排队论模型

排队论模型

研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方

法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。

日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，

美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论

基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。

排队系统模型的基本组成部分

排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）

都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。

输入过程

输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为

排队规则

排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，

为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务（如医院接待急救病人）。如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的

空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。

服务机构

可以是一个或多个服务台。多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。如果服从负指数分布，则其分布函数是

排队系统的分类

如果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种类型。因此只能按主要特征进行分类。一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。现代常用的分类方法是英国数学家D.G.肯德尔提出的分类方法，即用肯德尔记号X/Y/Z进行分类。

X处填写相继到达间隔时间的分布；

Y处填写服务时间分布;

Z处填写并列的服务台数目。

各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。这里k阶埃尔朗分布是指为相互独立且服从相同指数分布的随机变量时，

服从自由度为2k的χ2分布。例如,M/M/1表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。D/M/C 表示顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C个服务台的模型。至于其他一些特征,如顾客为无限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。

排队系统问题的求解

研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率,考核服务质量,以便据此提出改进措施。通常评价排队系统优劣有6项数量指标。

①系统负荷水平ρ ：它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度；

②系统空闲概率P0：系统处于没有顾客来到要求服务的概率；

③队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为LS；

④队列长：系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为Lg；

⑤逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其平均值记为WS；

⑥等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值记为Wg。M/M/1排队系统是一种最简单的排队系统。系统的各项指标可由图2中状态转移速度图推算出来（表1）。其他类型的排队系统的各种指标计算公式则复杂得多，可专门列出计算公式图表备查。现已开始应用计算机仿真来求解排队系统问题

排队论的应用

排队论已广泛应用于交通系统、港口泊位设计、机器维修、库存控制和其他服务系统。表2中列出排队论的应用。

排队论的案例分析

排队论案例一：超市收银台[1]

一、超市收银台

随着市场经济的不断发展，城镇里的超市越来越多。在激烈的市场竞争中，如何提高经营效益、吸引更多的顾客是超市经营商最关心的问题。收银台是超市的服务窗口，不仅能够反映超市的形

象更与超市的服务质量和经营效率密切相关。收银员的形象、服务态度、职业技能等固然重要，而收银台的管理与优化也是不容忽视。

顾客选择超市的标准，不仅是价廉物美的商品，也有服务质量。收银台前排队成龙的超市显然不是人们希望的购物环境，多数人宁愿放弃

或者稍微走远一点去购物也不愿意在拥挤中排队等待。尤其是一些成功人士，他们宁愿多花点钱也不愿意排队，对于他们来说时间就是金钱。在商品的质量和价格基本相同的条件下，服务质量才是竞争的焦点。前者可以通过采购环节加以控制，而后者只有通过收银台的增减与管理加以调节。就超市经营者而言，增加收银台就意味着增加投资，有时还有可能发生资源空闲浪费的现象；而收银台太少，排队现象就会严重，影响服务质量，造成客源流失。

二、超市排队系统的组成与特征

一般的排队服务系统(如图）有三个基本的组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。输入过程是指顾客到达排队系统；排队规则是指顾客到达后按什么样的规则排队等待服务；服务机构是指为顾客提供服务的机构。本文所研究的排队系统是指顾客在超市里挑选好商品后，在收银台前排队等待付款的排队系统。收银台是服务台，顾客付款被认为是接受服务。输入过程是指顾客挑选好商品后来到收银台前；排队规则是指顾客按单队单服务台、多队多服务台或单队多服务台的方式排队；服务机构是服务台。

一般认为在超市的排队系统中，输入过程服从泊松分布，服务时间服从指数分布。用λ表示单位时间内平均到达的顾客数，用μ表示各个服务