高中数学选修4-4坐标系

得x+y=0
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换： 曲线4x2+9y2=36变为曲线
x y 1
2 2
x x 1解：设伸缩变换 ， 0 y y
代入x +y =1得 x y 1
2 2
2 2 2 2
1 3 2 2 又4 x 9 y 36 则 1 2
1 x x 2 y y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2 x
O

（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
1 x x 2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y 的作用下，点P(x,y)对应 p x, y 称
1.极坐标方程 ( 0) 表示什么图形？ 4
2.极坐标方程 4 表示什么图形？ 4 cos 呢？
O X
强调：不做特殊说明时,≥0,∈R 当=0时，表示极点。
思考？
1.在极坐标平面上点与坐标的对应 关系是怎样的？ 2.极坐标平面上一个定点M(,)的 极坐标是否可以写出统一的表达 式？ 3.若使极坐标平面上点与坐标也为 一一对应关系需增加什么条件？
例1：说出图中点A、B、C的极 坐 5 5 标，并标出点 D(2, ), E (4, ), F ( 3.5, ) 4 6 3 所在的位置.
xxz
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
7 ( 2, ) 6
(5,0)
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
Q 2、已知极坐标系中两点 P (3, )， ( 2, ), 2 6 如何求线段|PQ|的长？ | PQ | 19


P 推广：极坐标系内两点 ( 1 ,1 ), Q( 2 , 2 ) 的距离公式： | 12 2 2 21 2 cos(1 2 ) | PQ
x x y 3 y
2
通常把 2 长变换。
叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2 x
O

（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 1 标不变，将横坐标x缩为原来的 2 ，在此基础上， 将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为
出发点、方向、距离
在我们日常生活中人们经常用方 向和距离来确定一点的位置，这种用 方向和距离确定平面上一点位置的思 想，就是极坐标的基本思想。
试一试？ 请大家回忆直角坐标系的建立过 程，试着建立一个用距离与角度 确定平面上一点位置的坐标系.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点 O ,叫做极点； 引一条射线 OX ,叫做极轴； 再选定一个长度单位和角度单位（通 常取弧度）及它的正方向（通常取逆 时针方向），
四、课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
不能表示点M的坐标的是( C )

10 2 A、5, ( ) B、5, ) C、5, ) ( ( 3 3 3
8 D ( 5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A(2, ), B( 2 , ), 2 4
O(0,0) ,则 ABO 为( D ) A、正三角形 B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变， 1 将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x. 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标 不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 p x, y 2 坐标对应关系为：

B(60,0)

思考？ 平面内一点P的直角坐标是( 3 ,1)， 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 2 为 (5, )，其直角坐标如何表示？
3
5 5 3 答案： P ( 2, ) Q( , ), 2 2 6

三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
D C
A(0,0)
E
120m 50m
45o 60o B A O 60m
C (120, ) D(60 3 , ) 3 2 3 E (50, ) 4
X
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不 变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 x 2 x
1 x 3 x 得 y 1 y 2
x 3 x 后， 2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换 y y
曲线C变为 x2 9 y2 9 ，求曲线C的方程并画出 图形。
x 3 x 2.解：将 代入 y y
2 2
x -9y =9
小
结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
x cos , y sin
思考题：
O X
这样就建立了一个极坐标系。
想一想？ 如图:极坐标系OX,对比直角坐标 系想一想平面上任意一点M的极 坐标该如何表示？
M.
O X
记:M(,)
表示线段OM的长度，叫做点M的极径;
表示以OX为始边，射线OM为终边的 角,叫做点M的极角; 有序数对(,)就叫做点M的极坐标. M.
2 2 2
极化直： cos , y sin x
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
(3, )
(5,0)
(1, ) 2
( 3 ,1)
直角坐标 (3, 3 ) 极坐标
5 (2 3 , ) 6
2 2
得9x -9y =9 即x -y =1
2 2
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
请问：去省实验 从这里向东北走 中学怎么走？ 500米就到了
wk.baidu.com
好心人
问路人
请认真分析好心人的回答：“从这 里向东北走500米就到了”，他是从 哪些方面确定省实验中学位置的？
y 3 y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 1 x 2 x x 2 x 解： 由伸缩变换 1 得 y 3 y y 1 y 3 代入2x+3y=0
1 x 2 x x 2 x 2 由伸缩变换 得 y 3 y y 1 y 3 x2 y2 代入x2 +y2 =1得 4 + 9 =1