结构力学主要定理

§11-1概述

1．变形功与变形能

弹性杆受拉力P作用（图11-1），当P从零开始到终

值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也

由零增至而做功，称为变形功。

（11-1）

与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明

杆件内储存了变形能。单位体积储存的应变能称为应

变比能（11-2）

整个杆件的变形能为（11-3）

如果略去拉伸过程中的动能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有U=W （11-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残

余变形。

2．应变余功与余能

变形体受外力作用时的余功定义

为

其中P1是外力从零增加到的终值，

仿照功与变形能相等的关系，将余功

相应的能称为余能，用U c表示。余

功与余能相等，

即

可仿照前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能

由此整个结构余应变能可写成

应指出：余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。

3．能量原理

固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。4．本章内容

本章只涉及能量原理在材料力学中常用的部分内容，如：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，

可参考其它专著。

§11-2 杆件变形能计算

杆件不同受力情况下的变形能。

1．轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）

拉、压杆应变比能则整个杆的变形能

或

（11-5）

（11-6）

其中，N是内力（轴力），A是截面面积，l是杆长。

对于等截面杆，内力N=P=常数，用

（11-1），线弹性范围内拉压杆的变形

能

而杆的伸长（或缩短），上式

可改写成（11-7）

2．纯剪，扭转线弹性杆件（图11-4）

线弹性材料纯剪应力状态杆件的应变比能为或（11-8）

扭转杆的变形能（11-9）

其中，T（x）是截面上的扭矩（内力）。

对于受扭转力偶矩m作用的等截面圆杆，如果杆件材料是线弹性的，则其扭转角为

；扭转力偶矩m所作的功为。

则由（11-1），扭转变形能为（11-10）

3．线弹性梁弯曲

弹性弯曲杆的应变比能；整个杆的变形能

（11-11）

=（11-12）

其中，M（x）是梁截面的弯矩（内力矩）。

对于弹性纯弯曲梁，其两端受弯曲力偶矩

m作用，m由零开始逐渐增加到最终值，

则两端截面的相对转角为θ，则弯曲力偶

矩所做的功为（图11-5）

，

则由（11-1）得杆的应变

能11-13）对于纯弯曲梁常数，上式亦可由（11-8）得到。

4．广义力与广义位移

对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成（11-14）

式中P在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯曲时代表弯曲力偶矩，P称为广义力，而与之相应的位移δ，称为广义位移，如拉伸时它是与P相应的线位移；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移；弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移θ。更一般地

说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。

5．非线性弹性材料的构件的变形功、变形能

对于非线性弹性材料的构件（图11-1），（11-4）式仍成立，但力与位移关系，应力与应变关

系应为由试验确定的曲线（图11-1），变形能与应变比能为，

（11-15）

例题11-1轴线为半圆形平面曲杆如图11-6，作用

于A点的集中力P垂直于轴线所在平面，求P力

作用点的垂直位移。

解：杆的任一截面mn位置可用圆心角φ来表示，

曲杆在P力作用下，mn截面上有弯矩与扭矩为

对于截面尺寸远小于半径R的曲杆（常称小曲率曲杆），可按直杆计算其变形能，微段

内的变形能是

整个曲杆变形能可在杆上积分，即

P做的功W为, 根据（11-1）有, ,

由此得:，

例题11-2 图11-7简支梁中间受集中力P作用，试导出横力弯曲变形能U1和剪切变形能U2，以矩形截面梁为例比较这两变形能的大小。

解：（1）变形能计算如图11-8所示，m-n

截面上内力为M(x)、Q(x)，则

有, 。

弯曲变形比能又可称应变比能u1，剪切变

形比能u2分别为

,

∴，

令，并令，则有：，

。

横力弯曲总应变能；

对于矩形截面梁（图11-8）无量纲参数k为

；

对其它截面形状，同理可求得相应的k，例如圆形截面

，圆管截面梁k=2。

（2）两变形能的比较

图11-7简支梁，

则按上式，

总应变能，两应变能之比，。

矩形截面，，∴。

取，当，以上比值为0.125；当，为0.0312。可见对细长梁，剪切应变能可以忽略不计，而短粗梁应予考虑。

例题11-3梁的材料应力—应变关系为，试求梁的变形能U及变形余能U c的表达式。

解：（1）变形能U应变比能u为，∴

。