2、线性规划问题的对偶问题
线性规划对偶问题
线性规划对偶问题线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。
线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。
对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：最小化 C^T * X约束条件 A * X >= bX >= 0其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：最大化 b^T * Y约束条件 A^T * Y <= CY >= 0其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。
这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。
它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
运筹学基础-对偶线性规划(2)
用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
原问题是：
maxZ=2x1 +x2 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥0
5x2 +x3 =15 6x1 + 2x2 +x4 = 24 x1 + x2 +x5 = 5 xi ≥0
原问题的标准型是：maxZ=2x1 +x2+0x3+0x4 +0x5
b
15 24 5 0
x1 0 6 1 2
比 值
-
24/6=4
5/1=5
检验数j
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
检验数行的－ (cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi ；
原问题变量
0 2
原问题松驰变量
1 0 0 0 0 1/6 -1/6 -1/3 0 0 1 0
3
x3 x1
x2 1 检验数j= cj-zj
-1/4 -1/2
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
此时得原问题最优解:X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)T，Z*=17/2 则对偶问题最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，S*=17/2
又例：用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
定理6（互补松弛定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的 对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约 束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
注：证明过程参见教材59页性质5证明
讨论:
互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最
线性规划的对偶问题
(二)非对称型对偶问题
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12 x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
min w b1y1 b2 y2 b3 y3 s.t. a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2
a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y1 0，y2无约束，y3 0
第11页
(二)非对称型对偶问题
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
目标函数的系数
3个
≥0
变
≤0
量
无符号限制
23个
约
≥
束
≤
条 件
=
第13页
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题）
目标函数 max
目标函数的系数
约束条件右端常数
约 m个
束≤
条 件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
无符号限制
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
线性规划的对偶问题,DOC
第二章线性规划的对偶问题习题2.1写出下列线性规划问题的对偶问题(1)maxz＝10x1＋x2＋2x3(2)maxz＝2x1＋x2＋3x3＋x4st.x1＋x2＋2x3≤10st.x1＋x2＋x3＋x4≤54x1＋x2＋x3≤202x1－x2＋3x3＝－4x j ≥0（j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1xj≥0（j＝1,2,3,4）其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5考虑线性规划问题maxz＝2x1＋4x2＋3x3st.3x1＋4x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x 1＋3x2＋2x3≤80xj≥0（j＝1,2,3）（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；仅供个人学习参考（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
2.6已知线性规划问题maxz＝10x1＋5x2st.3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8xj≥0（j＝1,2）（1）给出a，b，c，d，e，f，g的值或表达式；（2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；（3）用a+?a，b+?b分别代替a和b，仍然保持上表是最优单纯形表，求?a，?b满足的范围。
仅供个人学习参考仅供个人学习参考2.9某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。
已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。
已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸310千克，每打日记本用白坯纸340千克，每箱练习本用白坯纸380千克。
又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。
试确定：（1）现有生产条件下获利最大的方案；（2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？2.10某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中2.12试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。
第2章线性规划的对偶理论
max z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
(1)
s.t
.
4xx1 175xx223xx33
3 8
x2 0, x3 0
n
max z c j x j j1
n
aij x j
bi
(i 1,, m1 m)
-15 y3 1/5 0 -4/5 1
zj - cj
0 4 0
原问题松 弛变量
00
y4 y5 -1/2 0
1/5 -1/5
3 3
原问题 变量
第19页
说明：1)只需求解其中一个问题, 从最优解的单纯形表中同时得
到另一个问题的最优解.
2)单纯形法迭代的每一步中, 原问题及对偶问题解的关系
目标函数值
n)
m
min w bi yi i 1
yi 0 (i 1,, m1 )
yi无约束(i m1 1,, m)
m
aij yi c j ( j 1,, n1 )
i 1 m
aij yi c j ( j n1 1,, n)
i 1
第10页
写出下列线性规划的对偶问题
m i 1
aij
yi
c
j
(
j
1,, n)
yi 0 (i 1,, m)
min w bY
AY C
s.t.
Y 0
第4页
2-2 原问题与对偶问题
对应关系： (1) max
min
= (2)
约束条 件个数
变量的 个数
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题是线性规划中的一个分支，它的求解历程和一般的线性规
划想法不同，而且根据不同的约束条件最终能够求出最优解，使得问题获得最小的成本或最大的利润。
线性规划的对偶问题是从原问题的另一个角度去理解原来的模型，它将原有问
题转化为无穷多个单纯形模型，检验原问题各部分的存在可行性。
线性规划的对偶问题以可行性条件检验为主要特色，它可以检验原问题在具体变量形式下各限制条件之间的约束关系，这特别有利于解决在实际问题中模型中非可行情况的求解问题。
求解线性规划的对偶问题的核心思想就是将原问题的约束转换成一系列的子问题，通过求解子问题，再根据子问题的结果得到原问题的求解解，先求解子问题的时间复杂度会比求解原问题的复杂度小很多。
线性规划的对偶问题即其可行性检验的能力，由于其能有效处理问题中约束条
件之间存在的相互作用，具有优越的求解能力，因而在很多复杂的线性规划问题中都被广泛应用。
线性规划的对偶问题不仅能使求解结果更加准确，而且可以大大减少求解的时间，使程序性能更加突出。
2线性规划的对偶问题
2.5 对偶单纯形法
根据对偶理论，单纯形法的解体思路可以总结为： 在保证原问题为可行解的前提下，通过迭代使对偶 问题的解不断由非可行解转化为可行解，当原问题 与对偶问题同为可行解时，就得到了各自问题的最 优解。 能否在保证对偶问题为可行解的前提下，通过迭代 使原问题的解不断由非可行解转化为可行解，当两 个问题同为可行解时，也可以得到各自问题的最优 解。 ——这就是对偶单纯形法的解体思路。 注意：对偶单纯形法是与单纯形法并列的另一种 求解线性规划问题的方法，并不能因为方法中带 有“对偶”字样而认为该方法只能用来求解对偶 问题，因为原问题与对偶问题本身就是相对而言 的。
2.线性规划的对偶问题
2.1 对偶问题的提出 2.2 原问题与对偶问题 2.3 对偶问题的性质 2.4 影子价格 2.5 对偶单纯形法 2.6 灵敏度分析
2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 Cj 的变化 bi 的变化 增加一个变量 aij 的变化 增加一个约束条件
2.1 对偶问题的提出
2.3 对偶问题的基本性质
假定线性规划原问题为：
max z c j x j
j 1 n
则对偶问题为：
min w yi bi
i 1 m
aij x j bi , (i 1,, m)
j 1
n
ya
i 1
m
i ij
c j , ( j 1, , n)
x j 0, ( j 1, , n)
对偶问题
a12y1+a22y2+…+am2ym≥c2 ……………………
a1ny1+a2ny2+…+amnym≥cn y1, y2,…,ym≥0
线性规划问题的对偶性
线性规划问题的对偶性线性规划（Linear Programming）是数学规划的一个重要分支，用于解决一类特定的优化问题。
在线性规划问题中，我们需要在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
对于一般的线性规划问题，我们往往可以通过对偶性理论来找到一个等价的对偶问题，从而更好地求解原始问题。
1. 对偶问题的引入在线性规划问题中，我们通常会面临一个最大化或最小化一个线性目标函数的任务，同时需要满足一系列线性约束条件。
假设我们的线性规划问题为：最大化（或最小化）：cx约束条件：Ax ≤ b其中，c是一个长度为n的向量，x是变量向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个长度为m的向量。
对于这个线性规划问题，我们可以引入一个新的向量y作为拉格朗日乘子，引入一个新的变量w作为对偶变量。
这样，我们可以构建原始问题的拉格朗日函数：L(x, y, w) = cx + yT(Ax - b) - wT(Ax - b)其中，y和w分别是拉格朗日乘子和对偶变量。
2. 对偶问题的建立在引入拉格朗日函数之后，我们可以分别对拉格朗日乘子y和对偶变量w进行极小化和极大化，建立相应的对偶问题。
对于拉格朗日乘子y，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, y) = (c + ATy)x - yTb注意到，c + ATy为常数向量，可以表示为q。
因此，我们可以得到对偶问题：最小化：qTx约束条件：ATy ≥ 0同样地，对于对偶变量w，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, w) = (c - ATw)x + wTb同样，我们可以得到对偶问题：最大化：wTb约束条件：ATw ≤ c3. 对偶问题的性质通过对拉格朗日函数的极小化和极大化，我们建立了与原始问题等价的对偶问题。
对偶问题不仅仅是一个等价的数学表达形式，而且具有许多重要的性质。
首先，根据对偶问题的建立，我们可以得知对偶问题的目标函数是原始问题的一个下界。
也就是说，对于任意可行解x和对偶变量w和y，有如下不等式成立：cx ≥ qTx ≥ wTb其次，若原始问题的最优解存在且有限，那么对偶问题的最优解也存在且有限，并且两者的目标函数值相等。
第2章 线性规划(对偶问题)
对偶问题（或原问题）
目标函数为 Min W
n个
约束条件
＝
m个
变量
0 0 无约束
约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题：
• 1.
max Z 2x1 x2 3x3 x4
x1 x2 x3 x4 5
s.t.
2x1 x2 3x3
原问题（对偶问题）
目标函数 限定向量 价值向量 技术系数 约束条件 变量数目 约束条件个数 变量正负
对偶问题（原问题）
目标函数 价值向量 限定向量 技术系数 对偶变量 约束条件个数 对偶变量数目 约束条件
非对称形式的对偶问题
• 在原线性规划问题为Max型，且变量非负 的前提下：
1. 原问题约束条件是“”型
x1
x3
x4
1
4
x1, x3 0, x2 , x4无约束
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
min W 5 y1 4 y2 y3
y1 2 y2 y3 2
s.t.
y1 y1
y2 1 3y2 y3
3
y1
y3
1
y1 0, yLeabharlann 0, y2无约束例：y1
0,
y3
0,
y2无约束
对偶的基本性质
• 原问题： Max Z=CTX
• 对偶问题： Min W=bTY
s.t. AXb X0
s.t. ATY C Y0
• ①对称性：对偶问题的对偶是原问题； • ②弱对偶性：若X是原问题的可行解，Y是
对偶问题的可行解，则CTX bTY
• 弱对偶性的证明： AX’ b X’TAT bT X’TATY’ bTY’
线性规划的对偶理论(第2部分)
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
对偶问题的解可以用于分析原问题参数变化对最优解的影响。通过对偶问题的灵敏度分析，可以 了解原问题解的稳定性以及参数调整对最优解的影响程度。
Part
05
目标规划与多目标决策
目标规划基本概念
目标函数
在目标规划中，目标函数表示决策者希望优化的目标，可以是最 大化或最小化某个或多个变量的函数。
约束条件
约束条件限制了决策变量的取值范围，确保解在实际可行域内。
优先级与权重
不同目标之间可能存在冲突，通过设定优先级和权重可以权衡各 个目标的重要性。
分支定界法的步骤
分支定界法主要包括分支、定界和剪枝三个步骤。首先，将原问题分解为若干个子问题；其次，对每个子问题分别求 解，并更新上下界；最后，通过剪枝策略删除不可能得到最优解的子问题，以减少计算量。
分支定界法的优缺点
分支定界法具有适用范围广、可求得全局最优解等优点；但同时也存在计算量大、求解效率不高等缺点。 因此，在实际应用中需要根据问题的特点和要求选择合适的算法。
多目标决策方法
线性加权法
将多个目标函数线性加权为一个综合目标函数，通过求解该综合目 标函数的最优解来实现多目标决策。
理想点法
先确定每个目标的理想值，然后构造一个评价函数来衡量实际解与 理想解之间的差距，通过最小化该评价函数来求解多目标决策问题。
分层序列法
将多个目标按照重要程度排序，依次求解各层目标的最优解，最终得 到综合考虑所有目标的满意解。
要点三
混合整数规划的应用 案例
混合整数规划在实际应用中有着广泛 的应用，如生产调度中的任务分配问 题、物流运输中的路径优化问题等。 通过运用混合整数规划方法，可以有 效地解决这些问题，提高生产效率和 运输效率。
第2章线性规划讲义的对偶问题
称CBB-1为单纯形乘子
19
二、对偶问题的基本性质
1. 对称性
2. 弱对偶性
推论：
(1)原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数 值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。
(2)如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无 可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则 其原问题无可行解。
35
三、分析cj的变化 线性规划目标函数中变量系数cj的变化仅仅影响到检验 数，所以将cj的变化直接反映到最终单纯形表中，只可 能出现表2-9中的第一、二两种情况。
例5：在美佳公司例子中， (1) 若家电Ⅰ的利润降至1.5元/件, 而家电Ⅱ的利润增 至2元/件, 美佳公司最优生产计划有何变化? (2) 若家电Ⅰ的利润不变, 而家电Ⅱ的利润在什么范围 内变化时, 该公司的最优生产计划不发生变化。
28
练习： 用对偶单纯形法求解下述LP问题：
min w x1 4x2 3x4 x1 2x2 x3 x4 3
st. 2x1 x2 4x3 x4 2 xi 0(i 1,2,3,4)
29
min z cx
注: 若LP问题的标准形式为:
Ax b
st
.
x
0
其对偶单纯形法的求解步骤确定换入基变量的原则如下:
目标函数求极小值时，约束方程均为≥
2
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的LP问题(LP1)：
M Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
线性规划问题的对偶理论及应用
线性规划问题的对偶理论及应用线性规划问题的对偶理论及其应用线性规划是一种优化问题，它要求我们在给定的限制条件下，最大化或最小化目标函数。
这个问题在数学、经济学和管理学中有重要的应用。
线性规划问题的对偶理论是一种有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的问题。
一、线性规划问题线性规划问题的一般形式为：\begin{aligned} \max_{\boldsymbol{x}} \ & \boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x} \\ \text {s.t. } & \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{b} \\ & \boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{0}\end{aligned}其中，$\boldsymbol{x}$ 是一个 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{c}$ 是一个 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是一个$m \times n$ 的矩阵，$\boldsymbol{b}$ 是一个 $m$ 维列向量。
我们要求出一个满足所有限制条件的 $\boldsymbol{x}$，使得目标函数 $\boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x}$ 最大（或最小）。
二、线性规划问题的对偶理论线性规划问题的对偶理论是一个重要的工具，它可以将原问题转化为一个对偶问题，从而得到一些有用的信息。
对于一个线性规划问题，我们可以构造它的对偶问题如下：\begin{aligned} \min_{\boldsymbol{y}} \ & \boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{y} \\ \text {s.t. } & \boldsymbol{A}^{T} \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{c} \\ & \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{0}\end{aligned}其中，$\boldsymbol{y}$ 是一个 $m$ 维列向量。
第2章线性规划(对偶问题)
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
m in W 5 y 1 4 y 2 y 3 y1 y1 s .t . y 1 y 1 y1 2 y2 y3 2 y2 1 3 y2 y3 3 y3 1 0 , y3 0 , y 2无 约 束
• 令y4=y2-y3 ，得：
• Min W=y1+2y4 S.t. y1+2y4 1 2y1-3y4 2 5y1-4y4 -3 y1 0, y4无符号约束
原问题与对偶问题的对应关系
原问题（或对偶问题） 目标函数为 Max Z 变量 n个 0 0 无约束 对偶问题（或原问题） 目标函数为 Min W n个 ＝ 约束条件
– 设X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行
解，当CTX*=bTY*时，X*，Y*是最优解。
– 证明：由弱对偶性，可知原问题的所有可行解
X’均满足 CT X’ bTY*
又因为CTX* = bTY* ，所以CT X’ CTX* ，即： X*是使目标函数取值最大的可行解。因而是最 优解。 同理可证Y*也是最优解。
m个 ＝ 价值系数cj 约束条件右端项bi 约束条件的系数矩阵A 约束 条件
m个 变量 0 0 无约束 约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题： • 1.
m a x Z 2 x1 x 2 3 x 3 x 4 x1 x 2 x 3 x 4 5 2 x x 3x 4 1 2 3 s .t . x1 x 3 x 4 1 x1 , x 3 0 , x 2 , x 4 无 约 束
线性规划的对偶问题
第二章线性规划的对偶问题习题2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
线性规划问题的对偶问题
该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 1
3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min S = 2x1 + 3x2 - 5x3
s.t. x1+ x2 - x3 5
2x1
+ x3 = 4
x1 x 2
0
y1
min 12
16
15
y
2
y3
2 2
4 0
0 5
y1 y2 y3
2 3
y1
y
2
0
y3
线性规划的对偶关系：
（I） Max z = C x
s.t. Ax b
s.t. X1 + x2 + 2x3 10 y1 4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0
解：该问题的对偶问题：
min g = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
假设 y1, y2 分别表示每个木工 和油漆工工时的租金，则所付租金 最小的目标函数可表示为：
min s = 120 y1 + 50 y2
目标函数中的系数 120，50 分别表 示可供出租的木工和油漆工工时数。
该企业家所付的租金不能太低， 否则家具厂的管理者觉得无利可图 而不肯出租给他。因此他付的租金 应不低于家具厂利用这些资源所能 得到的利益：
2、线性规划问题的对偶问题
3 y1 + y2 30
y 1, y 2 0
得到另外一个数学模型：
min s = 120 y1 + 50 y2
s.t. 4 y1 + 2y2 50 3 y1+ y2 30 (2.2)
y 1, y 2 0
模型(2.1)和模型(2.2) 既有区别又有 联系。联系在于它们都是关于家具 厂的模型并且使用相同的数据，区 别在于模型反映的实质内容是不同 的。模型(2.1)是站在家具厂经营者 立场追求销售收入最大，模型(2.2) 是则站在家具厂对手的立场追求所 付的租金最少。
max Z=2x1+3x2 s.t. 2x1+2x2 12 4x1 16 5x2 15 x1,x2 0
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 ① 2X+2y<=12 X=3 X=4
点（3，3）是最优解， z*=15 当A的资源变为13小 时，z*=16,说明A的边 际价格是1，即影子 价格是1。
约束条件右端项 目标函数变量的系数
目标函数变量的系数 约束条件右端项
• 例2-7：写出下列线性规划的对偶问题
min z=7x1+4x2-3x3 s.t. -4x1+2x2-6x3≤24 -3x1-6x2-4x3≥15 5x2+3x3=30 x1≤0,x2取值无约束,x3≥0
Max w=24y1+15y2+30y3
引入变量 y1 , y2’，y2” 写出对偶问题
max g = 5 y1+ 4y2’- 4y2” s.t. y1 +2y2’- 2y2” 2 y1 3 -y1 + y2’- y2” -5 y1， y2’，y2” 0
线性规划对偶问题
MaxZ 2 x1 3 x 2 3 x3 x1 x 2 x3 3 s.t. x1 4 x 2 7 x3 9 x , x , x 0 1 2 3
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料 的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力：
5
11
2、非对称形式的对偶关系： （1） 原问题
max Z c j x j
j 1 n
对偶问题
min W bi xi
i 1 m
aij x j bi i 1,2, , m s.t. j 1 x 0 j 1,2, , n j
n
m aij yi c j j 1, 2, , n s.t. i 1 y 符号不限， i 1, 2, , m i
17
(4) 对于极小化问题的具有非负限制的变量(极大化问题的具 有非正限制的变量)，在其对偶问题中，相应的约束为“≤” 型不等式；对于极小化问题的具有非正限制的变量(极大化问 题的具有非负限制的变量)，在其对偶问题中，相应的约束为 “≥”型不等式；对于原问题中无正负限制的变量，在其对偶 问题中，相应的约束为等式。
“上、下”交换，“左、右”换位， 不等式变号，“极大”变“极小”
(4) 对称性: 对偶问题的对偶是原问题.
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例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z c1 x1 c2 x2 c3 x3 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 2 s.t. a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 x1 0, x2 0, x3无约束
19
第二节
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约束条件右端项 目标函数变量的系数
目标函数变量的系数 约束条件右端项
• 例2-7：写出下列线性规划的对偶问题
min z=7x1+4x2-3x3 s.t. -4x1+2x2-6x3≤24 -3x1-6x2-4x3≥15 5x2+3x3=30 x1≤0,x2取值无约束,x3≥0
Max w=24y1+15y2+30y3
（2.3)(2.4)称作互为对偶问题。其中一个 称为原问题，另一个称为它的对偶问题。
例2-3：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4 s.t. 2x1+ x2 +4x3 2 2x1+2x2 + 4x4 3 x1，x2 ， x3 ， x4 0
解：该问题的对偶问题：
把例2.2用矩阵表示：
对偶问题
min 12 16 y1 15 y 2 y3
原问题:
Max z=(2,3)
2 2 12 4 0 x1 16 x 0 5 2 15 x1 x 0 2
y1 y2
解：该问题的对偶问题：
min g = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10 y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2 y1，y2 0
例2-5：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min S = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
引入变量 y1 , y2’，y2” 写出对偶问题
max g = 5 y1+ 4y2’- 4y2” s.t. y1 +2y2’- 2y2” 2 y1 3 -y1 + y2’- y2” -5 y1， y2’，y2” 0
令y2 = y2’- y2” 得到 max g = 5 y1 + 4y2 s.t. y1 + 2y2 2 y1 3 -y1+ y2 -5 y1 0 ，y2 无非负约束
如果模型(2.1)称为原问题，
则模型(2.2)称为对偶问题。
任何线性规划问题都有对偶问题，
而且都有相应的意义。
例2.2 ：常山机器厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，按工艺 资料获得如下资料：
Ⅰ 2h 4h 0h 2 Ⅱ 2h 0h 5h 3 设备能力 12h 16h 15h
设备A 设备B 设备C 单位利润（元）
4 y1 + 2y2 50
3 y1 + y2 30
y 1, y 2 0
得到另外一个数学模型：
min s = 120 y1 + 50 y2
s.t. 4 y1 + 2y2 50 3 y1+ y2 30 (2.2)
y 1, y 2 0
模型(2.1)和模型(2.2) 既有区别又有 联系。联系在于它们都是关于家具 厂的模型并且使用相同的数据，区 别在于模型反映的实质内容是不同 的。模型(2.1)是站在家具厂经营者 立场追求销售收入最大，模型(2.2) 是则站在家具厂对手的立场追求所 付的租金最少。
假设 y1, y2 分别表示每个木工 和油漆工工时的租金，则所付租金 最小的目标函数可表示为： min s = 120 y1 + 50 y2 目标函数中的系数 120，50 分别表 示可供出租的木工和油漆工工时数。
该企业家所付的租金不能太低， 否则家具厂的管理者觉得无利可图 而不肯出租给他。因此他付的租金 应不低于家具厂利用这些资源所能 得到的利益：
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题 s.t. min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x 1 + x 2 - x3 5 2x1 + x3 = 4 x1，x2 ， x3 0
解：将原问题的约束方程写成不等式 约束形式： min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x1 + x 2 - x3 5 y1 2x1 + x3 4 y 2’ -2x1 - x3 -4 y 2” x1，x2 ， x3 0
max z = 2y1 + 3y2 s.t. 2y1 + 2y2 12 y1 + 2y2 8 4 y1 16 4y2 12 y1，y2 0
例2-4：写出下列线性规划问题的 对偶问题 max S = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. X1 + x2 + 2x3 10 4x1 +2x2 - x3 20 x1，x2 ， x3 0
解：用（-1）乘以第二个约束方程 两边 min S=x1+2x2 +3x3 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1，x2 ， x3 0
s.t.
该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 1 3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
定理2.2 (最优准则) 若原问题的某一个可行解与 对偶问题的某一可行解的目标函 数值相等,则它们分别是原问题 与对偶问题的最优解.
定理2.3
(对偶定理)
若原问题有最优解,则对偶 问题也有最优解,且最优值相等.
• 性质2.4 如果原问题(对偶问题）具有无界 解，则其对偶问题（原问题）无可 行解。 但原问题(对偶问题)无可行解时， 其对偶问题（原问题）或无可行解 或具有无界解。
2、线性规划问题的对偶问题
例2．1
2.1 对偶问题
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/ 个，生产桌子和椅子要求需要木工和油 漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要 木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月 可用木工工时为120小时，油漆工工时为 50小时。问该厂如何组织 在线性规划问题的最优解中，如 果该约束条件取严格等式，则对应 某一约束条件的对偶变量值为非零； 反之如果约束条件取严格不等式， 则其对应的对偶变量一定为零。
max Z=2x1+3x2 s.t. 2x1+2x2 ≤12 4x1 ≤16 5x2 ≤15 x1,x2 0
Cj CB 基 b 0 y4 -2 0 y5 -3 Cj-Zj
-12 Y1 -2 -2 -12
-16 y2 -4 0 -16
-15 y3 0 [-5] -15
0 y4 1 0 0
0
y5 0 1 0
如何转换? • 当bi≤0时，令min(bi)所对应的行中的 Xr为换出基变量。
max Z=2x1+3x2 s.t. 2x1+2x2 12 4x1 16 5x2 15 x1,x2 0
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 ① 2X+2y<=12 X=3 X=4
点（3，3）是最优解， z*=15 当A的资源变为13小 时，z*=16,说明A的边 际价格是1，即影子 价格是1。
数学模型
max g= 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 120 2x1 + x2 50 x1,x2 0
(2.1)
假如有一个企业家有一批等待加 工的订单，有意利用该家具厂的木工 和油漆工资源来加工他的产品。因此， 他要同家具厂谈判付给该厂每个工时 的价格。可以构造一个数学模型来研 究如何既使家具厂觉得有利可图肯把 资源出租给他，又使自己付的租金最 少？
原问题变量 原问题松弛变量
CB 基 2 x1 0 x4 3 x2 Cj-zj
b 3 4 3
x1 1 0 0 0
x2 0 0 1 0
x3 ½ -2 0 -1
x4 0 1 0 0
x5 -1/5 4/5 1/5 -1/5
对偶问题的剩余变量
对偶问题变量
Y4
Y5
Y2
Y3
Y4
2.3 影子价格
在线性规划原问题和对偶问题中：
y1 y2 y3
它的最优解为（3，3）
而对于第二个约束条件，为严 格的不等式，所以y2=0
• 性质2.6
对偶问题的最优解为原问题最优表 中,相应的松驰变量检验数的相反数。 （线性规划的原问题与对偶问题中， 原问题的松弛变量对应对偶问题的变 量，对偶问题的剩余变量对于原问题 的变量。）
• 例：max Z=2x1+3x2 • s.t. 2x1+2x2 +x3 12 • 4x1 +x4 16 • 5x2+x5 15 • x1,x2 0
问该企业因安排生产两种产品各多少件，使总的 利润收入为最大？
数学模型 max Z=2x1+3x2 s.t. 2x1+2x2 12 4x1 16
5x2 15 x1,x2 0
现某机械厂为扩大生产租借常山机器厂 拥有的设备资源，问常山厂分别以每小时 什么样的价格才愿意出租自己的设备？
设常山厂将设备A、B、C每h的出租 价格为y1,y2,y3; • 它的对偶问题为 min w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1 +5y3≥3 y1,y2,y3≥0
z c jx j bi yi
j1 i 1
n
m
bi代表第i种资源的拥有量，而yi代表对 一个单位第i种资源的估价
• 影子价格不是市场价格，随企业的生产任 务和产品结构而发生变化。 • 影子价格是一种边际价格。 Z= bTy*=b1y1*+b2y2*++bmym* 可知 Z / bi = yi*