2 w2 = 6lEI
边界和连续条件: 边界和连续条件:
x
A
M0
B
l/2
M0 /l
l/2
M0 /l
w1 ( 0 ) = 0
l l w1 = w 2 2 2
依据2 依据2：约束处， 约束处，应满足位移边界条件； 应满足位移边界条件；分段点处， 分段点处， 应满足位移连续条件。 应满足位移连续条件。
第七章 绘制挠曲轴的大致形状： 绘制挠曲轴的大致形状：
qa 2
A B
弯曲变形
q
C
3qa 4
a
a
qa 4a
D
3qa 4
Fs
+
_
qa 4
1. 绘制弯矩图。 绘制弯矩图。 2. 绘制挠曲轴的大致形状