向量组及其线性表示
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3-2向量组的线性关系
19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
向量组的线性表示
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１
给定向量组A
:1 , 2 ,
,
，对
m
于任
何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
例
向量组A
:
a1
1 1
有n个m维列向量
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
a1
a
a2
an
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
1.3、向量空间
向量
解析几何
(n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐 标 有次序的实数组成的数组 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
线性代数第四章第一节向量组及其线性组合课件
矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
线性代数向量组
（相关组增加向量仍相关；无关组减少向量仍无关.）
【结论 4】若向量组1 , 2 , 线性相关， 则 能由1 , 2 ,
, m 线性无关，而1 , 2 ,
,m ,
, m 线性表示，且表示式唯一。
【结论 5】线性无关的向量组中每个向量分别添加分量后的 新向量组一定线性无关。 （无关组增加分量仍无关）
【注 3】矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B ，则 A的行向量组与 B 的 行向量组等价。但是列向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 P ，使得 PA B, A P 1 B 。
【注 4】矩阵 A经初等列变换变成矩阵 B ，则 A的列向量组与 B 的 列向量组等价。但是行向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, A BQ 1 。
k 0, 0 一定是 k 0
3、 向量组：若干个同维数的行（列）向量所组成 的集合称为向量组。
1 2 3 2 3 4 1 , 2 , 3 是3个四维的列向量组. 3 4 5 4 5 6
k12 k22 ks 2 k1 s k2 s k ss 0
k1 s k2 s ， k ss
【例3】讨论向量组的线性相关性。
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x am 2 x2 等价于线性方程组 m1 1
有解
三. 向量组的等价
设Hale Waihona Puke 两个向量组 A : 1 , 2 ,
m 和 B : 1 , 2 , l ，
若 B 组中的每个向量都能由 A组中的向量线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A线性表示。
【结论 4】若向量组1 , 2 , 线性相关， 则 能由1 , 2 ,
, m 线性无关，而1 , 2 ,
,m ,
, m 线性表示，且表示式唯一。
【结论 5】线性无关的向量组中每个向量分别添加分量后的 新向量组一定线性无关。 （无关组增加分量仍无关）
【注 3】矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B ，则 A的行向量组与 B 的 行向量组等价。但是列向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 P ，使得 PA B, A P 1 B 。
【注 4】矩阵 A经初等列变换变成矩阵 B ，则 A的列向量组与 B 的 列向量组等价。但是行向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, A BQ 1 。
k 0, 0 一定是 k 0
3、 向量组：若干个同维数的行（列）向量所组成 的集合称为向量组。
1 2 3 2 3 4 1 , 2 , 3 是3个四维的列向量组. 3 4 5 4 5 6
k12 k22 ks 2 k1 s k2 s k ss 0
k1 s k2 s ， k ss
【例3】讨论向量组的线性相关性。
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x am 2 x2 等价于线性方程组 m1 1
有解
三. 向量组的等价
设Hale Waihona Puke 两个向量组 A : 1 , 2 ,
m 和 B : 1 , 2 , l ，
若 B 组中的每个向量都能由 A组中的向量线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A线性表示。
向量组及其线性表示
则称向量组A与向量组B等价.
§1 向量组及其线性组合
定理 向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条件是 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于 矩阵(A,B) =(a1 ,a2 , … ,am , b1 ,b2 , … ,bl)的秩,
定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则 称这两个向量组等价.
§1 向量组及其线性组合
1 0
例设有两个向量组A : a1 0,a2 1,
及B
:
b1
1 1,b2
12,
,
2
,
b1 a1 a2 , b2 a1 2a2 ,
则称向量组B能由向量组A线性表示.
§1 向量组及其线性组合
例
设有两个向量组A :
1
a1
0,
a2
0 1,
及B
:
b1
1 1,b2
12,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a 2 ,b 2 a1 2 a 2 , a1 2 b1 b 2 ,a 2 b1 b 2 ,
注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 b =x1a1 + x2 a2 + … + xmam
有解.
§1 向量组及其线性组合
例
1 1 1 0 6 A:a11,a22,a30,a41,b7
2a13a2a3a4b
向量b能由向量组A线性表示.
b x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 x 4 a 4
方程组
x1 x2 x3 x1 2x2 x4
6 7
有解.
§1 向量组及其线性组合
§1 向量组及其线性组合
定理 向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条件是 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于 矩阵(A,B) =(a1 ,a2 , … ,am , b1 ,b2 , … ,bl)的秩,
定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则 称这两个向量组等价.
§1 向量组及其线性组合
1 0
例设有两个向量组A : a1 0,a2 1,
及B
:
b1
1 1,b2
12,
,
2
,
b1 a1 a2 , b2 a1 2a2 ,
则称向量组B能由向量组A线性表示.
§1 向量组及其线性组合
例
设有两个向量组A :
1
a1
0,
a2
0 1,
及B
:
b1
1 1,b2
12,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a 2 ,b 2 a1 2 a 2 , a1 2 b1 b 2 ,a 2 b1 b 2 ,
注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 b =x1a1 + x2 a2 + … + xmam
有解.
§1 向量组及其线性组合
例
1 1 1 0 6 A:a11,a22,a30,a41,b7
2a13a2a3a4b
向量b能由向量组A线性表示.
b x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 x 4 a 4
方程组
x1 x2 x3 x1 2x2 x4
6 7
有解.
§1 向量组及其线性组合
4.1 向量组及其线性组合
的秩，即 R(A) = R(A , B) .
推论 向量组 A：a1 , a2 , · , am 与向量组 · ·
B：b1 , b2 , · , bl 等价的充要条件是 · · R(A) = R(B) = R(A , B) , 其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵.
例1
1 1 1 1 1 2 1 0 设1 , 2 , 3 , b , 2 1 4 3 2 3 0 1
第四章
第一节
向量组的线性相关性
向量组及其线性组合主要内容Leabharlann 向量及向量组的定义 向量组等价
向量组等价的条件
定理的比较
一、向量及向量组的定义
1. 向量的定义
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , · , an 所组 · ·
成的数组称为 n 维向量, 这 n 个数称为该向量的
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数
的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
n 维向量可写成一行, 也可写成一列, 分别称 为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, n 维列向量 与 n 维行向量 T 是两个不同的向量
a1 a2 , a n n 维列
从而得表示式 b = (1 , 2 , 3) x
= (-3c+2)1 + (2c-1)2 + c3 .
例2 设
1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 , 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0
线代课件-向量组
,
3
0 1
线性表示。
但3不可由向量组B线性表示，故向量组 A不可由
向量组B线性表示，进而向量组 A与向量组B不等价。
1 0 1
（2）向量组B :
1
0 0
,
2
2 0
,
3
1 0
1 0
与向量组
A
: 1
0 0
,
2
10 等价。
§3.2 向量組的線性相關性
一、定義
【定义 4】 设有向量组1,2 , ,m ，
若存在一组不全为零的数 x1, x2 , , xm，使得
x11 x22 xmm 0， 则称向量组1,2 , ,m 线性相关。
否则，称1,2 , ,m 线性无关。即
当且仅当 x1, x2 , , xm全为零时，才有
x11 x22 xmm 0， 则称1,2 , ,m 线性无关。
例 1 1 1,2,3T ,2 2,3,4T ,3 0,0,0T ; 相關
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
【注 1】若 AB C ，则 C 的列向量组可由 A的列向量组线性表示，( AB C ) C 的行向量组可由B的行向量组线性表示。( AB C )
向量组的线性关系
因为1 ，2 ，3 线性无关，则
2k1
3k3 0 ，
k1
k2
0，
5k2 4k3 0 ．
203
方程组的系数行列式为
D 1 1 0 23 0
054
因此，只有零解 k1 k2 k3 0 ，故向量组 1 ，2 ，3 也线性无关．
线性代数
线性代数
1.1 线性组合与线性表示
定义1
相同维数的向量的集合称为向量组。 一般记为向量组 T 或向量组（Ⅰ）、（Ⅱ）等． 例如，若有向量
1 (1，2 ，1) ，2 (2 ，1，0) ，3 (2 ， 3，1) ， 这些向量组成的向量组可记为向量组（Ⅰ）：1 ，2 ，3 ． 向量1 (1，2，3) ，2 (1，1) ，3 (0， 3，1) 不能形成一个向量组，因为它们的维数不 同。
若 l 0 ，上式为 k11 k22 kmm 0 ，且 k1 ，k2 ， ，km 不全为 0，这与1 ，2 ， ，m
线性无关矛盾，故 l 0 ．于是
1 l
(k11
k22
kmm )
表达式唯一，可用反证法证明得到．
1.3 线性相关性结论
定理
定理 5 设 n 维向量组1 ，2 ， ，s 线性相关，则向量组 1 ，2 ， ，s ， ，m (m s)
也线性相关，即若向量组中有一部分向量组（称为部分组）线性相关，则整个向量组线 性相关．
证明：因为 1 ，2 ， ，s 线性相关，所以存在一组不全为零的数 k1 ，k2 ， ，ks ，使得 k11 k2 2 kss 0，于是
k11 k22 kss 0s1 0m 0 ． 因此，1 ，2 ， ，s ， ，m (m s) 线性相关．
例 2 证 明 ： 任 一 n 维 向 量 (a1 ，a2 ， ，an ) 都 可 由 n 维 向 量 1 (1，0， ，0) ， 2 (0，1， ，0) ， ，n (0，0 ， ，1) 线性表出。
向量组的线性表示
(3) 向量的线性运算成立分配律
1) k( )=k k ; 2) (k l) =k l; 上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
二、向量组的线性表示与等价
2.1、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
(a a2
ij)mn
1 1,b2
1 2
,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a2 ,b2 a1 2a2 , a1 2b1 b2 ,a2 b1 b2 ,
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1,2, ,m,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 , , m )
,
a2
1 2
,
a3
1
0
,
a4
0
1
向量组A的一个线性组合：2a1
3a2
a3
a4
2 11
3
1 2
1
0
0 1
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2，
,
，使
m
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量b 能 由向量组 A 线性表示．
例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
1) k( )=k k ; 2) (k l) =k l; 上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
二、向量组的线性表示与等价
2.1、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
(a a2
ij)mn
1 1,b2
1 2
,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a2 ,b2 a1 2a2 , a1 2b1 b2 ,a2 b1 b2 ,
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1,2, ,m,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 , , m )
,
a2
1 2
,
a3
1
0
,
a4
0
1
向量组A的一个线性组合：2a1
3a2
a3
a4
2 11
3
1 2
1
0
0 1
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2，
,
，使
m
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量b 能 由向量组 A 线性表示．
例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
向量组的线性表示
向量组维度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的维度必须与被表示向量的维度相同。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
2
通过线性表示，我们可以更好地理解向量之间的 关系，进一步研究向量组的性质和特征。
3
在信号处理、图像处理、机器学习等领域，线性 表示被广泛应用于数据的分析和处理。
向量组线性表示的重要性
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
线性无关
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线 性无关，则该向量组不能线性表示一 个非零向量$mathbf{a}$。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
向量与矩阵的定义
要点一
向量
一个n维向量是一个有序的n个实数的集合，通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
要点二
矩阵
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的维度必须与被表示向量的维度相同。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
2
通过线性表示，我们可以更好地理解向量之间的 关系，进一步研究向量组的性质和特征。
3
在信号处理、图像处理、机器学习等领域，线性 表示被广泛应用于数据的分析和处理。
向量组线性表示的重要性
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线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
线性无关
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线 性无关，则该向量组不能线性表示一 个非零向量$mathbf{a}$。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
向量与矩阵的定义
要点一
向量
一个n维向量是一个有序的n个实数的集合，通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
要点二
矩阵
线性代数 第一节 向量组及其线性组合
若干个同维数的行向量组成的集合叫做行向量组．
2、矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a1 a11
a2 a12
aj a1j
an a1n
A
a21
a22 a2j
a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向量
定理 2 向量B组 :b1,b2,,bl能由向量 A:a组 1, a2,,am线性表示的充分 件必 是要 矩A条 阵 (a1,a2,,am)的秩等于(A矩 , B)阵 (a1,a2,, am,b1,b2,,bl )的 秩 ，R 即 (A)R(A, B).
推 论 向 量 A:a 组 1,a2, am与 向B 量 :b1,组 b2, bl 等 价 的 充 分 必 R(A)要 R(条 B)件 R(A,是 B) 其A 中 和 B是 向A 量 和 B所 组构 成.的 矩 阵
则向b量 是向量A的 组线性组合，向这量时b能称 由向量组 A线性表示．
例 如 :1 (1 ,2 ,3 ),2 (1 ,3 ,1 ),b (0 , 1 ,2 ) 则 b 1 2 ,即 b 可 由 1 , 2 线 性 表 示 .
3、定理
定 1理 向 b 可 量由1 ,向 2 , m 量 线组 性
a
a2
a n
n维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT,bT,T,T等表示，如：
aT(a1,a2, ,an)
注意 1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 运算；
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2、矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a1 a11
a2 a12
aj a1j
an a1n
A
a21
a22 a2j
a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向量
定理 2 向量B组 :b1,b2,,bl能由向量 A:a组 1, a2,,am线性表示的充分 件必 是要 矩A条 阵 (a1,a2,,am)的秩等于(A矩 , B)阵 (a1,a2,, am,b1,b2,,bl )的 秩 ，R 即 (A)R(A, B).
推 论 向 量 A:a 组 1,a2, am与 向B 量 :b1,组 b2, bl 等 价 的 充 分 必 R(A)要 R(条 B)件 R(A,是 B) 其A 中 和 B是 向A 量 和 B所 组构 成.的 矩 阵
则向b量 是向量A的 组线性组合，向这量时b能称 由向量组 A线性表示．
例 如 :1 (1 ,2 ,3 ),2 (1 ,3 ,1 ),b (0 , 1 ,2 ) 则 b 1 2 ,即 b 可 由 1 , 2 线 性 表 示 .
3、定理
定 1理 向 b 可 量由1 ,向 2 , m 量 线组 性
a
a2
a n
n维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT,bT,T,T等表示，如：
aT(a1,a2, ,an)
注意 1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 运算；
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
一个向量能否由一个向量组线性表示的方法
一个向量能否由一个向量组线性表示的方法
一个向量能否由一个向量组线性表示，是一个重要的数学问题，它可以帮助我们更好地理解和分析向量之间的关系。
首先，我们来看一个向量组的定义：一个向量组是由一组向量组成的，这些向量的线性组合可以表示另一个向量。
也就是说，如果一个向量可以由一个向量组线性表示，那么这个向量就可以由这个向量组的线性组合表示。
其次，我们来看一个向量能否由一个向量组线性表示的判断方法：首先，我们需要确定这个向量组的维数，也就是说，这个向量组中有多少个向量；其次，我们需要确定这个向量组的线性独立性，也就是说，这个向量组中的向量是否能够线性独立；最后，我们需要确定这个向量组是否能够表示另一个向量，也就是说，这个向量组中的向量是否能够表示另一个向量。
最后，我们来看一个例子：假设有一个向量组，其中有三个向量，分别为a、b、c，我们可以用线性组合的方式来表示另一个向量d，即d=a+b+c，这就说明这个向量组可以用来表示另一个向量。
总之，一个向量能否由一个向量组线性表示，取决于这个向量组的维数、线性独立性以及能否表示另一个向量。
只有当这些条件都满足时，一个向量才能由一个向量组线性表示。
向量组的线性表示
第三章 向量组§3.1向量组及其线性组合一、向量及其运算1、向量：n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量，数n 称为向量的维数。
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量。
注：（1）向量写成一行称为行向量：12(,,,)n a a a α= ，写成一列称为列向量：12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
（3）向量是一种特殊矩阵。
2、线性运算和性质（等同于矩阵的线性运算） （1）向量的加法： （2）向量的数乘：二、向量组及其线性组合1、向量组：由有限个同维向量12,,,m a a a 构成的组合，称之为向量组，记A 或B 。
【注】向量组和矩阵的关系：向量组11211122221212:,,,m m m n n mn a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112111222212m m nn mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪⇒= ⎪⎪⎝⎭2、线性组合给定向量组12:,,,m A a a a ，对于任何一组实数 12,m k k k ，，，表达式1122m m k a k a k a +++称为向量组 A 的一个线性组合，12,m k k k ，，称为这个线性组合的系数。
3、线性表示给定向量组12:,,,m A a a a 和向量b ，如果存在一组数12,,,m λλλ ，使1122m m b λαλαλα=++则向量b 是向量组A 的一个线性组合，称向量b 能由向量组A 线性表示。
4、 定理1 向量b 能由向量组A 线性表示的充分必要条件是矩阵12(,,,)m A ααα= 的秩等于矩阵12(|)(,,)m A b a a a b = ，，的秩。
第四章第1节 向量组及其线性组合
(
)
称为列向量。 称为列向量。 列向量 它们的区别 只是写法上 的不同。 的不同。 称为行向量。 称为行向量。 行向量
分量全为零的向量 ( 0,0,⋯ ,0 ) 称为零向量。 称为零向量 零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等： 向量相等：如果 n 维向量 α = a1 , a2 ,⋯ , an 的对应分量都相等， 的对应分量都相等，即 ai = bi
B能由A线性表示，即对每一个向量β j ( j = 1, 2,⋯ , l ) 存在k1 j , k2 j ,⋯ , kmj 使 k1 j k2 j β j = k1 jα1 + k2 jα 2 + ⋯ + kmjα m = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) ⋮ kmj
则方程组的向量表示为 x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
6. 向量组等价
定义3： 定义 ：如果向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 中的每一个向量 ) α i ( i = 1, 2,⋯ , m 都可以由向量组 B : β 1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表示，那么就称向量组 可以由向量组 线性表示。 可以由向量组B线性表示 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组 线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示 线性表示， 若同时向量组 也可以由向量组 线性表示，就称 向量组A与向量组 等价。 与向量组B等价 向量组 与向量组 等价。 即
5. 线性组合与线性表示
定义1： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 对于任何一组实数 k1 , k2 ,⋯ , km , 向量 k1α 1 + k2α 2 + ⋯ + kmα m 称为向量组 的一个 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 线性组合，k1 , k2 ,⋯ , km 称为这个线性组合的系数。 定义2： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 和向量 β 如果存在一组实数 λ1 , λ2 ,⋯ λm , 使得 β = λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λmα m 则称向量
3[1].3_向量组的线性关系
![3[1].3_向量组的线性关系](https://img.taocdn.com/s3/m/fd956c126edb6f1aff001fa2.png)
因为n个方程n+1个未知量的方程组必有非零解。 规定：单个非零向量线性无关
数学科学学院 徐 鑫
2008年10月9日星期四
三、线性相关性的判定
1、利用线性相关性定义 利用定义判定向量组 A : α1 ,α2 , , αm的线性相关性 的步骤： ①、设有数 k1 , k2 , , km 使 ∑ k k α k = 0;
数学科学学院
徐
鑫
2008年10月9日星期四
定理3 部分相关 全体相关，反之不然； 全体无关 部分相关，反之不然. 〖证〗设有向量组 A : α1 ,α2 , ,αk ,αk +1 , ,αm ,且其部分 向量组 A : α1,α2 , 1
k1α1 + k 2α 2 +
+ k mα m = 0,
则称向量组 A 是线性相关的;否则,称之是线性无关的。
知识点转换
向量组的线性表示问题与线性方程组解的问题是可 以相互转化的，即 向量组α1,α2 , ,αm 线性相关（无关） 线性齐次方程组 ∑ xk α k = 0 有非零解（只有零解）
k =1 m
即 本定理反映了线性相关性与线性表示之间的关系。
数学科学学院 徐 鑫
因为 α1,α2 ,
2008年10月9日星期四
基本定理 n元线性齐次方程组 Am × n X = 0 有非 零解 r ( A) < n. 前面证明了 下列各定理均可由基本定理证明.
方程个数小于未 方程个数小于未 知量个数，该方 知量个数，该方 程组必有非零解 程组必有非零解
从而,有
k1 + 2k2 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 3k2 + k3 = 0
由克莱姆法则知：因线性方程组的系数行列式 克莱姆法则
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三、线性相关性的判定
1、利用线性相关性定义 利用定义判定向量组 A : α1 ,α2 , , αm的线性相关性 的步骤： ①、设有数 k1 , k2 , , km 使 ∑ k k α k = 0;
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定理3 部分相关 全体相关，反之不然； 全体无关 部分相关，反之不然. 〖证〗设有向量组 A : α1 ,α2 , ,αk ,αk +1 , ,αm ,且其部分 向量组 A : α1,α2 , 1
k1α1 + k 2α 2 +
+ k mα m = 0,
则称向量组 A 是线性相关的;否则,称之是线性无关的。
知识点转换
向量组的线性表示问题与线性方程组解的问题是可 以相互转化的，即 向量组α1,α2 , ,αm 线性相关（无关） 线性齐次方程组 ∑ xk α k = 0 有非零解（只有零解）
k =1 m
即 本定理反映了线性相关性与线性表示之间的关系。
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因为 α1,α2 ,
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基本定理 n元线性齐次方程组 Am × n X = 0 有非 零解 r ( A) < n. 前面证明了 下列各定理均可由基本定理证明.
方程个数小于未 方程个数小于未 知量个数，该方 知量个数，该方 程组必有非零解 程组必有非零解
从而,有
k1 + 2k2 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 3k2 + k3 = 0
由克莱姆法则知：因线性方程组的系数行列式 克莱姆法则
一个向量组能由另一个向量组线性表示,他们秩的关系
一个向量组能由另一个向量组线性表示,他们秩的关系在数学中，向量是指一组有序的数字，用来表示在几何空间中的某种偏移情况。
一组数字表示的是空间中某一点的特定坐标。
另一方面，向量组是指由多个向量构成的有序的集合。
它可以描述一组平面上点的某种偏移情况。
本文将着重介绍一组向量组能够由另一组向量组进行线性表示，并讨论向量组之间的秩（rank）关系。
首先，让我们来看一个关于向量组的简单例子。
例如，给定一组三维向量（a=[1,2,3],b=[3,2,1]），它可以由另一组三维向量（c=[4,4,4],d=[1,1,1]）线性表示：a=4c，b=4d。
由此可见，第一组三维向量可以由第二组三维向量进行线性表示，换句话说，第一组向量组是由第二组向量组所确定的。
接下来，让我们来看一下两个向量组之间秩（rank）的关系。
首先，假设给定一组向量组：A=(a1,a2...an),B=(b1,b2...bn)，其中a、b分别为向量。
向量组A的秩（rank A）表示向量A是由几个向量组成的，例如A的秩为2表示A由2个向量组成，A的秩为3表示A由3个向量组成。
类似地，向量组B的秩（rank B）也表示向量组B是由几个向量组成的，例如B的秩为2表示B由2个向量构成，B的秩为3表示B 由3个向量构成。
从中可以认为，某一组向量组由另外一组向量组线性表示，那么它们的秩（rank）关系即为：如果向量组A的秩rank A 比向量组B的秩rank B低，则向量组A可以由向量组B进行线性表示；如果向量组A的秩rank A比向量组B的秩rank B高，则向量组A不能由向量组B进行线性表示，因为B不能作为A的基（basis），也就是说不能从B中得出A的每一个分量（component）。
此外，由于A是确定的，因此当B的秩（rank B）等于A的秩（rank A）时，一定可以找到线性表示，但是不能确定这种线性表示是否存在，具体结果取决于变量的取值情况。
总结一下，当一组向量组能够由另一组向量组线性表示时，两个向量组的秩（rank）关系如下：第一组向量组的秩（rank A）比第二组向量组的秩（rank B）低，则第一组向量组可以由第二组向量组线性表示；当两个向量组的秩（rank A = rank B）相等时，可能能够找到线性表示，具体结果取决于变量的取值情况。
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§1
例
向量组及其线性组合
1 1 1 0 6 A : a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , b = 1 2 0 1 7 2a1 + 3a2 + a3 − a4 = b
向量b能由向量组A线性表示. b = x1 a1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4
§1
向量组及其线性组合
1 1 0 = + 2 , 2 0 1 b2 = a1 + 2 a 2 ,
1 0 a1 = , a2 = , 及B : b = 1 , b = 1 , 例设有两个向量组A : 1 2 0 1 1 2
(1, ↑ 第１个分量 2, ⋯ ) ,n ↑ 第2个分量 ↑ 第n个分量
§1
向量组及其线性组合
定义: 定义:给定向量组A:a1 ,a2 , … ,am ,对于任何一组实数 k1 ,k2 , … ,km ,表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组的一个线性组合 k1 ,k2 , … ,km称为这个线性组 线性组合, 线性组合 合的系数 系数. 系数
b1 = a 1 + a 2 , a 1 = 2 b1 − b 2 ,
b2 = a1 + 2 a 2 , a 2 = − b1 + b 2 ,
则称向量组 与向量组 等价 向量组A与向量组 等价. 向量组 与向量组B等价
§1
定理
向量组及其线性组合
向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组
A:a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条件 充分必要条件是 充分必要条件 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于 矩阵(A,B) =(a1 ,a2 , … ,am , b1 ,b2 , … ,bl)的秩, 即R(A) = R(A,B) .
1 1 0 = + , 1 0 1 b1 = a1 + a 2 ,
则称向量组 能由向量组 线性表示 向量组B能由向量组 线性表示. 向量组 能由向量组A线性表示
§1
向量组及其线性组合
1 1 1 0 例 设有两个向量组A : a1 = , a2 = , 及B : b1 = , b2 = , 1 2 0 1
1 = 1 1 = 0 1 + 0 1 2 1 0 , 1 1 − , 2 1 2 0 1 1 = + 2 0 1 = − + 1 0 , 1 1 , 2
§1
向量组及其线性组合
定义: 定义:给定向量组A:a1 ,a2 , … ,am ,和向量b ,如果存在 一组数λ1 , λ2 , … , λm ,使 b =λ1a1 + λ2 a2 + … + λmam , 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量 能由向量组 向量b能由 向量 能由向量组 A线性表示 线性表示. 线性表示 注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 注意: b =x1a1 + x2 a2 + … + xmam 有解.
解 因为 1 −2 3 3 −1 5 B= 2 1 2 0 5 − 4
− 1 2 1 − 2 3 −1 − 3 6 0 5 − 4 0 ～ − 2 8 0 0 0 5 0 0 5 7 0 0
2 0 7 4
由此可知， 由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4， ， 即 R(A) ≠ R(B) ，因此向量 b不能由向量 线性表示. 组 A 线性表示
§1
向量组及其线性组合
定义: 定义:设有两个向量组A:a1 ,a2 , … ,am 及 B :b1 ,b2 , … ,bm,若B组中的每个向量都能 向量组B能由向量组 由向量组A线性表示,则称向量组 能由向量组 向量组 A线性表示 线性表示. 线性表示 定义: 定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则 称这两个向量组等价 两个向量组等价. 两个向量组等价
§4.1
向量组及其线性组合
主要内容： 主要内容： 一、n维向量的定义 维向量的定义 二、向量组的定义 三、向量组的线性组合 四、向量组等价 五、向量组的线性表示
§1
向量组及其线性组合
定义: 定义:n个有次序的数a1 ,a2 , … ,an所组成 的数组称为n维向量 维向量,这 n个数称为该向 维向量 量的n个分量 个分量,第i个数称为第i个分量 第 个分量. 个分量 个分量 例 n维向量
§1
向量组及其线性组合
1 1 1 0 b1 = , b2 = , 例设有两个向量组A : a1 = , a2 = , 及B : 1 2 0 1
向量组B能由向量组A线性表示.
b1 = a 1 + a 2 , 1 R (A) = R 0 b2 = a1 + 2 a 2 , 0 = 2, 1 0 1 1 1 1 = 2, 2
§1
例
向量组及其线性组合
1 1 1 0 6 a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , b = 1 2 0 1 7 2a1 + 3a2 + a3 − a4 = b 1 R( A) = R(a1 , a2 , a3 , a4 ) = R 1 1 R( B) = R(a1 , a2 , a3 , a4 , b) = R 1 1 2 1 2 1 0 1 0 0 = 2, 1 0 1 6 = 2. 7
1 1 1 0 例 向量组A : a1 = , a2 = , a3 = , a4 = 1 2 0 1 1 1 1 0 向量组A的一个线性组合： 1 + 3a2 + a3 − a4 = 2 + 3 + − 2a 1 2 0 1
§1Байду номын сангаас
向量组及其线性组合
1 1 1 0 例设有两个向量组A : a1 = , a2 = , 及B : b1 = , b2 = , 1 2 0 1
向量组B与向量组A等价.
1 R ( A) = R 0
0 1 = 2, R ( B ) = R 1 1 1 0 1 1 R ( A, B ) = R = 2, 0 1 1 2 R ( A) = R ( B ) = R ( A, B )
1 R (A, B ) = R 0 R (A) = R (A, B )
§1
推论
向量组及其线性组合
向量组A:a1 ,a2 , … ,am 与向量组 R(A) = R(B)= R(A,B) ,
B:b1 ,b2 , … ,bl等价的充分必要条件 充分必要条件是 充分必要条件 其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.
1 = 2, 2
§1
定理
向量组及其线性组合
设向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组
A:a1 ,a2 , … ,am线性表示,则 R(b1 ,b2 , … ,bl) ≤ R( a1 ,a2 , … ,am ) .
x1 + x2 + x3 = 6 方程组 x + 2 x + x = 7 1 2 4
有解.
§1
向量组及其线性组合
定理 向量b能由向量组A:a1 ,a2 , … ,am线 充分必要条件是 性表示的充分必要条件 充分必要条件 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于矩阵B =(a1 ,a2 , … ,am ,b)的秩.
例
2 1 −2 6 3 ，向量组 A : a = , a = −1 , 设向量 b = 1 8 2 2 1 7 0 5
3 − 1 5 − 3 a3 = 线性表示？ , a 4 = − 2 . 问向量 b能否由向量组 A线性表示？ 2 − 4 5