八上专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型

类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型

模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数

1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．

(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE 的度数；

(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明．

模型2：求两内角平分线的夹角的度数

2．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB 的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，则∠A ＝_____.

3．如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．

(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．

(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋

1

2∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．

模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数

4．如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.

(1)求证：∠A1＝

1

2∠A；

(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD 的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，则∠A2017＝_____________.

模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】

5．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系为____________；

(2)请就(1)中的结论进行证明．

参考答案与解析

1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝

1

2

∠BAC ＝1

2×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD

＝90°－∠B ＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.

(2)∠DAE ＝1

2(β－α)，证明如下：∵∠B

＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝1

2∠BAC

＝90°－1

2(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°

－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－⎣⎡⎦⎤90°－12（α＋β）＝1

2

(β－α)． 2．60°

3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝

1

2(180°－∠A )＝1

2×(180°－80°)＝50°，

∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°.

(2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝1

2(∠ABC ＋

∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－1

2∠A ，

∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠A ＝90°＋1

2

∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD ＝12∠ACD ＝1

2(∠A ＋∠ABC )．又

∵∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝1

2(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分

∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴1

2

∠ABC ＋

∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝1

2

∠A .

(2)α2

2017 5．(1)∠BOC ＝90°－1

2

∠A

(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC

的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝1

2∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－1

2∠A .