小学四年级奥数教程——第十二讲
小学四年级奥数教程第十二讲PPT共22页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
ห้องสมุดไป่ตู้
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶
9. 练习 3 答案： 120；72；72 简答：（1） 5 4 3 2 120 种； （2）先确定副班长，再依次确定其他，共有 3 4 3 2 72 种； （3）先确定卫生委员，再依次确定其他，共有 3 4 3 2 72 种．
10. 练习 4 答案： 8 简答： 分步，分别安排甲、丙、乙、丁，分别有 种选法．
课堂内外
四色定理
四色定理与费马大定理、 哥德巴赫猜想并称为 近代数学三大难题．
四色定理的内容是： 对于任何一张地图， 只用 四种颜色，就可以把有相邻边界的国家染上不同 的颜色．
四色问题的提出来自英国． 1852 年，在大学 读书的格 斯里向他的老师——著名数学家摩根提出了这个问题， 摩根没有能找到解决这个 问题的途，将 2 枚相同的棋子放入 2×2 的方格内，每个格子
只能放 1 枚，且要求每行每列最多只能放 1 枚，那么一共会有
几种方法呢？
其实，要把两枚相同的棋子放进格子内，只需要选出两个
格子即可，然后每个格子里放一枚棋子．
一共有两行， 所以必定会是每行一枚， 所以我们完全可以分行选格子， 第一
7. 练习 1 答案： 48 详解： 分步，分别给 B 、C、 A 、D 染色，分别有 4、3、2、 2 种染法，所以一共有 4 3 2 2 48 种染色方法．
8. 练习 2 答案： 6 详解： 先让麦兜点，只有鱼丸油面 1 种可选，然后让其他 3 位同学依次点，分别有 3、 2、1 种 选法，共分四步，乘法原理，所以共有 1 3 2 1 6 中不同的选法 ．
——简称“前．不．影．响．后．原则” 染色问题，是应用乘法原理最常见的一类题型，其实，从上面对
A、 B、 C
三部分的染色分析我们应该可以发现，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一
四年级高思奥数之复杂竖式含答案
第12讲复杂竖式内容概述需要较强推理能力的竖式问题．学会运用奇偶分析、整体分析、分粪讨论等技巧性较高的方法．典型问题兴趣篇1．图12-1是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．请把竖式用数字表示出来．2．在图12-2中的各个方框内填人恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的5个数字从上向下看，恰好是图12-3中顺时针次序的连续5个数字，十位上的5个数字也有这样的性质．请问：竖式中计算的结果是多少?3. 请把1至9这9个数字填在图12-4的方框中（其中有3个数字已经填好），使得加法和乘法这两个算式都成立.4. 图12-5是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立.5.如图12-6，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？6. 如图12-7，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？7. 在图12-8的方框内填入恰当的数字，可以得到一个正确的乘法竖式. 已知这样的填法有两种，这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？8. 在图12-9的方框内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案.9. 请把图12-10中的除法竖式补充完整.10. 请把图12-11中的除法竖式补充完整. 这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？拓展篇1. 在图12-12中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 已知个位向十位的进位为2，且E是奇数，则A、B、C、D分别代表什么数字？2. 在图12-13中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请给出两种使竖式成立的填法.3. 在图12-14所示的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：A、B、C、D各代表什么数字？4. 在图12-15所示的乘法竖式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字. 请问：这个乘法算式最后的乘积是多少？5. 图12-16是一个乘法竖式，其中的每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字. 试问：当算式成立时，“”所代巴西法国争夺冠军表的八位数是多少？6. 如图12-17，请把这个乘法竖式补充完整.7. 如图12-18，请把这个乘法竖式补充完整.8. 请把图12-19中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？（注意本题有小数点）9. 在如图12-20所示的除法竖式中，在各个方框里填入适当的数字后可使竖式成立，那么在这15个方框中填入的数字最多能有多少个是偶数？10. 在图12-21的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请问：被除数DEFGF是多少？11. 请把图12-22中的除法竖式补充完整.12. 请在图12-23中的每个方框内填入恰当的数字，使得除法竖式成立.超越篇1.在图12-24的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，这个算式的结果是多少？2.在图12-25的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请问：money所代表的五位数最多是多少？3. 在图12-26的乘法竖式中，a、b、c、d、e分别代表不同的数字，且a+b+c=e. 请问adde：所代表的四位数是多少？4. 请把图12-27中的除法竖式补充完整.5. 在图12-28的竖式中，“奇”代表奇数，“偶”代表偶数，请把竖式补充完整.6. 在图12-29的方框内填入适当的数字，使下面的小数除法竖式成立.7. 电子数字0至9如图12-30所示，图12-31是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模湖不清. 请将图12-31中的电子数字恢复，并将它写成横式：8. 请将图12-32中的除法竖式补充完整.第12讲复杂竖式内容概述需要较强推理能力的竖式问题．学会运用奇偶分析、整体分析、分粪讨论等技巧性较高的方法．典型问题兴趣篇1．图12-1是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．请把竖式用数字表示出来．【分析】：通过观察发现个位和十位的加法得知E+E=0或10，B+B+个位进位=0或10，综合得知B=5，E=0，再观察千位得知C+C+进位=DE,所以推知D=1,C=4,所以A=9.2．在图12-2中的各个方框内填人恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的5个数字从上向下看，恰好是图12-3中顺时针次序的连续5个数字，十位上的5个数字也有这样的性质．请问：竖式中计算的结果是多少?【分析】：通过尝试的方式可以得知只有6+7+8+9的个位是0，所以个位上的五个数字也就确认了，然后十位上的五个数字也尝试得知5+6+7+8+进位3=29，所以竖式中的计算结果是290.3. 请把1至9这9个数字填在图12-4的方框中（其中有3个数字已经填好），使得加法和乘法这两个算式都成立.【分析】：通过观察得知17⨯4=68，67⨯1=67，由于已经有7了，所以乘法式子确认为17⨯4=68。
奥数教程(第八版)四年级 第12讲 用枚举法解应用题
经典例题精讲 四年级
第12讲 用枚举法解应用题
主讲老师： Mathematical Olympiad Tutorial
第12讲 用枚举法解应用题
例1 有三张数字卡片，分别为 4 ， 9 ， 0 。 从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排 成多少个两位数？
第12讲 用枚举法解应用题
第12讲 用枚举法解应用题
例5 计划将甲、乙、丙三种不同的树苗种植在一条 直路的同一侧，要求相邻的两棵树苗不能相同， 那么考虑前5棵，第1棵与第5棵同是甲种树苗 的种法共有 6 种。 解： 画树状图枚举如下：
因此，第1棵与第 5棵同是甲种树苗 的种法共有6种。
第12讲 用枚举法解应用题
例6 用长48厘米的铁丝围成各种长方形(长和宽都 是整厘米数，且长和宽不相等)，围成的最大 一个长方形面积是多少平方厘米？ 解： 列表如下：
(2)剩下1张5元，取出 1+10+50+100=161(元)；
(3)剩下1张10元，取出 1+5+50+100=156(元)；
第12讲 用枚举法解应用题
例3 你的口袋里有1元、5元、10元、50元、100元 的纸币各1张。如果每次取出4张计算它们的钱 数，共有 5 种不同的钱数。
解： (4)剩下1张50元，取出 1+5+10+100=116(元)；
圆珠笔 橡皮 签字笔 (支 ) (块) (支)
圆珠笔 橡皮 签字笔 (支 ) (块) (支)
第12讲 用枚举法解应用题
例4 一个文具店中橡皮的售价为每块5角，圆珠笔 的售价为每支1元，签字笔的售价为每支2元5 角。小明要在该店花5元5角购买其中的两种文 具，他有多少种不同的选择？ 解： 5+2+1=8(种)， 所以他有8种不同的选择。
高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶
第十二讲乘法原理进阶在之前我们学习了 “加法原理与乘法原理” 一讲，即分类相加与分步相乘的 思想. 如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每 步的方法数相乘就得到所有的方法数一一这就是乘法原理.要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面 两个要求：1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才算做完这件事；2. 步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再做下一步， 直到最后.那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？沽你来当服装 设讣人师.给小高 挑迭帽子、上衣" 棘了、柱了.如采 这四件衣物械不 可.但只能甸种选 -件'有多少种不 同的搭配?如下图，把A、B、C三部分用三种不同的颜色染色，要求相邻两部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法呢？其实，整个染色过程是需要分为三步的，即分别给其中一块染色：当染色顺序为A-B-C时，那么A有3种染法，B不能和A 一样，有2种染法，同样C 有2种，那么一共就有“ 3 2 2 ”种染法；（C-B-A同理）当染色顺序为B-A-C时，那么B有3种染法，A不能和B 一样，有2种染法，同样C 有2种，那么一共就有“ 3 2 2 ”种染法；（B-C-A同理）当染色顺序为A-C-B时，那么A有3种染法，第二步C没有限制，也有3种染法，但是最后的B就出问题了，我们没法确定它有2种还是1种染法一一如果C和A同色，则B 有2种染法；如果C和A不同色，则B只有1种染法一—此时，根据分步相乘的思想计算整个过程的染色方法“ 3 3 ? ”就不再适用了. （C-A- B 同理）因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以应用乘法原理，要想应用乘法原理，还必须满足第三个要求：3.做完一步时，这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数.如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数发—变化，就不能直接用乘法原理计算—--- 简称“前不影响后原则”染色问题，是应用乘法原理最常见的一类题型，其实，从上面对A、B、C三部分的染色分析我们应该可以发现，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一定不要“跳”着染，而且，第一步要尽量去染“接触最多”的那一部分，这样，才能够使得后面的染色过程尽量避开“前影响后”.例题1如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色.请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？「分析」分五步染色，先染哪一块呢？能否按照A、B、C、D、E的顺序染呢？练习1如图，把A、B、C、D这四部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色.请问: 这幅图共有多少种不同的染色方法？例题2某市实行垃圾分类处理.每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、其它.现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一.(1)要求相邻两个垃圾桶颜色不同，一共有多少种染色方法？(2)要求相邻两个垃圾桶颜色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？「分析」如果我们先染废纸垃圾桶：当它染红色时，回收易拉罐的垃圾桶可以染绿、蓝两种颜色；而当它染绿色(蓝色)时，回收废纸的垃圾桶只能染蓝色(绿色).因此先染废纸垃圾桶时，会影响易拉罐垃圾桶的染色方法数，就不能直接用乘法原理计算了.那么我们应该先给哪个垃圾桶染色呢？练习2麦兜很挑食，只吃带有鱼丸或粗面的搭配.一天它和3位同学来餐厅吃东西, 一开口就要鱼丸粗面，结果老板说没有.这个时候，由于时间太晚，餐厅快打烊了，只能做牛肚河粉，鱼丸油面，猪肉米线和牛肉拉面各一份，请问它们四只猪各点一份，有几种点法？在例题2中，有一个垃圾桶是有特殊要求的一一易拉罐垃圾桶不能染成红色，我们通过尝试可知：如果一开始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就会影响到易拉罐垃圾桶的染色方法数，即不能满足“前不影响后”原则，而如果首先染易拉罐垃圾桶，则不会出现该问题，所以一般而言，如果题目中有些对象是有特殊要求的，那么我们分步分析计算的时候，首先要考虑这些特殊的对象.卡莉娅、墨莫、小高和大头4名同学竞选班委.有班长、学习委员、生活委员三个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任.(1)有多少种可能的选举结果？(2)如果班长必须由卡莉娅来担任，有多少种可能的选举结果？(3)如果生活委员只能在墨莫和大头之中选，有多少种可能的选举结果？(4)如果学习委员不能由小高担任，有多少种可能的选举结果？「分析」可以按照职位一一确定，第(2)问中，班长只能由卡莉娅来担任，那么先确定哪一个职位的人选呢？其他小问呢？甲、乙、丙、丁、戊5个人竞选班委.有班长、副班长、纪律委员、卫生委员四个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任：请问:(1) 一共有多少种可能的选举结果？( 2)如果副班长只能在甲、丁和戊中选，有多少种可能的选举结果？ ( 3)如果卫生委员不能由乙、丙担任，有多少种可能的选举结果？甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人.其中甲不住A房间，丙只住D房间.请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？「分析」本题中甲和丙有特殊要求，我们应该先考虑甲还是丙呢？练习4甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人.其中甲只住A或B房间，丙只住A、B或C房间.请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？例题5甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，请计算在下列情况下，分别共有多少种不同的安排方案：(1)只有甲能开汽车A，乙不会开汽车B;(2)会开A的只有甲和乙，会开E的只有甲、乙、丙.「分析」第(1)问中，甲和丙两人有特殊要求，我们应该先考虑哪一个人呢？第(2)问中，A和E两车有特殊要求，我们应该先考虑哪辆车呢？接下来我们分析一下“放相同棋子”的问题.如右图，将2枚相同的棋子放入2X2的方格内，每个格子只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，那么一共会有几种方法呢？其实，要把两枚相同的棋子放进格子内，只需要选出两个格子即可，然后每个格子里放一枚棋子.一共有两行，所以必定会是每行一枚，所以我们完全可以分行选格子，第行有两种选法，第一行选好后，第二行就只有一种选法了，所以一共有2X1=2 种.例题6右图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？「分析」容易看出，每行只能有1枚棋子，每列也只能由一枚棋子, 我们可以把放五枚棋子的过程分成五步：一行一行或一列一列的放.课堂内外四色定理读书的格斯里向他的老师一一著名数学家摩根提出了这个问题，摩根没有能找到解决这个问题的途径.“四色问题”提出以后，最初并没有引起广泛的重视，许多数学家低估了它的难度.就连素以谦虚著称的德国数论专家闵可夫斯基在大学上拓扑课时也说：四色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有一流的数学家来解决它.说罢，他拿起粉笔，竟要当堂给学生推导出来，结果没有成功.下一节课他又去试，还是没有成功.过了几个星期，仍无进展.有一天，他刚跨进教室，适逢天上雷声大作，震耳欲聋.他马上对学生说：“上天在责备我自大，我也无法解决四色问题.”这样，四色问题就成了世界最著名的问题之一. 100多年中, “四色问题”使数学家们深为困扰.没有人能证明它，也没有人推翻它.电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了四色猜想的证明进程.就在1976年6月，哈肯与阿佩尔在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界.作业1.五个座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人选一个座位坐下，其中每个座位只能坐一个人，且萱萱不坐在中间的位置•这五个人有多少种坐法？2.如图，把A、B、C这三部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色•请问，这幅图共有多少种不同的染色方法？3.把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色.这幅图共有多少种不同的染色方法？AL D亠4.甲、乙、丙、丁四个人排成一队，甲不当排头，乙不当排头也不当排尾，共有多少种不同的排法?5.在2 4的方格中放入两枚相同的棋子，要求两枚棋子既不在同一行也不在同一列，共有多少种放法？第十二讲乘法原理进阶1. 例题1答案：96详解：分步，分别给E、B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2、2种染法，所以一共有4 3 2 2 2 96 种染色方法.2. 例题2答案：48; 32详解：(1)从左往右依次染色，分别有3、2、2、2、2种染法，共有3 2 2 2 2 48种染色方法；(2)分步，先染易拉罐垃圾桶，再分别给废纸、塑料、电池、其他这四个垃圾桶染色，五个垃圾桶分别有2、2、2、2、2种染法，所以一共有 2 2 2 2 2 32种染色方法.3. 例题3答案：24; 6; 12; 18详解：(1 )分别确定班长、学委、生活委员的人选，分别有4、3、2种选法，所以共有4 3 2 24种；(2)分别确定班长、学委、生活委员的人选，分别有1、3、2种选法，所以共有1 3 2 6种；(3)分别确定生活委员、学委、班长的人选，分别有2、3、2种选法，所以共有2 3 2 12种；(4)分别确定学委、班长、生活委员的人选，分别有3、3、2种选法，所以共有3 3 2 18种.4. 例题4答案：4详解：分步，分别安排丙、甲、乙、丁，分别有1、2、2、1种选法，所以一共有12 2 14 种选法.5. 例题5答案：18；24详解：(1 )先考虑甲，后考虑乙，再考虑其他三个人，分别有1、3、3、2、1种可能，共有1 3 32 1 18 种；(2)先考虑A，后考虑E，再考虑其他三辆车，分别有2、2、3、2、1种可能，所以共有2 23 2 1 24 种.6. 例题6答案：16详解：一共要选5个格子放棋子，一行一行选，每行1个，而且不能在同一列，从上往下，5行分别有2、2、2、2、1种选法，所以一共有2 2 2 2 1 16种选法.7. 练习1答案：48详解：分步，分别给B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2种染法，所以一共有4 3 2 2 48种染色方法.8. 练习2答案：6详解：先让麦兜点，只有鱼丸油面1种可选，然后让其他3位同学依次点，分别有3、2、1种选法，共分四步，乘法原理，所以共有13 2 1 6中不同的选法.9. 练习3答案：120; 72; 72简答：(1) 5 4 3 2 120 种；(2)先确定副班长，再依次确定其他，共有 3 4 3 2 72种；(3)先确定卫生委员，再依次确定其他，共有 3 4 3 2 72种.10. 练习4答案：8简答：分步，分别安排甲、丙、乙、丁，分别有2、2、2、1种选法，所以一共有2 2 2 1 8种选法.11. 作业1答案：96.简答：可以按照萱萱、小高、墨莫、阿呆、阿瓜的顺序安排座位，有 4 4 3 2 1 96种•安排座位的顺序不唯一.12. 作业2答案：24简答：可以按照A、B、C的顺序染色，4 3 2 24种.染色顺序不唯一.13. 作业3答案：96简答：可以按照A、B、C、D、E的顺序染色，有4 3 2 2 2 96种.染色顺序不唯一.14. 作业4答案：8简答：按照乙、甲、丙、丁的顺序安排，有 2 2 2 1 8种排法.15. 作业5答案：12简答：一行一行选位置，第一行有4个格子可选，即4种选法；第二行还有3个格子可选，即有 3 种选法. 因此有 4 3 12 种不同的放法.。
小学四年级奥数第12讲 简单列举(含答案分析)
第12讲简单列举一、知识要点有些题目，因其所求问题的答案有多种，直接列式解答比较困难，在这种情况下，我们不妨采用一一列举的方法解决。
这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。
二、精讲精练【例题1】从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有3条路可走。
王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种走法？练习1：1.小明从家到学校有3条路可走，从学校到少年宫有两条路，小明从家经过学校到少年宫有几种走法？2.从甲地到乙地，有两条直达铁路和4条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同走法？【例题2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？练习2：1．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？2．小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？【例题3】有三张数字卡片，分别为3、6、0。
从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？练习3：1.用0、2、9这三个数字，可以组成多少个不同的两位数？2.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？【例题4】从1～8这八个数字中，每次取出两个数字，要使它们的和大于8，有多少种取法？练习4：1.从1～6这六个数中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取法？2.从1～9这九个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法？【例题5】在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场？（两个队之间比赛一次称为1场）练习5：1.在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场？2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行循环赛，一共赛了15场。
问有几个队参加比赛？三、课后作业1.从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路。
那么，从甲地到丙地有多少种不同的走法？2．用3、4、5、6四个数字可以组成多少个不同的四位数？3.用0、1、5、6这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1650是第几个？4.营业员有一个伍分币，4个贰分币，8个壹分币，他要找给顾客9分钱，有几种找法？5.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有6所学校的足球队比赛，比赛采取循环制，每个队都要和其他各队赛一场，根据积分排名次。
高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶
第十二讲乘法原理进阶在之前我们学习了“加法原理与乘法原理”一讲，即分类相加与分步相乘的思想．如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数——这就是乘法原理．要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面两个要求：1.2.那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？如下图，把A、B、C三部分用三种不同的颜色染色，要求相邻两部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法呢？A B C其实，整个染色过程是需要分为三步的，即分别给其中一块染色：当染色顺序为A→B→C时，那么A有3种染法，B不能和A一样，有2种染法，同样C有2种，那么一共就有“322⨯⨯”种染法；（C→B→A同理）当染色顺序为B→A→C时，那么B有3种染法，A不能和B一样，有2种染法，同样C有2种，那么一共就有“322⨯⨯”种染法；（B→C→A同理）当染色顺序为A→C→B时，那么A有3种染法，第二步C没有限制，也有3种染法，但是最后的B就出问题了，我们没法确定它有2种还是1种染法——如果C和A同色，则B有2种染法；如果C和A不同色，则B只有1种染法——此时，根据分步相乘的思想计算整个过程的染色方法“33?⨯⨯”就不再适用了．（C→A→B同理）因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以应用乘法原理，要想应用乘法原理，还必须满足第三个要求：3.——简称“前不影响后．．．．．原则”染色问题，是应用乘法原理最常见的一类题型，其实，从上面对A、B、C 三部分的染色分析我们应该可以发现，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一定不要“跳”着染，而且，第一步要尽量去染“接触最多”的那一部分，这样，才能够使得后面的染色过程尽量避开“前影响后”．例题1如图，把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？「分析」分五步染色，先染哪一块呢？能否按照A 、B 、C 、D 、E 的顺序染呢？ 练习1如图，把A 、B 、C 、D 这四部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？例题2某市实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、其它．现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一．（1）要求相邻两个垃圾桶颜色不同，一共有多少种染色方法？ （2）要求相邻两个垃圾桶颜色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？「分析」如果我们先染废纸垃圾桶：当它染红色时，回收易拉罐的垃圾桶可以染绿、蓝两种颜色；而当它染绿色（蓝色）时，回收废纸的垃圾桶只能染蓝色（绿色）．因此先染废纸垃圾桶时，会影响易拉罐垃圾桶的染色方法数，就不能直接用乘法原理计算了．那么我们应该先给哪个垃圾桶染色呢？练习2麦兜很挑食，只吃带有鱼丸或粗面的搭配．一天它和3位同学来餐厅吃东西，一开口就要鱼丸粗面，结果老板说没有．这个时候，由于时间太晚，餐厅快打烊了，只能做牛肚河粉，鱼丸油面，猪肉米线和牛肉拉面各一份，请问它们四只猪各点一份，有几种点法？在例题2中，有一个垃圾桶是有特殊要求的——易拉罐垃圾桶不能染成红色，我们通过尝试可知：如果一开始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就会影响到易拉罐垃圾桶的染色方法数，即不能满足“前不影响后”原则，而如果首先染易拉罐垃圾桶，则不会出现该问题，所以一般而言，如果题目中有些对象是有特殊要求的，那么我们分步．．分析计算的时候，首先要考虑这些特殊的对象．例题3卡莉娅、墨莫、小高和大头4名同学竞选班委．有班长、学习委员、生活委员三个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任．（1）有多少种可能的选举结果？（2）如果班长必须由卡莉娅来担任，有多少种可能的选举结果？（3）如果生活委员只能在墨莫和大头之中选，有多少种可能的选举结果？（4）如果学习委员不能由小高担任，有多少种可能的选举结果？「分析」可以按照职位一一确定，第（2）问中，班长只能由卡莉娅来担任，那么先确定哪一个职位的人选呢？其他小问呢？练习3甲、乙、丙、丁、戊5个人竞选班委．有班长、副班长、纪律委员、卫生委员四个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任：请问：（1）一共有多少种可能的选举结果？（2）如果副班长只能在甲、丁和戊中选，有多少种可能的选举结果？（3）如果卫生委员不能由乙、丙担任，有多少种可能的选举结果？例题4甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人．其中甲不住A房间，丙只住D房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？「分析」本题中甲和丙有特殊要求，我们应该先考虑甲还是丙呢？练习4甲、乙、丙、丁四个人要住进A 、B 、C 、D 四间房间，每个房间住一个人．其中甲只住A 或B 房间，丙只住A 、B 或C 房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？例题5甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A 、B 、C 、D 、E 这五辆不同型号的汽车，请计算在下列情况下，分别共有多少种不同的安排方案： （1）只有甲能开汽车A ，乙不会开汽车B ；（2）会开A 的只有甲和乙，会开E 的只有甲、乙、丙．「分析」第（1）问中，甲和丙两人有特殊要求，我们应该先考虑哪一个人呢？第（2）问中，A 和E 两车有特殊要求，我们应该先考虑哪辆车呢?接下来我们分析一下“放相同棋子”的问题．如右图，将2枚相同的棋子放入2×2的方格内，每个格子只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，那么一共会有几种方法呢？其实，要把两枚相同的棋子放进格子内，只需要选出两个格子即可，然后每个格子里放一枚棋子．一共有两行，所以必定会是每行一枚，所以我们完全可以分行选格子，第一行有两种选法，第一行选好后，第二行就只有一种选法了，所以一共有2×1=2种．例题6右图是一个阶梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？「分析」容易看出，每行只能有1枚棋子，每列也只能由一枚棋子，我们可以把放五枚棋子的过程分成五步：一行一行或一列一列的放．课堂内外四色定理四色定理与费马大定理、哥德巴赫猜想并称为近代数学三大难题．四色定理的内容是：对于任何一张地图，只用四种颜色，就可以把有相邻边界的国家染上不同的颜色．四色问题的提出来自英国．1852年，在大学读书的格斯里向他的老师——著名数学家摩根提出了这个问题，摩根没有能找到解决这个问题的途径．“四色问题”提出以后，最初并没有引起广泛的重视，许多数学家低估了它的难度．就连素以谦虚著称的德国数论专家闵可夫斯基在大学上拓扑课时也说：四色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有一流的数学家来解决它．说罢，他拿起粉笔，竟要当堂给学生推导出来，结果没有成功．下一节课他又去试，还是没有成功．过了几个星期，仍无进展．有一天，他刚跨进教室，适逢天上雷声大作，震耳欲聋．他马上对学生说：“上天在责备我自大，我也无法解决四色问题．”这样，四色问题就成了世界最著名的问题之一．l00多年中，“四色问题”使数学家们深为困扰．没有人能证明它，也没有人推翻它．电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了四色猜想的证明进程．就在1976年6月，哈肯与阿佩尔在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界．作业1. 五个座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人选一个座位坐下，其中每个座位只能坐一个人，且萱萱不坐在中间的位置．这五个人有多少种坐法？2. 如图，把A 、B 、C 这三部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问，这幅图共有多少种不同的染色方法？3. 把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．这幅图共有多少种不同的染色方法？4. 甲、乙、丙、丁四个人排成一队，甲不当排头，乙不当排头也不当排尾，共有多少种不同的排法？5. 在的方格中放入两枚相同的棋子，要求两枚棋子既不在同一行也不在同一列，共有多少种放法？24 ABCD E第十二讲乘法原理进阶1.例题1答案：96详解：分步，分别给E、B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2、2种染法，所以一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种染色方法．2.例题2答案：48；32方法；（2）分步，先染易拉罐垃圾桶，再分别给废纸、塑料、电池、其他这四个垃圾桶染色，五个垃圾桶分别有2、2、2、2、2种染法，所以一共有2222232⨯⨯⨯⨯=种染色方法．3.例题3答案：24；6；12；18种；（2）分别确定班长、学委、生活委员的人选，分别有1、3、2种选法，所以共有1326⨯⨯=种；（3）分别确定生活委员、学委、班长的人选，分别有2、3、2种选法，所以共有23212⨯⨯=种；（4）分别确定学委、班长、生活委员的人选，分别有3、3、2种选法，所以共有33218⨯⨯=种．4.例题4答案：4种选法．5.例题5答案：18；24详解：（1）先考虑甲，后考虑乙，再考虑其他三个人，分别有1、3、3、2、1种可能，共有⨯⨯⨯⨯=种；1332118（2）先考虑A，后考虑E，再考虑其他三辆车，分别有2、2、3、2、1种可能，所以共有⨯⨯⨯⨯=种．22321246.例题6答案：16详解：一共要选5个格子放棋子，一行一行选，每行1个，而且不能在同一列，从上往下，5行分别有2、2、2、2、1种选法，所以一共有2222116⨯⨯⨯⨯=种选法．7.练习1答案：48详解：分步，分别给B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2种染法，所以一共有⨯⨯⨯=种染色方法．4322488.练习2答案：6详解：先让麦兜点，只有鱼丸油面1种可选，然后让其他3位同学依次点，分别有3、2、1种选法，共分四步，乘法原理，所以共有13216⨯⨯⨯=中不同的选法．9.练习3答案：120；72；72⨯⨯⨯=5432120（2）先确定副班长，再依次确定其他，共有343272⨯⨯⨯=种；（3）先确定卫生委员，再依次确定其他，共有343272⨯⨯⨯=种．10.练习4答案：8种选法．11.作业1答案：96．简答：可以按照萱萱、小高、墨莫、阿呆、阿瓜的顺序安排座位，有4432196⨯⨯⨯⨯=种．安排座位的顺序不唯一．12.作业2答案：24简答：可以按照A、B、C的顺序染色，43224⨯⨯=种．染色顺序不唯一．13.作业3答案：96简答：可以按照A、B、C、D、E的顺序染色，有4322296⨯⨯⨯⨯=种．染色顺序不唯一．14.作业4答案：8简答：按照乙、甲、丙、丁的顺序安排，有22218⨯⨯⨯=种排法．15.作业5答案：12简答：一行一行选位置，第一行有4个格子可选，即4种选法；第二行还有3个格子可选，即有3种选法．因此有4312⨯=种不同的放法．。
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例1：小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相
距810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每
分钟走40米，小冬每分钟走50米。问：
①他们经过多长时是相遇？
②5分钟时，他们还相距多少米？ ③15分钟时他们相距多少米
810米
小秋家
相遇处
小冬家
每分40米
每分50米
分析：①如图，小秋和小冬家相距810米，称为总路程。小秋
快车的速度。
解法一：（340-40）÷3-40=300÷3-40=100-40=60（千米）
解法二：[340-40×（3+1）] ÷3=[340-40 ×4] ÷3
= [340-160] ÷3=180 ÷3=60（千米）
例5：甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲 车每小时行41千米，乙车每小时行45千米，甲车先出发 2小时后，乙车才出发。乙车行几小时后与甲车相遇？
③乙队修的米数：65× 20=1300（米）
④甲队超过中点的米数：（1600-1300）÷2=300÷2=150（米）
例9：甲、乙两车站相距8250米，A公交车速度为每分钟280米， B公交车速度为每分钟270米，A、B两车分别从甲、乙两站相 向开出，两车到站后都要停留5分钟，然后返回，它们第一 次相遇后要经过多少时间第二次相遇？
③第一辆车和第二辆车相对而行的路程是：840-560=280（千米）
④第一辆车和第二辆车相对而行的时间是280÷（42+28）=4（小时）
⑤从出发点到相遇时用的时间是：20+4=24（小时）
例6：甲、乙两城之间的公路长840千米，两辆汽车同时从甲城
开往乙城，每一辆汽车每小时行28千米，第二辆汽车每小时
解：①第一辆车和第二辆车共行的路程是：840×2=1680（千米）
②两辆车从出发到相遇所用的时间：1680÷（42+28）
=1680÷70
=24（小时）
例7：小陈和小王两人同时分别从两地骑车相向而行。 小陈每分钟行320米，小王每分钟行310米，两人相 遇距全程中点50米。求全程长多少米？
50米
小陈
行42千米，第二辆汽车到达乙城后立即返回，两辆汽车从开
出到相遇共用了几小时？
840千米
840千米
甲
乙
丙
每一辆车
相遇处
第二辆车
分析二：我们用转化的思想，让第二辆车由与第一辆车同向而行变 成从另一城丙出发，与第一辆车相向而行，那么两车从开出到相遇 所行的路程，正好是两城间公路长的2倍，因此，两车从开出到相遇 所用的时间相当于两车从相距840×2=1680（千米）的两地同时出发， 相向而行，直到相遇所用的时间。如图
8250米
停留5分钟
第二次相遇
第一次相遇
B车
甲
乙
停留5分钟 A车
分析：从图中可以看出，A、B两车从出发到第一次相遇经过的总路
程是甲、乙两站的长8250米。A、B两车从出发到第二次相遇经过的
总路程是甲、乙两站8250米的3倍，也就是第一次相遇到第二次相遇
时，两车经过的总路程是8250米的2倍。又已知两车的速度，可求得
小王
中点 相遇处
分析：从图上可以看出，两人相遇的地点距离中点50米，也就是小 陈走了全程的一半后又走了50米，小王走了全程的一半减50米的地 方，小陈比小王多走了50+50=100（米）。已知小陈每分钟行320米， 小王每分钟行310米，小陈每分钟比小王多行320-310=10（米）。多 少分钟小陈比小王多行100米？用100÷10=10（分），这就是相遇 的时间，再速度和×相遇时间=总路程。
770千米
甲车
2小时 ？小时 相遇处 ？小时
乙车
每时41千米
每时45千米
分析：如图，甲车先出发2小时，所行的路程是41×2=82（千
米），这时乙车才出发，那么甲、乙同时相向而行的路程是
770-82=688（千米），然后用共同路程÷速度和=相遇时间，
便可求出快车的时间。 解：（770-41 × 2）÷（41+45）
解：①相遇时小陈比小王多行的路程是： 50+50=100（米）
②相遇时间：100÷（320-310）=10（分钟）
③全程：（320+310）×10=6300（米）
例8：甲、乙两个工程队合修一条长2900米长的水渠， 甲队每天修80米，乙队每天修65米，两队人各从一 端同时相向施工，相遇时，甲队超过中点多少米？
了从出发到第一次相遇时自己所行路程的3倍，即小春共行了3个50 米。用小春共行的路减去他返回时又行的25米，就得到A、B两地间
的距离。
解： 50×3-25=150-25=125（米）
例11：甲、乙、丙3人做走路游戏。甲每分钟走40米，乙每分钟 走50米，丙每分钟走60米。甲、乙两人从A地、丙从B地，3 人同时相向出发，丙先遇见乙，再经过2分钟遇到甲、问A、 B两地相距多远？
速度和×相遇时间=总路程
总路程÷速度和=相遇时间
总路程÷相遇时间=速度和
总路程÷相遇时间-一个熟练掌握有关的数量 关系式，此外，应借助于线段图来直观地分析和理 解题意，以突破题意的难点。
例2：甲、乙两人骑自行车同时从A、B两地出发，相 向而行，甲每分钟行200米，乙每分钟行220米，15 分钟后两人相遇，求A、B两地的距离。
810米
小秋家
相遇处
小冬家
每分40米
每分50米
分析：③根据题意，15分钟时他们相距多少米，就是他们相向 走了9分钟相遇，这时他们相距为0，然后相背（反向）而行， 又走了15-9=6（分），这时两人反向相离的路程。
解：（40+50）×（15-9）=90×6=540（米）
根据以上例子，我们可以总结出相遇问题中数 量之间的基本关系式是：
A
B
甲
甲2分
距810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每
分钟走40米，小冬每分钟走50米。问：
①他们经过多长时是相遇？
②5分钟时，他们还相距多少米？ ③15分钟时他们相距多少米
810米
小秋家
相遇处
小冬家
每分40米
每分50米
分析：②根据题意，小秋和小冬每分钟共行40+50=90（米），5 分钟可以行90×5=450（米），用总路程减去两人行了的路程就 是还没有行的路程，也就是他们还相距多少米。
解：810-[（40+50）×5]=810–[90 ×5 ]=810-450=360（米）
例1：小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相
距810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每
分钟走40米，小冬每分钟走50米。问：
①他们经过多长时是相遇？
②5分钟时，他们还相距多少米？ ③15分钟时他们相距多少米
另外，还有一种情况，当两车相遇后继续行驶时，两车 之间的距离会从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距 105千米。这时两车共行的路程为630+105=735（千米），同 样，利用总路程÷速度和=相遇时间，便可求出所用的时间。 解：第一种，两车相遇前的情况。
（630-105） ÷（50+ 55）=525 ÷105=5（小时）
小学四年级奥数教程
第十二讲 相遇问题
在小学数学的解决问题部分，行程问题是其中的一 大主要学习内容，而且在各种数学竞赛中都离不开这类 问题。它内容丰富，形式多样，变化多端，贴近生活， 同学们学起来饶有兴趣，是数学学习中的一大快餐。
行程问题所涉及的基本数量关系式是：
速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间
第二种，两车相遇后的情况。
（630+105） ÷（50+ 55）=735 ÷105=7（小时）
例4：慢车从甲地开往乙地，开出1小时后，离甲地40千米， 这时，快车从乙地开往甲地，快车开出3小时后两车相 遇。已知甲、乙两地相距340千米，求快车的速度。
340千米
慢车 甲地
3小时 相遇处 3小时
快车 乙地
解：①相遇时间： 2900÷（80+65）=2900÷145=20（天）
②甲队修的米数：80× 20=1600（米）
③甲队超过中点的米数：1600-2900÷2=1600-1450=150（米）
例8：甲、乙两个工程队合修一条长2900米长的水渠， 甲队每天修80米，乙队每天修65米，两队人各从一 端同时相向施工，相遇时，甲队超过中点多少米？
分析一：这道题与例7的运动方向是相同的，只是把条件和问 题换了换。可以用以下思路来解决问题。要求甲队超过中点多 少米，只要求出甲队修的米数，再减去小渠的一半便可得出。 要求甲队修的米数，必须知道甲队的速度和甲队用的时间，速 度已知是每天修80米，时间就是两队相遇的时间，用总路程除 以速度和便可以求出。
分析二：甲队超过中点的米数，也是乙队距中点的米数。用甲 队修的米数减去乙队修的米数再除以2，就求出甲队超过中点 的米数。所以用第一种思路先求出相遇时间，再分别求出甲队 和乙队修的米数。
解：①相遇时间： 2900÷（80+65）=2900÷145=20（天）
②甲队修的米数：80× 20=1600（米）
当第二辆车从甲到乙后，所用的时间是840÷42=20（小时），当第
二辆车从乙城返回时，与第一辆车的运动方向变成了同时相对而行，
只要求出第二辆车返回时与第一辆车相遇用的时间，然后与20相加，
便可得出所求问题。
解：①第二辆车到达乙城所用的时间：840÷42=20（小时）
②第一辆车用20小时所行的路程是：28×20=560（千米）
相遇问题和追及问题是行程问题中的两种主要类型。 这一讲我们先来学习相遇问题。
相遇问题有两种情况：相向相遇和反向相离。一般 情况，相向相遇的形式多一些，作为主要学习内容。它 的特点是：两个运动着的物体从两地出发，相向运动， 越行越接近，到一定时候二者可以相遇，两个运动物体 同时起行，相遇时所用时间相同。