微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面

其中常数A, B依赖于v0，
偏微分方程 ()的通解为： G A(v ) cos( K u) B(v ) sin( K u)
G A(v ) cos( K u) B(v ) sin( K u) 由初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0得： A(v ) 1, B(v ) 0. 曲面的第一基本形式为
高斯曲率恒等于零的曲 面(可展曲面 ) 例2. 由刚才的讨论可知，
可与平面等距等价 . 的第一基本形式与平面 相同，
负常高斯曲率的曲面与 什么曲面等距等价呢？ 问题：
7.2 伪球面
曲面统称为伪球率曲面 . 定义 高斯曲率等于负常数的 切点 定义 (曳物线) 如果曲线(C )上任意一点的切线介于
称此曲线为曳物线 . 和z轴之间的线段始终保持 定长a， z z轴称为曳物线的渐近线 . (如图) Q a P 曳物线方程 设曳物线的参数方程为 x o x x( t ) z z( t )
x dt 0, z 切线与z轴交点Q的坐标为： dx dt
x
又 PQ a， x 2 x 2
dz dt a 2 dx dt
2
Q
z
a P P ( x, z )
o
x
a2 x2 由此解得：dz dx x 若令x a sin t，则 1 1 sin2 t a cos t sint )dt dt a( dz a cos tdt a sint sint a sint t z a(lntan cos t ) 2 xoz面上以z轴为渐近线的曳物线方 程为： x a sin t z a(ln tan t cos t ) 2
称为伪球面 . 定义 上述曳物线绕z轴旋转所得的旋转曲面 z 伪球面的参数方程
x a sin t cos y a sin t sin z a(ln tan t cos t ) 2
o
y
伪球面的第一基本形式和高斯曲率 x 2 2 2 2
I ds dx dy dz (a cost cosdt a sint sind )2
设 G ( u, v )为偏微分方程 ()的通解，
则( u, v0 )( v0为常数)为常微分方程：
d 2w Kw 0 2 du
( )
的通解. 齐次微分方程 ( )的特征方程为： r2 K 0 特征根为： r Ki 齐次微分方程 ()的通解为： (u, v0 ) A cos( K u) B sin( K u)
(3).负常数高斯曲率的曲面 ( K 0) 齐次微分方程 ( )的特征方程为： r2 K 0 r1, 2 K 特征根为： 齐次微分方程 ( )的两个线性无关的特解 为：
e K u和e K u e Ku e Ku e Ku e ch K u 和sh K u 2 2 也是齐次微分方程 ( )的两个线性无关的特解 .
2
2
u a lnsint 作参数变换： v u 于是：du a cot tdt, dv d , sint e a
伪球面的第一基本形式
I du 2 a 2e dv 2
2u a
所以伪球面的第一基本形式
2
2 2 2u a
2 1 (e ) 1 1 G 1 (a e ) u 2. K 2 2 u 2 u a u G u a a e ae 即为负常数.


E u v E u G v 2 1 G 1 G uu 2 G u G 现设曲面S的高斯曲率 K 常数， 则得二阶常系数偏微分 方程： 1 K EG


G

2 G ( ) K G 0 2 u 根据初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0. 按以下三种情形求出这 个偏微分方程的解 . (1).正常数高斯曲率的曲面 ( K 0)
7.1 常高斯曲率的曲面
由上节可知： 取曲面S : r r (u, v )上的一条测地线 (C )为v 曲线 : u 0, 另取与 (C )正交的测地线族为 u 曲线, 得一半测地坐标网 . 在此半测地坐标网下， 曲面的第一基本形式可 简化为 I du2 G(u, v )dv 2 其中G( u, v )满足条件 G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0. 测地线(C ) 此时，曲面的高斯曲率 为： G E 1 u v K EG E u G v
1 2 a ( sin tdt ) (a cost sindt a sint cosd ) sin 2 a 2 2 2 2 2 2 a cos tdt a sin td ( 2 2a 2 a 2 sin2 t )dt 2 sin t a 2 cot2 tdt 2 a 2 sin2 td 2
z P( x, z )是曲线上任意一点， Q dx dz a P P ( x, z ) 曲线在该点的切向量为 { ， }, dt dt o 曲线在该点的切线方程 为： dx X x dt , dz Z z dt dx dz 切线上点的坐标为： (x ,z ) dt dt x dx 如果该点z在轴上， , 则x 0, 从而 dx dt dt dz
第二章
曲 面 论
§7 常高斯曲率的曲面
主要内容
1.常高斯曲率的曲面； 2.伪球面； 3. 罗氏几何.
问题的提出
等距等价的两个曲面在 对应点有相同的高斯曲 率, 但反之不然 . 即两个曲面在对应点有 相同的高斯曲率， 但它们不一定等距等价 . 例如曲面S : r {u cos v, u sin v, ln u} 曲面S : r {u cos v , u sin v , v } 在对应点有相同的高斯 曲率K , K , 但它们不等距等价 . 它们的第一基本形式不 相同 . 但是，如果 K (u, v )是常数，情况就不同了 .
Ku
齐次微分方程 ()的通解为： (u, v0 ) Ach( K u) Bsh( K u)
其中常数A, B依赖于v0，
偏微分方程 ()的通解为：
G A(v )ch( K u) B(v ) sh( K u) 由初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0得： A(v ) 1, B(v ) 0. 曲面的第一基本形式为
I du 2 cos 2 ( K u)dv 2 (2).高斯曲率K 0 偏微分方程 ()的通解为： G A(v ) B(v )u 由初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0得： A(v ) 1, B(v ) 0. 曲面的第一基本形式为
I du 2 dv 2
2u a
I du 2 ch2 ( K u)dv 2 由以上三种情形可以看 出： 曲面的第一基本形式由 常数K完全决定.于是有： 定理 具有相同常高斯曲率 K的曲面总是等距等价的 .wk.baidu.com
. 注 这种等价也是局部的
1 例1. 高斯曲率恒等于 2 的曲面可以和半径为a的球面 a 等距等价.
事实上， 以原点为圆心，半径为 a的球面方程为： x a cos u cos v y a cos u sin v z a sin u
I a 2du2 a 2 cos2 udv2 球面的第一基本形式为 ： 2 2 u 作参数变换：u au, v av, 则有： I du cos dv 2 a 1 而具有正常数高斯曲率 2 的曲面的第一基本形式 为： a 2 2 u 2 2 2 I du cos ( K u)dv du cos dv2 a 它们等距等价.