直线的倾斜角与斜率
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坐标法与解析几何
在几何问题中，我们常常直接依据几何图形中点、 线、，面的关系研究几何图形的性质。现在，我 们采用另一种研究方法：坐标法。
坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代 数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法， 它是解析几何中最基本的研究方法。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立 的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程 碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解 析几何由此成为近代数学的基础之一。
轴重合时，公式还适用吗？ 轴重合时，公式还适用吗？
y
y
P1(x1, y1) P2 (x2, y2 )
y2
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
y1
P1(x1, y1)
o
x
直线的斜率公式
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在， 倾斜角为90°；
锐角
钝角
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
k
tan tanP2P1Q
y2 y1 x2 x1
0
QP2 P1Q
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x1 x2 x
k tan tan(180 ) tan
x2
从函数的角度，转化为求函数值域问题 从斜率的角度，转为数形结合问题
0 y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
变化：1、当P1，P2的位置对调时，k值又如何呢？
y
P1(x1, y1)
y P1(x1, y1)
Q(x2 , y1)
P2(x2, y2 )
o
x
Q( x2 ,
y1)
P2 (x2,
y2 )
o
x
2、当直线平行于x轴或与x 3、当直线平行于y轴或与y
按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小 正角，叫做直线 的倾斜角.
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
特别地,当 与x轴平行或重合时,规定倾斜角为0° 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
直线的斜率
前进
升高
升高量
坡度= 前进量
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即k=tanα
若 直 线 的 倾 斜 角 为， 斜 率 为k
（1） 若0 k 1， 求的 取 值 范 围 ；
（2） 若1 k 1， 求的 取 值 范 围 ；
（3） 若60 120,求k的 取 值 范 围.
直
线l1的
倾源自文库
斜
角
为1，
直
线l
的
2
倾
斜
角
为
，
2
若k1 k2 0,1与2有 什 么 关 系 ？ 反 之 成 立吗 ？
练习：取值范围问题
数形结合
已知直线l经过P(-1,2)且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的 线段相交，求直线l的斜率的取值范围. 过点P(2,－1)作直线l与线段AB有公共点，A(－3,4)， B(3,2)，求直线l的斜率k的范围.
练习：三点共线问题
证明：三点A(1, -1),B(4,-2),C(-2,0)共线. 已知A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上，求a的值.
②直线的斜率为tan α，则它的倾斜角为α
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴 的直线的倾斜角不存在
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
练习：斜率与倾斜角
已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)，求直线AB,BC,CA的 斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
直线的倾斜角与斜率
思考：
过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这 些直线区别在哪里？ 如何描述直线的倾斜程度？
y
.p
O
x
直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时， 我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间 所成的角α叫做直线l的倾斜角.
参考定义：一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点
课本P86练习1，2，3
直线 l1、l２、l３的斜率分别是k1、k２、k３，试比
较斜率的大小 l1
l２
y
l３
l2
l1
1
2
O
x
由此题结果，你 得到什么猜想？
练习：取值范围问题 注意斜率不存在的情况
已知P(2,1),Q(m,2)，求直线PQ的斜率和倾斜角α的取值 范围.
已知A(a,2), B(3,-1),当AB倾斜角为钝角时，求a的范围
k与P1、P2的顺序无关； 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标 直接求得；
求直线的倾斜角，可由直线上两点的坐标先求斜率 得到．
练习：倾斜角与斜率
下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
y
o x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
（2）
（3）
（4）
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan α
意义：直线的斜率反映了直线对x轴的倾斜程度
倾斜角是90 °的直线没有斜率(why?)
例 如 ： 直 线l的 倾 斜角 为45,则 斜 率为 ：k tan45 1 直 线l的 倾 斜 角 为120 ,则 斜 率 为 ：k tan 120 3 公式 ：tan(180 ) tan
探究：斜率的变化与范围 (90,180)时，
y
.p
y
(0,90)时 ，
k随递 增
. k随递增
p k (,0)
O
x k (0， )
O
x
90时 ，
y
.p k不存在 90o
O
x
0时，
y
. k0
p 0o
O
x
探究：由两点确定的直线的斜率
三点A，B，C，若kAB=kAC，则三点共线. 到目前为止，有多少种解决三点共线问题的方法？
利用斜率的几何意义解题
已 知 实 数x, y满 足2x y 8， 当2 x 3时 ， 求 y 的 最 大 值 和 最 小 值.
x
已 知 实 数x, y满 足y x2 2 x 2(1 x 1), 求 y 3 的 最 大 值 和 最 小 值.
在几何问题中，我们常常直接依据几何图形中点、 线、，面的关系研究几何图形的性质。现在，我 们采用另一种研究方法：坐标法。
坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代 数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法， 它是解析几何中最基本的研究方法。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立 的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程 碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解 析几何由此成为近代数学的基础之一。
轴重合时，公式还适用吗？ 轴重合时，公式还适用吗？
y
y
P1(x1, y1) P2 (x2, y2 )
y2
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
y1
P1(x1, y1)
o
x
直线的斜率公式
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在， 倾斜角为90°；
锐角
钝角
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
k
tan tanP2P1Q
y2 y1 x2 x1
0
QP2 P1Q
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x1 x2 x
k tan tan(180 ) tan
x2
从函数的角度，转化为求函数值域问题 从斜率的角度，转为数形结合问题
0 y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
变化：1、当P1，P2的位置对调时，k值又如何呢？
y
P1(x1, y1)
y P1(x1, y1)
Q(x2 , y1)
P2(x2, y2 )
o
x
Q( x2 ,
y1)
P2 (x2,
y2 )
o
x
2、当直线平行于x轴或与x 3、当直线平行于y轴或与y
按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小 正角，叫做直线 的倾斜角.
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
特别地,当 与x轴平行或重合时,规定倾斜角为0° 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
直线的斜率
前进
升高
升高量
坡度= 前进量
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即k=tanα
若 直 线 的 倾 斜 角 为， 斜 率 为k
（1） 若0 k 1， 求的 取 值 范 围 ；
（2） 若1 k 1， 求的 取 值 范 围 ；
（3） 若60 120,求k的 取 值 范 围.
直
线l1的
倾源自文库
斜
角
为1，
直
线l
的
2
倾
斜
角
为
，
2
若k1 k2 0,1与2有 什 么 关 系 ？ 反 之 成 立吗 ？
练习：取值范围问题
数形结合
已知直线l经过P(-1,2)且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的 线段相交，求直线l的斜率的取值范围. 过点P(2,－1)作直线l与线段AB有公共点，A(－3,4)， B(3,2)，求直线l的斜率k的范围.
练习：三点共线问题
证明：三点A(1, -1),B(4,-2),C(-2,0)共线. 已知A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上，求a的值.
②直线的斜率为tan α，则它的倾斜角为α
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴 的直线的倾斜角不存在
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
练习：斜率与倾斜角
已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)，求直线AB,BC,CA的 斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
直线的倾斜角与斜率
思考：
过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这 些直线区别在哪里？ 如何描述直线的倾斜程度？
y
.p
O
x
直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时， 我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间 所成的角α叫做直线l的倾斜角.
参考定义：一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点
课本P86练习1，2，3
直线 l1、l２、l３的斜率分别是k1、k２、k３，试比
较斜率的大小 l1
l２
y
l３
l2
l1
1
2
O
x
由此题结果，你 得到什么猜想？
练习：取值范围问题 注意斜率不存在的情况
已知P(2,1),Q(m,2)，求直线PQ的斜率和倾斜角α的取值 范围.
已知A(a,2), B(3,-1),当AB倾斜角为钝角时，求a的范围
k与P1、P2的顺序无关； 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标 直接求得；
求直线的倾斜角，可由直线上两点的坐标先求斜率 得到．
练习：倾斜角与斜率
下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
y
o x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
（2）
（3）
（4）
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan α
意义：直线的斜率反映了直线对x轴的倾斜程度
倾斜角是90 °的直线没有斜率(why?)
例 如 ： 直 线l的 倾 斜角 为45,则 斜 率为 ：k tan45 1 直 线l的 倾 斜 角 为120 ,则 斜 率 为 ：k tan 120 3 公式 ：tan(180 ) tan
探究：斜率的变化与范围 (90,180)时，
y
.p
y
(0,90)时 ，
k随递 增
. k随递增
p k (,0)
O
x k (0， )
O
x
90时 ，
y
.p k不存在 90o
O
x
0时，
y
. k0
p 0o
O
x
探究：由两点确定的直线的斜率
三点A，B，C，若kAB=kAC，则三点共线. 到目前为止，有多少种解决三点共线问题的方法？
利用斜率的几何意义解题
已 知 实 数x, y满 足2x y 8， 当2 x 3时 ， 求 y 的 最 大 值 和 最 小 值.
x
已 知 实 数x, y满 足y x2 2 x 2(1 x 1), 求 y 3 的 最 大 值 和 最 小 值.