第九章 第七节 方向导数与梯度

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解答提示:
1. (1) 曲线 在点 M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数 f f x cos f y cos f z cos (1,1,1) l M
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(2) grad f
M
(2 , 1 , 0)
二、梯度
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l 方向：f 增长最快的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
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0
1. 定义 向量 G 称为函数 f 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作 grad f 或者f 即
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最 快的方向. 梯度的模为方向导数的 最大值。
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
• 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
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例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 1 4 cos , cos 17 17
问题的答案：应沿由热变冷变化最剧烈的方 向（即梯度方向）爬行．
一、方向导数
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点P 沿某一 方向的变化率问题．
l
定义: 若函数 f ( x, y ) 在点P 处 0 ( x0 , y0 ) 沿方向 l (方向角为 , ) 存在下列极限:


P
P 0 ( x0 , y0 )
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对于二元函数 f ( x, y ) , 在点P( x, y) 处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f f x ( x, y ) cos f y ( x, y ) cos l
y
l
P
l
o
x
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注意:此定理只是方向导数存在的充分条件.举例
2
2
2
解：因为函数的方向导数反映的就是函数在该点沿指定方向的变化率， 即变化快慢，而在梯度方向取得极大值， 2 2 2 1 1 1 gradu (a,b,c) =(ux , u y , uz ) - , , 2- , , ( a ,b , c ) a b c a b c -1 1 1 1 1 1 所以在 , , 方向函数增长最快，在 , , 方向函数 a b c a b c 减少最快,在与上述方向垂直的方向上变化率为0.
y
o
P
x 2 1
60 17
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f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z f f f 令向量 G , , x y z l 0 (cos , cos , cos )
l l
cos
6 arccos 130
2. P130 题 16
u n 2 x0 2 y0 2 z0 2 x0 2 2 y0 2 2 z0 2 a b c x0 2 y0 2 z0 2 2 4 4 4 a b c
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2 x0 2 y0 2 z0 2 4 4 4 a b c
P
x o ( 设 c1 c2 c3 )
此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导数为
f fx n fx fy 2 2 fx fy fy f x2 f y2
gradf 0
同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为grad f
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例如, 函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
z f ( x, y ) 对函数 z f ( x, y) , 曲线 在 xoy 面上的投 z C 影 L* : f ( x, y ) C 称为函数 f 的等值（高）线 .
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的一个法向量为 y f c3 ( f x , f y ) P grad f P，所以 f c2
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例1 设
u xyz z 5 , 求在点 M (0, 1,1)
2
处方向导数的最大(小)值。 解 ∵ ∴
u yz , x
u xz , y
u xy 2 z , z
grad u ( 0,1, 1) ( yz , xz , xy 2 z ) ( 0,1, 1)
第七节
第九章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
三、物理意义
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问题的提出
例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
f l
f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) 记作 lim lim t 0 t t 0 t
( x0 , y 0 )
f 则称 为函数在点P0处沿方向 l 的方向导数. l
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方向导数的另一种定义形式：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 高线 f ( x , y ) c 在这点的法 线的一个方向相同，且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线，而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数．
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的梯度的方向与点P 的等
f c1
三、物理意义
数量场 (数性函数)
函数
场
如: 温度场, 电位场等 向量场(矢性函数)
(物理量的分布)
如: 力场,速度场等
可微函数 f ( P ) (势) 梯度场 grad f ( P) (向量场)
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四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系
P.
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式（这里u,v都是x,y,z的函数）
(2) grad (C u ) C grad u
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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• 可微
•
任意方向导数 存在
偏导数存在
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思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 . 2. P130 题 16
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M0
备用题 1. 函数
处的梯度 解: 则
在点
2 (1, 2 , 2) 9
(92考研)
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2 , 2) 9
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2. 函数 u ln( x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
f f f , , x y z
同样可定义二元函数 在点 P ( x, y ) 处的梯度
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2. 梯度的几何意义 z f ( x, y ) 对函数 z f ( x, y) , 曲线 在 xoy 面上的投 z C 影 L* : f ( x, y ) C 称为函数 f 的等值（高）线 .
, )的方向导数为 f f f cos cos l x y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
f f f grad f , , x y z
• 二元函数 在点 处的梯度为 grad f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y )) 3. 关系
f l
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) lim , t 0 t ( x0 , y0 ) t ( x x0 ) ( y y0 ) ,
2 2
方向导数与偏导数存在性的关系
偏导数存在 沿 轴正向和 y 轴正向的方向导数存在, 且与之相等. 沿x正向的方向导数存在不能推出关于x的偏导数存在.
t
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得
f f f f x y z o (t ) x y z
P ( x, y , z )
t
故
f f lim l t 0 t
o (t )
f f f cos cos cos x y z
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 则
1 2
. (96考研)
{cos , cos , cos }
ln( x 1)
ln(1 y 1)
2
1 2
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练习题
一、填空题: 1 、函数 z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点 ( 2,2 3 ) 的方向的方向导数为_____________. 2 、设 f ( x , y , z ) x 2 2 y 2 3 z 2 xy 3 x 2 y 6 z , 则 gradf ( 0,0,0 ) __________________. x 2 y 2 z 2 则 u沿 3 、已 知 场 u( x , y , z ) 2 2 2 , 场的梯 度 a b c 方向的方向导数是__________________. 4 、称向量场 a 为有势场,是指向量 a 与某个函数 u( x , y , z ) 的梯度有关系__________________.
在原点不连续当然不可微,但在始于原点的射线上,都存 在包含原点的充分小的一段,在这一段上,f恒为零,所以 在原点沿任何方向的方向导数都为零.
Байду номын сангаас
1,当 0 y x 2 时 f ( x, y ) 0,其余部分
例1. 求函数
3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
解: 向量 l 的方向余弦为
(1, 0 , 2)
从而
u max 5 M | grad u | l u min 5 M | grad u | l
z x y 例2 设u 2 2 2 ,问u在点（a, b, c)处沿哪个方向增大最快， c a b 沿哪个方向减小最快，沿哪个方向变化率为0？
x
例如 : z x 2 y 2 , 在(0, 0)处的沿x轴正向的方向导数为 f l
(0,0)
lim
0
x 2 y 2

x 2 0 1, 而 lim 不存在. x 0 x
定理:(计算公式）若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 f f f f l cos cos cos l x y z P