光的偏振计算题及答案

《光的偏振》计算题
1. 将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45︒和90︒角．
(1) 强度为I 0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，试求经每一偏振片后的光强和偏振状态．
(2) 如果将第二个偏振片抽走，情况又如何？
解：(1) 自然光通过第一偏振片后，其强度 I 1 = I 0 / 2 1分
通过第2偏振片后，I 2＝I 1cos 245︒＝I 1/ 4 2分 通过第3偏振片后，I 3＝I 2cos 245︒＝I 0/ 8 1分 通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平
行． 2分
(2) 若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直，所以此时
I 3 =0. 1分
I 1仍不变． 1分
2. 两个偏振片叠在一起，在它们的偏振化方向成α1＝30°时，观测一束单色自然光．又在α2＝45°时，观测另一束单色自然光．若两次所测得的透射光强度相等，求两次入射自然光的强度之比．
解：令I 1和I 2分别为两入射光束的光强．透过起偏器后，光的强度分别为I 1 / 2
和I 2 / 2马吕斯定律，透过检偏器的光强分别为 1分
1211
cos 21αI I =', 2222cos 2
1αI I =' 2分 按题意，21I I '='，于是 222121cos 2
1cos 21ααI I = 1分 得 3/2cos /cos /221221==ααI I 1分
3. 有三个偏振片叠在一起．已知第一个偏振片与第三个偏振片的偏振化方向相互垂直．一束光强为I 0的自然光垂直入射在偏振片上，已知通过三个偏振片后的光强为I 0 / 16．求第二个偏振片与第一个偏振片的偏振化方向之间的夹角．
解：设第二个偏振片与第一个偏振片的偏振化方向间的夹角为θ．透过第一个偏
振片后的光强 I 1＝I 0 / 2． 1分 透过第二个偏振片后的光强为I 2，由马吕斯定律，
I 2＝(I 0 /2)cos 2θ 2分 透过第三个偏振片的光强为I 3，
I 3 ＝I 2 cos 2(90°－θ ) = (I 0 / 2) cos 2θ sin 2θ = (I 0 / 8)sin 22θ 3分 由题意知 I 3＝I 2 / 16
所以 sin 22θ = 1 / 2，
()
2/2sin 211-=θ＝22.5° 2分
4. 将两个偏振片叠放在一起，此两偏振片的偏振化方向之间的夹角为o 60，一束光强为I 0
的线偏振光垂直入射到偏振片上，该光束的光矢量振动方向与二偏振片的偏振化方向皆成30°角．
(1) 求透过每个偏振片后的光束强度；
(2) 若将原入射光束换为强度相同的自然光，求透过每个偏振片后的光束强度．
解：(1) 透过第一个偏振片的光强I 1
I 1＝I 0 cos 230° 2分
＝3 I 0 / 4 1分
透过第二个偏振片后的光强I 2， I 2＝I 1cos 260°
＝3I 0 / 16 2分
(2) 原入射光束换为自然光，则
I 1＝I 0 / 2 1分
I 2＝I 1cos 260°＝I 0 / 8 2分
5.强度为I 0的一束光，垂直入射到两个叠在一起的偏振片上,这两个偏振片的偏振化方向之间的夹角为60°.若这束入射光是强度相等的线偏振光和自然光混合而成的，且线偏振光的光矢量振动方向与此二偏振片的偏振化方向皆成30°角，求透过每个偏振片后的光束强度． 解：透过第一个偏振片后的光强为
2001cos 212121⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=I I I 30° 2分 ＝5I 0 / 8 1分 透过第二个偏振片后的光强I 2＝( 5I 0 / 8 )cos 260° 1分
＝5I 0 / 32 1分
6.两个偏振片P 1，P 2叠在一起，一束强度为I 0的光垂直入射到偏振片上．已知该入射光由强度相同的自然光和线偏振光混合而成，且入射光穿过第一个偏振片P 1后的光强为0.716 I 0；当将P 1抽出去后，入射光穿过P 2后的光强为0.375I 0．求P 1、P 2的偏振化方向之间的夹角．
解：设入射光中线偏振光的光矢量振动方向与P 1的偏振化方向之间的夹角为θ1，已知透过P 1后的光强I 1＝0.716I 0，则
I 1＝0.716 I 0
＝0.5(I 0 / 2)＋0.5(I 0 cos 2θ1) 3分
cos 2θ1＝0.932 θ1＝15.1°(≈15°) 1分
设θ2为入射光中线偏振光的光矢量振动方向与P 2的偏振化方向之间的夹角．已知入射光单独穿过P 2后的光强I 2＝0.375I 0，
则由 ()
22000cos 212121375.0θI I I +⎪⎭⎫ ⎝⎛= 得 θ2＝60° 2分 以α 表示P 1、P 2的偏振化方间的夹角，α有两个可能值
α＝θ2＋θ1＝75° 2分
或
α＝θ2-θ1＝45° 2分
7. 两个偏振片P 1、P 2叠在一起，其偏振化方向之间的夹角为30°．一束强度为I 0的光垂直入射到偏振片上，已知该入射光由强度相同的自然光和线偏振光混合而成，现测得连续透过两个偏振片后的出射光强与I 0之比为9 /16，试求入射光中线偏振光的光矢量方向． 解：设入射光中线偏振光的光矢量振动方向与P 1的偏振化方向之间的夹角为θ，透过P 1后的光强I 1为 ()
θ2001cos 212121I I I +⎪⎭⎫ ⎝⎛= 2分
透过P 2后的光强I 2为 I 2＝I 1 cos 2 30°()
2022/32/cos 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I θ 3分 I 2 / I 1＝9 / 16
cos 2 θ＝1 2分 所以 θ＝0°
即入射光中线偏振光的光矢量振动方向与P 1的偏振化方向平行．
1分
8.由两个偏振片(其偏振化方向分别为P 1和P 2)叠在一起，P 1与P 2的夹角为α．一束线偏振光垂直入射在偏振片上．已知入射光的光矢量振动方向与P 2的夹角为A (取锐角)，A 角保持不变，如图．现转动P 1，但保持P 1与E ϖ、P 2的夹角都不超过A (即P 1夹在E ϖ和P 2之间，见图)．求α等于何值时出射光强为极值；此极值是极大还是极小？
解：入射光振动方向E ϖ与P 1、P 2的关系如图．出射光强为 ()αα2202cos cos -=A I I 3分 由三角函数“积化和差”关系，得
20221cos 21cos 41⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=αA I I A 3分 因为A 为锐角，α≤A ，所以
A A 2
121≤-α (见图)．所以 021cos 21cos >≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A α 所以，I 2只在α = A / 2处取得极值，且显然是极大值． 2分 (用求导数的办法找极值点也可以)
9.两个偏振片叠在一起，欲使一束垂直入射的线偏振光经过这两个偏振片之后振动方向转过了90°，且使出射光强尽可能大，那么入射光振动方向和两偏振片的偏振化方向之间的夹角应如何选择？这种情况下的最大出射光强与入射光强的比值是多少？
解：以P 1、P 2表示两偏振化方向，其夹角记为θ，为了振动方向转过
90°，入射光振动方向E ϖ必与P 2垂直，
如图． 2分
设入射光强为I 0，则出射光强为
I 2＝I 0 cos 2(90°- θ ) cos 2θ ()θθθ2sin 4/cos sin 20220I I == 3分
当2θ＝90°即θ＝45°时，I 2取得极大值，且 I 2max ＝I 0 / 4， 2分 即 I 2max / I 0＝1 / 4 1分
10.两个偏振片P 1、P 2叠在一起，一束单色线偏振光垂直入射到P 1上，其光矢量振动方向与P 1的偏振化方向之间的夹角固定为30°．当连续穿过P 1、P 2后的出射光强为最大出射光强的1 / 4时，P 1、P 2的偏振化方向夹角α是多大？
解：设I 0为入射光强，I 为连续穿过P 1、P 2后的透射光强．
I ＝I 0cos 230°cos 2α 2分 显然，α＝0时为最大透射光强，即
I max ＝I 0 cos 230°＝3I 0 / 4 1分 由 I 0cos 230°cos 2α =I max / 4 可得 cos 2α 1 / 4＝, α＝60° 2分
P 1P 2 E ϖθ
1 2 ϖ
1 2
11.两个偏振片P 1、P 2叠在一起，其偏振化方向之间的夹角为30°．由强度相同的自然光和线偏振光混合而成的光束垂直入射在偏振片上．已知穿过P 1后的透射光强为入射光强的2 / 3,求
(1) 入射光中线偏振光的光矢量振动方向与P 1的偏振化方向的夹角θ为多大？
(2) 连续穿过P 1、P 2后的透射光强与入射光强之比．
解：设I 0为自然光强．由题意知入射光强为2 I 0． 1分
(1) I 1=2·2 I 0 / 3＝0.5 I 0＋I 0cos 2θ
4 / 3＝0.5＋cos 2θ
所以 θ＝24.1° 2分
(2) I 1= (0.5 I 0＋I 0 cos 224.1°)＝2(2 I 0) / 3，
I 2＝I 1cos 230°＝3 I 1 / 4
所以
I 2 / 2I 0 = 1 / 2 2分
12.三个偏振片P 1、P 2、P 3顺序叠在一起，P 1、P 3的偏振化方向保持相互垂直，P 1与P 2的偏振化方向的夹角为α，P 2可以入射光线为轴转动．今以强度为I 0的单色自然光垂直入射在偏振片上．不考虑偏振片对可透射分量的反射和吸收．
(1) 求穿过三个偏振片后的透射光强度I 与α角的函数关系式；
(2) 试定性画出在P 2转动一周的过程中透射光强I 随α角变化的函数曲线．
解：(1) 连续穿过三个偏振片之后的光强为 I ＝0.5I 0cos 2α cos 2(0.5π－α ) 2分 ＝I 0sin 2(2α) / 8 1分
(2) 画出曲线 2分
13.如图，P 1、P 2为偏振化方向相互平行的两个偏振片．光强为
I 0的平行自然光垂直入射在P 1上． (1) 求通过P 2后的光强I ． (2) 如果在P 1、P 2之间插入第三个偏振片P 3，(如图中虚线所示)并测得最后光强I ＝I 0 / 32，求：P 3的偏振化方向与P 1的偏振化方向之间的夹角α (设α为锐角)． 解：(1) 经P 1后，光强I 1＝21I 0 1分 I 1为线偏振光．通过P 2．由马吕斯定律有
I ＝I 1cos 2θ 1分 ∵ P 1与P 2偏振化方向平行．∴θ＝0．
故 I ＝I 1cos 20°＝I 1＝21I 0
1分 (2) 加入第三个偏振片后，设第三个偏振片的偏振化方向与第一个偏振化方向间的夹角为α．则透过P 2的光强
αα2202cos cos 21I I =
α40cos 21I = 2分 由已知条件有 32/cos 2
1040I I =α ∴ cos 4α＝1 / 16 2分
得 cos α＝1 / 2 即 α =60° 1分
I I 0 / 8π/4π/23π/45π/4π3π/2α I 0I P P P
14.有一平面玻璃板放在水中，板面与水面夹角为θ (见图)．设水和玻璃的折射率分别为1.333和1.517．已知图中水面的反
射光是完全偏振光，欲使玻璃板面的反射光也是完全偏振光，θ 角应是多大？
解：由题可知i 1和i 2应为相应的布儒斯特角，由布儒斯特定
律知
tg i 1= n 1＝1.33； 1分
tg i 2＝n 2 / n 1＝1.57 / 1.333， 2分 由此得 i 1＝53.12°， 1分 i 2＝48.69°． 1分 由△ABC 可得 θ＋(π / 2＋r )＋(π / 2－i 2)＝π 2分 整理得 θ＝i 2－r
由布儒斯特定律可知，
r ＝π / 2－i 1 2分 将r 代入上式得
θ＝i 1＋i 2－π / 2＝53.12°＋48.69°－90°＝11.8° 1分
15.一束自然光自水(折射率为1.33)中入射到玻璃表面上(如图).当入射角为49.5°时，反射光为线偏振光，求玻璃的折射率．
解：设n 2为玻璃的折射率，由布儒斯特定律可得 n 2＝1.33 tg49.5°
3分
＝1.56 2分
16.一束自然光自空气入射到水(折射率为1.33)表面上，若反射光是线偏振光，
(1) 此入射光的入射角为多大？
(2) 折射角为多大？
解：(1) 由布儒斯特定律 tg i 0＝1.33
得 i 0＝53.1°
此 i b 即为所求的入射角 3分
(2) 若以r 表示折射角，由布儒斯特定律可得
r ＝0.5π－i 0＝36.9° 2分
17.一束自然光由空气入射到某种不透明介质的表面上．今测得此不透明介质的起偏角为 56°，求这种介质的折射率．若把此种介质片放入水(折射率为1.33)中，使自然光束自水中入射到该介质片表面上，求此时的起偏角．
解：设此不透明介质的折射率为n ，空气的折射率为1．由布儒斯特定律可得
n ＝tg 56°＝1.483 2分 将此介质片放入水中后，由布儒斯特定律
tg i 0＝n / 1.33＝1.112 i 0＝48.03° (＝48°2') 3分
此i 0即为所求之起偏角．
水玻璃
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