异面直线典型例题

典型例题一

例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（ ）． A ．异面直线 B ．相交直线

C ．平行直线

D ．相交直线或异面直线

分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．

解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //． 若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面． 故选D ．

说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置

关系是相交、平行或异面．类似地；a ，

b 异面，b ，

c 异面，则

a ，c 的位置关系是平行、相交或异

面．这些都可以用正方

体模型来判断．

典型例题二

例2 已知直线a 和点A ，α∉A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行．

分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．

存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．

因此，这是否定性．．．命题，常用反证法． 证明：（1）存在性．

∵ a A ∉，∴ a 和A 可确定一个平面α，

由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线． （2）惟一性

假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与

A c b = 矛盾，

∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行．

说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．

典型例题三

例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且

λ==AD AH AB AE ，μ==CD

CG CB CF ，求证： （1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形． 分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可．

证明：连结BD ，

在ABD ∆中，λ==AD AH

AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=． 在CBD ∆中，μ==CD

CG

CB CF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=．

∴ FG EH //，

∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形． 说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况． 特别地，当2

1

==μλ时，E ，F ，G ，H 是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．

如果再加上条件BD AC =，这时，平行四边形EFGH 是菱形．

典型例题四

例4 已知b a 、是两条异面直线，直线a 上的两点B A 、的距离为6，直线b 上的两点

D C 、的距离为8，BD AC 、的中点分别为N M 、且5=MN ，求异面直线b a 、所成的角．

分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线b a 、平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．

解：如图，连结BC ，并取BC 的中点O ，连结ON OM 、， ∵ON OM 、分别是ABC ∆和BCD ∆的中位线， ∴AB OM //，CD ON //，即

a OM //，

b ON //．

∴ON OM 、所成的锐角或直角是异面直线b a 、所成的角． 又∵ 6=AB ，8=CD ， ∴3=OM ，4=ON ． 在OMN ∆中，又∵5=MN ， ∴2

2

2

MN ON M =+， ∴

90=∠MON ．

故异面直线b a 、所成的角是

90．

说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点O 一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．

典型例题五

例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．

分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线

AB SC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所

成的角可采取平移构造法求解．

解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连

结CF SF 、．

由已知，得SAB ∆≌CAB ∆． ∴CF SF =，E 是SC 的中点， ∴SC EF ⊥． 同理可证AB EF ⊥

∴EF 是AB SC 、的公垂线段． 在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 2

1

=． ∴22SE SF EF -=

a a a 2

2

414322=-． （2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．

∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角． 连结FG ，在EFG ∆中，a EG 21=，a GF 2

1

=，a EF 22=． 由余弦定理，得

222

2

2124142412cos 2

222

2

2

=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠a a a

a a EF EG GF EF EG GEF ． ∴

45=∠GEF ．

故异面直线EF 和SA 所成的角为

45．

说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．