大学物理第八章 静电场

dE
dΕy
dEx
p
d r
θ1
o
θ
θ2
x dx
x
dq dE= 4πε0r2
其中： 其中： dq = λdx
dEx =dEcosθ
dEy =dEsinθ
λdx Ex = ∫dEx = ∫dEcosθ= ∫ cosθ 2 4πε0r λdx Ey = ∫dEy = ∫dEsinθ= ∫ sinθ 2 4πε0r
则半径为r的圆环在 点的合电场为 则半径为 的圆环在p点的合电场为： 的圆环在 点的合电场为：
π Q x E= ∫dE= 2 ⋅ 2 dφ 2 32 ∫ 4π ε0 (R +x ) 0 Q x = ⋅ 2 4πε0 (R +x2 )3 2
讨论： 讨论：
Q Q ≈ ①. 当x >> R时， E= 时 2 4πε0r2 4πε0x
f =k
1
2
r
2
1 = 8.9880 × 109 N ⋅ m 2 / C2 常数k（ ）： 常数 （SI）： k = 4πε 0 ε0 =8.85×10−12c2 ⋅ N−1 ⋅m−2——真空介电常数 真空介电常数
力的方向：沿着电荷的联线，同号电荷相斥， 力的方向：沿着电荷的联线，同号电荷相斥，异号相吸
λdx Ex = ∫ cosθ 2 4πε0r d x = -dctgθ r= sinθ d dx= 2 dθ sin θ
θ2
y
dE
dΕy
dEx
p
d r
θ1
o
θ
θ2
x dx
x
λ λ Ex = ∫ cosθdθ = (sinθ2 -sinθ1 ) θ1 4πε d 4πε0d 0 θ2 λ λ Ey = ∫ sinθdθ= (cosθ1 −cosθ2 ) θ1 4πε d 4πε0d 0
E=Ex i +Ey j
λ λ Ex = (sinθ2 −sinθ1 ); Ey = (cosθ1 −cosθ2 ) 4πε0d 4πε0d y
讨论： 无限长， 讨论：1. 无限长，即 d<<L
θ1 =0； 2 =π θ
∴ Ex =0
λ Ey = 2πε0d
θ1
d L 演示
θ2
x
2. 半无限长，即: 半无限长，
dq
q
dF
r
er
的线均匀带电， 例：如图，半径为R的线均匀带电，电荷线密度为λ。求圆 如图，半径为 的线均匀带电 电荷线密度为λ 心带电量为q的电荷受到的库仑力 的电荷受到的库仑力。 心带电量为 的电荷受到的库仑力。 y ds 建立如图直角坐标系。 解：建立如图直角坐标系。在弧线上取 电微元ds，它对q电荷的库仑力设为 电微元 ，它对 电荷的库仑力设为 dF， 带则在xy轴上分力为 轴上分力为： 带则在 轴上分力为： α dFx θ 1 qλds x q dFx = − cosα 4πε 0 R 2 dFy 1 qλds dF dFy = − sinα 4πε 0 R 2 由对称性：带电线对q的库仑力在 轴上分力为零， 轴上 的库仑力在x轴上分力为零 由对称性：带电线对 的库仑力在 轴上分力为零，y轴上 不为零。 不为零。有： 1 qλsinα ∵ ds = Rdα Fy = dFy = − ds 2
F E= q0
——电场强度跟单位正电荷在电场 电场强度跟单位正电荷在电场 电场强度 中所受库仑力相同。 中所受库仑力相同。 • 静电场为矢量场：E = E(x, y , z) 静电场为矢量场 矢量场：
场q 源 电 荷
试 验 电 荷
• 点电荷（q）处于外场中时受电场作用力： F = qE 点电荷（ ）处于外场中时受电场作用力：
2. 点电荷电场的电场强度 由库仑定律， 受到的电场力： 由库仑定律，q0 受到的电场力：
q0
F
er
场q 源 电 荷
据电场强度的定义： 据电场强度的定义：
qq0 F= e 2 r 4πε0r
试 验 电 荷
3. 点电荷系电场的电场强度 n个点电荷 i}，P点的场强为： 个点电荷{q ， 点的场强为 点的场强为： 个点电荷
点电荷
利用圆环轴线上的场强，可以求带电薄圆盘轴线上任 ②. 利用圆环轴线上的场强，可以求带电薄圆盘轴线上任 一点的场强。 一点的场强。 思路：将圆盘自内而外分成无限多半径不同的圆环， 思路：将圆盘自内而外分成无限多半径不同的圆环，将每 个圆环在轴线上某点的场强叠加。 个圆环在轴线上某点的场强叠加。
例：已知均匀带电的薄圆盘半径为R，面电荷密度为 σ。 已知均匀带电的薄圆盘半径为 ， 的圆环在p点激发 解：设半径为r的圆环在 点激发 设半径为 的圆环在 的场强大小记为dE， 的场强大小记为 ，即： dr r o
电磁学是物理学史上的第二次大综合！ 电磁学是物理学史上的第二次大综合！
1785年库仑扭秤实验 年库仑扭秤实验 电力的平方反比定律 1820年奥斯特电流的磁效应 年奥斯特电流的磁效应 安培电流相互作用定律） （安培电流相互作用定律） 1831年法拉第电磁感应现象 年法拉第电磁感应现象 静电场 电磁学内容 稳恒磁场 变化的电磁场 •高斯定理 高斯定理 •环路定理 环路定理 •类高斯定理 类高斯定理 •安培定理 安培定理 •电磁感应定律 电磁感应定律 •麦克斯韦理论 麦克斯韦理论 1864年麦克斯 年麦克斯 韦电磁场理论
θ1 =π 2； 2 =π θ
λ λ Ex = − Ey = 4πε0d 4πε0d 或：θ1 =0； 2 =π 2 θ λ λ Ex = Ey = 4πε0d 4πε0d
y d θ1
θ1
y d θ22 θ L x
3. p点在直线上或在直线的延长线上：E 点在直线上或在直线的延长线上： 点在直线上或在直线的延长线上
4. 电荷的守恒性 ：与外界没有电荷交换的系统内，正负 与外界没有电荷交换的系统内， 电荷的代数和在任何变化过程中保持不变。 电荷的代数和在任何变化过程中保持不变。 5. 电荷运动不变性，即具有相对论不变性！ 电荷运动不变性，即具有相对论不变性！ ——电荷的电量与运动状态无关，在不同的参照系中观 电荷的电量与运动状态无关， 电荷的电量与运动状态无关 同一带电粒子的电量不变。 察，同一带电粒子的电量不变。
第八章
了解： 了解：
静电场和稳恒电场
第一部分 静电场
1. 静电场的描述，所涉及的物理量：电荷、电场线、 静电场的描述，所涉及的物理量：电荷、电场线、 电通量等； 电通量等； 2. 电势与电场强度的关系。 电势与电场强度的关系。
掌握： 掌握：
1. 库仑定律、电力叠加原理； 库仑定律、电力叠加原理； 2. 电场强度的计算，高斯定理的应用； 电场强度的计算，高斯定理的应用； 3. 环流定理、电势的定义及其相关的计算。 环流定理、电势的定义及其相关的计算。
2 1 质子( ) 电子( ) 单个夸克（ 如：质子(＋e)，电子(－e)， 单个夸克（ ± e ， ± e）？ 3 3
e = 1.6 × 10
−19
C
q = ±ne
二、库仑定律 1. 点电荷： 点电荷：
r
d
——带电体的形状大小和电荷分布对相互之间作用力的 带电体的形状大小和电荷分布对相互之间作用力的 影响可以忽略不计。 影响可以忽略不计。 两个静止的点电荷 2. 库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间相互作用力的 库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间相互作用力的 大小，与它们电量的乘积成正比， 大小，与它们电量的乘积成正比，与距离的 平方成反比。 平方成反比。 |q q |
dq
dE
p
r
E = ∫ dE = ∫
dq r= 3 4πε 0r
∫
ρdv r 3 4πε 0r
dq=ρdv为电荷元，ρ为电荷体密度， 为电荷分布区间 ρ 为电荷元 为电荷元， 为电荷体密度， 在直角坐标轴上场强的投影为： 在直角坐标轴上场强的投影为：
Ex = ∫ dEx； Ey = ∫ dEy； Ez = ∫ dEz
∫
∫
4πε 0
π θ + 2 2 π θ 2 2
R
1 qλ =− 4πε 0 R ∫
sinαdα
1 qλ θ =− sin 2πε 0 R 2
四、电场 静电场 电场强度 电荷周围存在电场。 电场是特殊物质！ 电荷周围存在电场。 电场是特殊物质！ 电场的基本性质： 对放在电场内的任何电荷都有作用力。 电场的基本性质： 对放在电场内的任何电荷都有作用力。 静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。 静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。 1. 电场强度：描述场中各点电场的强弱变化的物理量。 电场强度：描述场中各点电场的强弱变化的物理量。 试探电荷在电场中的受力来探测各点的场强。 试探电荷在电场中的受力来探测各点的场强。 F q0
?
例：求均匀带电圆环轴线上的电场 r 强度。已知圆环半径为R， 强度。已知圆环半径为 ，带电量 R p dE 为Q。 。 θ x o x 在圆环上对称地取线微元ds 解：在圆环上对称地取线微元 与ds′，它们带电量为λds，λ = ′ 它们带电量为λ ， Q/2πR为该圆环的线电荷密度， 为该圆环的线电荷密度， π 为该圆环的线电荷密度 ds′ 建立ox坐标系 坐标系。 建立 坐标系。 由对称性可知，两微元在p点的合场强沿 点的合场强沿ox 大小dE为 由对称性可知，两微元在 点的合场强沿 向，大小 为：
（电荷1对2）库仑力的矢量式： 电荷 对 ）库仑力的矢量式：
o
er
q1
1 q 1q 2 1 q 1q 2 f21 = er = r 2 3 4πε 0 r 4πε 0 r
r
q2
f 21
——库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。 库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。 库仑定律包含同性相斥 注意：适用于真空中的点电荷； 注意：适用于真空中的点电荷； 是基本实验规律，宏观、微观均适用。 是基本实验规律，宏观、微观均适用。 （10-17～107m） ） 三、静电力叠加原理 n个点电荷 i}。qi作用于 上的静电力 F 个点电荷{q 。 作用于q上的静电力 i 个点电荷
ds φ
λds Q ds ⋅cosθ = 2 ⋅ 2 cosθ dE=2× 2 4πε0r 4π ε0 r
x 因ds=Rdϕ，cosθ = = ϕ r x R +x
2 2
则：
Q Rdφ x Q R xdφ dE= 2 ⋅ 2 ⋅ = 2 ⋅ 2 4π ε0 r r 4π ε0 (R +x2 )3 2
σds 电面（ ）：则 • 带电面（σ）：则dq=σds E = σ ∫S 4πε 0r 3 r λdl • 带电线（λ）：则dq=λdl E = ∫ 带电线（ ）：则 λ r 3 L 4πε r 0
ds
dl
y
例：求均匀带电直线的电场分布。 求均匀带电直线的电场分布。 电荷线密度设为λ 线长为L。 解：电荷线密度设为λ，线长为 。 p点距线的距离为 ，与线两端点的 点距线的距离为d， 点距线的距离为 夹角为θ 夹角为θ1、θ2。 建立坐标系，在线上距原点x处 建立坐标系，在线上距原点 处 取微元dx。微元与p连线跟带电 取微元 。微元与 连线跟带电 线夹θ 点距离为r， 线夹θ角，与p点距离为 ，在p 点距离为 点激发场强记为 dE 则有： 。则有：
i n个点电荷作用于 上的总静电力 F为： F 个点电荷作用于q上的总静电力 个点电荷作用于
1 qq i Fi = er i 2 4πε 0 ri
n
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qi
q
r i
eri
1 F = ∑ Fi = 4πε 0 i=1
qq i ∑ r 2 er i i=1 i
n
电荷连续分布： ★ 电荷连续分布：
qdq e F = ∫ dF = ∫ 2 r 4πε 0r q r = ∫ r 3 dq 4πε 0
F q E= = e 2 r q0 4πε0r
特点： 特点：球对称
F F E= = ∑ i q0 i q0
n
qi
P
r i
eri
qi = ∑Ei = ∑ e 2 ri i=1 i=1 4πε0r i
n
n
——场强叠加原理 场强叠加原理
4. 电荷连续分布的带电体的场强 电荷元dq产生的场强 产生的场强（ ），由 电荷元 产生的场强（ dE ），由 场强叠加原理求矢量积分。 场强叠加原理求矢量积分。
§8 - 1
电场
电场强度
一、电荷 1. 电荷的种类： 正电荷、负电荷 电荷的种类： 正电荷、 2. 电荷的性质： 同号相斥、异号相吸 电荷的性质： 同号相斥、 或 ） 3. 电量： 物体所带电荷的多少。 （q或Q） 电量： 物体所带电荷的多少。 单位：库仑（ ） 单位：库仑（C） 电荷量子化： 物体所带电量都是某一基本电量的整数倍。 电荷量子化： 物体所带电量都是某一基本电量的整数倍。