船舶结构力学能量法、矩阵法
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3EI 2 4 V2 3 a 1l 1.5EIa 21l 2l
总的应变能为
V V1 V2 4.5EIa12l
(2)计算力函数。此梁的力函数包括集中 力P引起 U1及分布荷重 U 2 引起的两部分。
l 2 9 Pa1l 2 9q0 a1l 3 U1 Pv(l / 4) Pa1 (l ) 4 16 16
(4)求节点外载荷矩阵从而写出节点平衡 方程式。 杆元①因三角形分布荷重引起固端 弯矩及固端剪力，在单元坐标系中，固 端力矩阵为
所以有
q
由此可列出节点平衡方程式形式如下：
(5)约束处理。本例中，因不计杆件的轴 向变形又有 u3 u4 0 u1 v1 1 u2 v2 0 ,
1 3F 2l 3 V2 AF 2 2 4 EI
故总应变能为
1 q l 10qFl 4F l V V1 V2 ( ) 2 EI 5 39 3
2 5 4 2 3
由最小功定理
V 0 F
知
5 F ql 52
弹性支座处的挠度为
3l 3 5 15ql 4 v AR * ql 2 EI 52 104 EI
故杆系的总变形能
P 2l 3 9 P 2l V V1 V2 16 EI 8EA
对于线性体系而言，由卡式第二定理知右 端挠度为
V Pl 9 Pl v P 8EI 4 EA
3
例2 用李兹法求图6-b中变断面梁的中点 挠度。已知 P q0l , A l 3 / (3EI ) 。计算时试 2 v( x) a1 (l x)。 取挠曲线函数
K
(1)
12 l2 6 EI l l 12 l2 6 l
6 l 4 6 l 2
12 l2 6 l 12 l2 6 l
6 l 2 K11(1) (1) 6 K 21 l 4 K 23(2) (2) K 33
(l x 3l / 2)
其应变能为
1 l M ( x) 2 1 3l /2 M ( x) 2 P 2l 3 V1 dx dx 2 0 EI 2 l EI 16 EI
图（b）中
1 l F2 1 (3P / 2)2 9 P 2l V2 dx * * x l0 2 0 EA 2 EA 8EA
解得
11Pl v2 414 EI 2 Pl Z 2 46 EI 7 Pl 2 Z3 138 EI
3
例5 用矩阵法计算下图中的平面刚 架，写出结构刚度矩阵及经约束处 理后的平衡方程式组。已知 P 2ql A l / (48EI ) ,计算时杆件的轴向变形 不计。
3 4
解:(1)根据结构的受力特点，将它离散 为3个单元，4个节点，并建立杆元的局 部坐标及结构的总坐标如上图所示。 (2)计算杆元的刚度矩阵。 杆元①:
K12 (1) K 22 (1)
K 22 (2) 以 2l代l， 代I 4I K (2) (2) K 32
K11(1) (1) K 21 0
K12(1) K 22(1) K 22(2) K32(2)
1 P 1 (2) K 23 2 P2 K33(2) 3 P3
K 23 2 K 33
2
ห้องสมุดไป่ตู้
总刚度矩阵为
K11 K12 0 1 1 2 2 K K 21 K 22 K 22 K 23 2 2 0 K32 K 33
1 1
列平衡方程
24 l2 6 l 24 EI l 2 l 12 l 0 0 6 l 8 12 l 4 0 0 24 l2 12 l 36 2 l 6 l 24 2 l 6 l 12 l 4 6 l 12 6 l 2 0 0 24 2 l 6 l 24 l2 6 l 0 0 v1 R1 y1 M 6 R1 v2 P l 0 2 y2 v3 R3 6 y 3 0 l 4
梁中点的挠度为
q0l 2 q0l 4 l ) 0.06366(l l ) 2 v( 0.01591 2 2 EI EI
例3 用最小功原理求解下图所示梁 的静不定性。已知弹性支座的柔性 系数 A 3l / (2EI ) 。
3
解：设弹性支座处的支反力为F；两端支 F 反力为 R R ql 2 。
计算时，先写出分布荷重的表达式。对图 示坐标，有
2q0 q( x) x q0 l
l /2 xl
故
2q0 q0 a1l 3 U 2 q( x)vd x ( x q0 )a1 (l x) 2 d x l /2 l /2 l 96
l l
则总的力函数为
9q0 a1l 3 q0 a1l 3 55 U U1 U 2 q0 a1l 3 16 96 96
解：取挠曲线函数为 时, 满足 梁两端的位移边界条件，即 x=0时
v( x) a1 (l x) 2
v(0) a1l 2 0
v' (0) 2a1l 0
v ' (l ) 0
x=L时
v(l ) 0
说明此挠曲线函数满足李兹法的要 求，下面进行计算。
(1)计算应变能。此梁的应变能包括两部 分，一是梁本身的弯曲应变能 V1 ，二 是弹性支座的应变能 V2 。注意到梁是 变断面的，故有
由题意得初始条件
v1 z1 v3 0
划去1、2、5行列得 :
36 l2 EI 6 l l 6 l 6 l 12 2 6 l v P 2 0 2 z2 0 z3 4
2
2 2l M ( x) M 2 ( x) V1 dx dx 0 2 EI l 4 EI l
1 2 EI
qx 2 F 1 [ (ql )x]2 d x 0 2 2 4 EI
l
2l
l
qx 2 F [ (ql )x Fl ]2 d x 2 2
1 q 2l 5 10qFl 4 F 2l 3 ( ) 2 EI 5 39 6
0 A 12 I 0 2 l 6I 0 l K (1) EI l A 0 0 12 I l2 6I 0 l
0 6I l 4I 0 6I l 2I
A 0 0 A 0 0
0 12 I 2 l 6I l 0 12 I l2 6I l
1 2
该双跨梁的弯矩表达式为
qx 2 F M ( x) (ql ) x 2 2
qx 2 F M ( x) (ql ) x Fl 2 2
(0 x l )
(l x 2l )
由于是线性结构，该杆系的余能等 于应变能，即 V * V ；且该杆系的应 变能有两部分组成，杆本身的应变能V1 和弹性支座所具备的应变能 V 。
0 6I l 2I 0 6I l 4I
杆元①需进行坐标转换，因 270 ,故坐 标转换矩阵为
o
则杆元①在总坐标系中的刚度矩阵为
杆元②与③的局部坐标与总坐标一致，注 意到此二杆元的长度为L/2，故有
(3)根据各杆元刚度矩阵的分割子矩阵， 组成结构刚度矩阵:
ql R y1 2 2 v1 ql z1 M R1 12 6 v2 3ql l k2 v2 2 4 z2 2 ql v3 6 4 z3 ql l M R3 8
1 l /2 1 l ''2 ''2 V1 EIv d x E (2 I )v d x 2 0 2 l /2
v 2 ( x) V2 2A
将
v '' ( x) 2a1
及
v(0) a1l 2
带入可算出
1 l l 2 2 2 V1 [ EI *4a 1 * 2 EI *4a 1 * ] 3EIa 1l 2 2 2
K111 K122 2 2 K 21 K 22
K
2
12 l2 6 EI l l 12 l2 6 l
6 l 4 6 l 2
12 2 l 6 l 12 l2 6 l
6 l 2 K 2 22 2 6 K 32 l 4
因此在上式中需划去与 u1 , v1 1 , v1 , v2 , u3 , u4 对应的七个行与列。
在节点4处y方向有弹性支座，在总 刚相应行的主对角线元素上加上弹性支 座的刚度后可不计其外载荷项。故经约 束处理后的方程式为
解此方程式组，即 可得节点位移。
例6 用矩阵法建立下图中梁的总刚 度矩阵，并对节点平衡方程式进行 A l 3 / (20 EI ) 计算时节点号 约束处理， 码自左向右取为1、2、3…，杆元 号码自左向右取为① ②…
结构力学习题
——能量法、矩阵法
一、能量法
例1 结构体系如下图所示，试利用应力 能原理计算结构右端点的挠度位移。不 考虑剪力影响。
解：由叠加法原理，可将上述杆系拆分为：
由力的平衡条件可以知F=3P/2; 图（a）中
M ( x) Px / 2
3l M ( x) P( x) 2
(0 x l )
0
将各子块代入得：
12 l2 6 l 12 EI l 2 l 6 l
6 l 4 6 l 2
12 l2 6 l 18 l2 0 6 l2 6 l
6 l 2 0 12 6 l 4 6 l2 6 l 6 l2 6 l
二、矩阵法
例4 用矩阵位移法求解该梁的剪力和弯矩。
①
y
②
x
解：把该连续梁离散为3个节点1、2、3， 2个单元（1）、（2）。如上图所示。
计算杆元刚度矩阵：
K
1
24 12 6 12 6 24 12 12 2 2 l2 l2 l l l l l l 6 12 6 12 4 2 8 4 E(2I) l EI l l l l 12 6 12 6 l 24 12 24 12 l2 l2 l l2 l l l2 l 6 12 6 12 2 4 4 8 l l l l
(3)计算总位能
55 3 V U 4.5EIa l q0 a1l 96
2 1
由
0 a1
得
55 3 9 EIa1l q0l 0 96
由此解得
q0l 2 a1 0.06366 EI
故梁的挠曲线方程为
q0l 2 v( x) 0.06366(l x) 2 EI
总的应变能为
V V1 V2 4.5EIa12l
(2)计算力函数。此梁的力函数包括集中 力P引起 U1及分布荷重 U 2 引起的两部分。
l 2 9 Pa1l 2 9q0 a1l 3 U1 Pv(l / 4) Pa1 (l ) 4 16 16
(4)求节点外载荷矩阵从而写出节点平衡 方程式。 杆元①因三角形分布荷重引起固端 弯矩及固端剪力，在单元坐标系中，固 端力矩阵为
所以有
q
由此可列出节点平衡方程式形式如下：
(5)约束处理。本例中，因不计杆件的轴 向变形又有 u3 u4 0 u1 v1 1 u2 v2 0 ,
1 3F 2l 3 V2 AF 2 2 4 EI
故总应变能为
1 q l 10qFl 4F l V V1 V2 ( ) 2 EI 5 39 3
2 5 4 2 3
由最小功定理
V 0 F
知
5 F ql 52
弹性支座处的挠度为
3l 3 5 15ql 4 v AR * ql 2 EI 52 104 EI
故杆系的总变形能
P 2l 3 9 P 2l V V1 V2 16 EI 8EA
对于线性体系而言，由卡式第二定理知右 端挠度为
V Pl 9 Pl v P 8EI 4 EA
3
例2 用李兹法求图6-b中变断面梁的中点 挠度。已知 P q0l , A l 3 / (3EI ) 。计算时试 2 v( x) a1 (l x)。 取挠曲线函数
K
(1)
12 l2 6 EI l l 12 l2 6 l
6 l 4 6 l 2
12 l2 6 l 12 l2 6 l
6 l 2 K11(1) (1) 6 K 21 l 4 K 23(2) (2) K 33
(l x 3l / 2)
其应变能为
1 l M ( x) 2 1 3l /2 M ( x) 2 P 2l 3 V1 dx dx 2 0 EI 2 l EI 16 EI
图（b）中
1 l F2 1 (3P / 2)2 9 P 2l V2 dx * * x l0 2 0 EA 2 EA 8EA
解得
11Pl v2 414 EI 2 Pl Z 2 46 EI 7 Pl 2 Z3 138 EI
3
例5 用矩阵法计算下图中的平面刚 架，写出结构刚度矩阵及经约束处 理后的平衡方程式组。已知 P 2ql A l / (48EI ) ,计算时杆件的轴向变形 不计。
3 4
解:(1)根据结构的受力特点，将它离散 为3个单元，4个节点，并建立杆元的局 部坐标及结构的总坐标如上图所示。 (2)计算杆元的刚度矩阵。 杆元①:
K12 (1) K 22 (1)
K 22 (2) 以 2l代l， 代I 4I K (2) (2) K 32
K11(1) (1) K 21 0
K12(1) K 22(1) K 22(2) K32(2)
1 P 1 (2) K 23 2 P2 K33(2) 3 P3
K 23 2 K 33
2
ห้องสมุดไป่ตู้
总刚度矩阵为
K11 K12 0 1 1 2 2 K K 21 K 22 K 22 K 23 2 2 0 K32 K 33
1 1
列平衡方程
24 l2 6 l 24 EI l 2 l 12 l 0 0 6 l 8 12 l 4 0 0 24 l2 12 l 36 2 l 6 l 24 2 l 6 l 12 l 4 6 l 12 6 l 2 0 0 24 2 l 6 l 24 l2 6 l 0 0 v1 R1 y1 M 6 R1 v2 P l 0 2 y2 v3 R3 6 y 3 0 l 4
梁中点的挠度为
q0l 2 q0l 4 l ) 0.06366(l l ) 2 v( 0.01591 2 2 EI EI
例3 用最小功原理求解下图所示梁 的静不定性。已知弹性支座的柔性 系数 A 3l / (2EI ) 。
3
解：设弹性支座处的支反力为F；两端支 F 反力为 R R ql 2 。
计算时，先写出分布荷重的表达式。对图 示坐标，有
2q0 q( x) x q0 l
l /2 xl
故
2q0 q0 a1l 3 U 2 q( x)vd x ( x q0 )a1 (l x) 2 d x l /2 l /2 l 96
l l
则总的力函数为
9q0 a1l 3 q0 a1l 3 55 U U1 U 2 q0 a1l 3 16 96 96
解：取挠曲线函数为 时, 满足 梁两端的位移边界条件，即 x=0时
v( x) a1 (l x) 2
v(0) a1l 2 0
v' (0) 2a1l 0
v ' (l ) 0
x=L时
v(l ) 0
说明此挠曲线函数满足李兹法的要 求，下面进行计算。
(1)计算应变能。此梁的应变能包括两部 分，一是梁本身的弯曲应变能 V1 ，二 是弹性支座的应变能 V2 。注意到梁是 变断面的，故有
由题意得初始条件
v1 z1 v3 0
划去1、2、5行列得 :
36 l2 EI 6 l l 6 l 6 l 12 2 6 l v P 2 0 2 z2 0 z3 4
2
2 2l M ( x) M 2 ( x) V1 dx dx 0 2 EI l 4 EI l
1 2 EI
qx 2 F 1 [ (ql )x]2 d x 0 2 2 4 EI
l
2l
l
qx 2 F [ (ql )x Fl ]2 d x 2 2
1 q 2l 5 10qFl 4 F 2l 3 ( ) 2 EI 5 39 6
0 A 12 I 0 2 l 6I 0 l K (1) EI l A 0 0 12 I l2 6I 0 l
0 6I l 4I 0 6I l 2I
A 0 0 A 0 0
0 12 I 2 l 6I l 0 12 I l2 6I l
1 2
该双跨梁的弯矩表达式为
qx 2 F M ( x) (ql ) x 2 2
qx 2 F M ( x) (ql ) x Fl 2 2
(0 x l )
(l x 2l )
由于是线性结构，该杆系的余能等 于应变能，即 V * V ；且该杆系的应 变能有两部分组成，杆本身的应变能V1 和弹性支座所具备的应变能 V 。
0 6I l 2I 0 6I l 4I
杆元①需进行坐标转换，因 270 ,故坐 标转换矩阵为
o
则杆元①在总坐标系中的刚度矩阵为
杆元②与③的局部坐标与总坐标一致，注 意到此二杆元的长度为L/2，故有
(3)根据各杆元刚度矩阵的分割子矩阵， 组成结构刚度矩阵:
ql R y1 2 2 v1 ql z1 M R1 12 6 v2 3ql l k2 v2 2 4 z2 2 ql v3 6 4 z3 ql l M R3 8
1 l /2 1 l ''2 ''2 V1 EIv d x E (2 I )v d x 2 0 2 l /2
v 2 ( x) V2 2A
将
v '' ( x) 2a1
及
v(0) a1l 2
带入可算出
1 l l 2 2 2 V1 [ EI *4a 1 * 2 EI *4a 1 * ] 3EIa 1l 2 2 2
K111 K122 2 2 K 21 K 22
K
2
12 l2 6 EI l l 12 l2 6 l
6 l 4 6 l 2
12 2 l 6 l 12 l2 6 l
6 l 2 K 2 22 2 6 K 32 l 4
因此在上式中需划去与 u1 , v1 1 , v1 , v2 , u3 , u4 对应的七个行与列。
在节点4处y方向有弹性支座，在总 刚相应行的主对角线元素上加上弹性支 座的刚度后可不计其外载荷项。故经约 束处理后的方程式为
解此方程式组，即 可得节点位移。
例6 用矩阵法建立下图中梁的总刚 度矩阵，并对节点平衡方程式进行 A l 3 / (20 EI ) 计算时节点号 约束处理， 码自左向右取为1、2、3…，杆元 号码自左向右取为① ②…
结构力学习题
——能量法、矩阵法
一、能量法
例1 结构体系如下图所示，试利用应力 能原理计算结构右端点的挠度位移。不 考虑剪力影响。
解：由叠加法原理，可将上述杆系拆分为：
由力的平衡条件可以知F=3P/2; 图（a）中
M ( x) Px / 2
3l M ( x) P( x) 2
(0 x l )
0
将各子块代入得：
12 l2 6 l 12 EI l 2 l 6 l
6 l 4 6 l 2
12 l2 6 l 18 l2 0 6 l2 6 l
6 l 2 0 12 6 l 4 6 l2 6 l 6 l2 6 l
二、矩阵法
例4 用矩阵位移法求解该梁的剪力和弯矩。
①
y
②
x
解：把该连续梁离散为3个节点1、2、3， 2个单元（1）、（2）。如上图所示。
计算杆元刚度矩阵：
K
1
24 12 6 12 6 24 12 12 2 2 l2 l2 l l l l l l 6 12 6 12 4 2 8 4 E(2I) l EI l l l l 12 6 12 6 l 24 12 24 12 l2 l2 l l2 l l l2 l 6 12 6 12 2 4 4 8 l l l l
(3)计算总位能
55 3 V U 4.5EIa l q0 a1l 96
2 1
由
0 a1
得
55 3 9 EIa1l q0l 0 96
由此解得
q0l 2 a1 0.06366 EI
故梁的挠曲线方程为
q0l 2 v( x) 0.06366(l x) 2 EI