第三章 定解条件与定解问题的提法

u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0
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或：
u (0, t ) = f (t ),
u (l , t ) = g (t )
第二类边界条件： 端既不固定， 第二类边界条件：一 端既不固定，又不受位移方向力的作用
∂u ∂x
x =0
∂u = ∂x
=0
x =l
∂u 或： ∂x
= f (t ),
h，
如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 如下图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u h x l o b
初始时刻就是放手的那一瞬间， 【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零， 按题意初始速度为零，即有
ut ( x, t ) |t =0 = ut ( x, 0) = 0
x =0
∂u ∂x
= g (t )
x =l
第三类边界条件： 端受到弹性系数为k 第三类边界条件： 在x=l 端受到弹性系数为 的弹簧的支承
∂u T ∂x
x =l
= − k u x =l
或
∂u +σu = 0 ∂x x =l
第三章 定解条件与定解问题的提法
的弦， 例 ： 一根长为 l 的弦，两端固定于 x = 0 和 x = l ， 在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
初始位移如图所示
h (0 ≤ x ≤ b) b x u ( x, 0) = h l −b (l − x) (b ≤ x ≤ l )
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程） 初始条件 定解问题 控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 控制偏微分方程 +边界条件 边界条件 初值问题（柯西问题） 初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程） 初始条件 定解问题 控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 控制偏微分方程 特解 定解条件=初始条件 边界条件 定解条件 初始条件+边界条件 初始条件
第三章 定解条件与定解问题的提法
边界条件——描述系统在边界上的状况 ② 边界条件 描述系统在边界上的状况 第一类边界条件：介质表面温度已知 第一类边界条件：
T
S =0
= ϕ ( p, t )
式中， 为边界面上的点 为边界面上的点。 式中，p为边界面上的点。
第二类边界条件： 第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知
第三章 定解条件与定解问题的提法
端固定， 例： 长为 l 的弦在 x = 0 端固定，另一端 x = l 自由， 时处于水平状态， 自由，且在初始时刻 t = 0 时处于水平状态，初始速度为
x (l − x ) ，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题 且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.
【解】 确定泛定方程 泛定方程： ① 确定泛定方程：
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 波动方程的定解条件
一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应 满足的一般性规律， 满足的一般性规律，但仅仅利用它还不能完全确定所考察 弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界 初始状态以及 弦的运动状况，这是因为它的运动还与初始状态以及边界 条件所处的状况有关。 条件所处的状况有关。 所处的状况有关 初始条件—— ——描述系统的初始状态 ① 初始条件——描述系统的初始状态 设弦在初始时刻t = 0 时的位置和速度为：
第三章 定解条件与定解问题的提法
从物理规律角度来分析， 从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场 和产生这种场的源之间的关系。 和产生这种场的源之间的关系。 声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松方程表示的是电势 或电场） （或电场）和电荷分布之 间的关系
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , x ∈ (0, l ), t > 0 ∂t 2 ∂x u ( x, 0) = 0, u ( x, 0) = v , x ∈ (0, l ) t 0 u (0, t ) = u x (l , t ) = 0, t≥0
第三章 定解条件与定解问题的提法
u ( x, 0) = ϕ ( x) ∂u ( x, 0) ∂t = ψ ( x) 0≤ x≤l
系统各点的初位移 系统各点的初速度
第三章 定解条件与定解问题的提法
边界条件——描述系统在边界上的状况 ② 边界条件 描述系统在边界上的状况 第一类边界条件：对于两端固定的弦的振动，其为： 第一类边界条件：对于两端固定的弦的振动，其为： 两端固定的弦的振动
∂u ∂x =0
x =l
确定初始条件 ③ 确定初始条件 根据题意， 弦处于水平状态， 根据题意，当 t = 0 时，弦处于水平状态，即初始位移为零
u ( x, 0) = 0
初始速度
∂u |t =0 = x(l − x) ∂t
第三章 定解条件与定解问题的提法
综上讨论， 综上讨论，故定解问题为
utt − a 2u xx = 0 u (0, t ) = 0, u x |x =l = 0 u ( x, 0) = 0, u ( x, 0) = x(l − x) t
qn = − K ∂T ∂T = const , ∂n ∂n = f ( p, t )
S
第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知 第三类边界条件：
qn = α (T − T0 )
−K
(α 为热交换系数)
由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量 热量守恒定律可知， 可知
第三章 定解条件与定解问题的提法
要想完全确定一个物理过程除了控 要想完全确定一个物理过程除了控 制方程（一般指偏微分方程） 制方程（一般指偏微分方程）外，还需要 给定初始和边界条件。 给定初始和边界条件。 初始和边界条件 表征和控制物理现象的方程，称为控制 表征和控制物理现象的方程，称为控制 方程或泛定方程。 方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程 的推导过程得出， 的推导过程得出，不同的物理现象具有不同 的物理规律，其控制方程也是不同的。 的物理规律，其控制方程也是不同的。
∂T ∂T = α (T − T0 ), + hT = f ( p, t ) ∂n ∂n S
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 扩散方程的定解问题
混合问题 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程） 初始条件 定解问题 控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 控制偏微分方程 +边界条件 边界条件 初值问题（柯西问题） 初值问题（柯西问题） 定解问题=控制偏微分方程（泛定方程） 初始条件 定解问题 控制偏微分方程（泛定方程）+初始条件 控制偏微分方程 特解 定解条件=初始条件 边界条件 定解条件 初始条件+边界条件 初始条件
x 为原点， 取弦的水平位置为 x 轴， = 0 为原点，
弦作自由（无外力）横振动， 弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程
utt − a u xx = 0
2
第三章 定解条件与定解问题的提法
确定边界条件 ② 确定边界条件 对于弦的固定端， 对于弦的固定端，显然有 u (0, t ) = 0 另一端自由，意味着其张力为零， 另一端自由，意味着其张力为零，则
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.2 定解条件的形式和定解问题
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史， 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史， 反映了具体问题的特殊环境和历史 即个性。 即个性。 初始条件： 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的 条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 条件， 描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件： 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约 束情况的条件， 描述物理过程边界状态的数学条件。 束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。 非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。 非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。 稳态问题：定解条件为边界条件。 稳态问题：定解条件为边界条件。 定解问题=控制方程 定解条件 定解问题 控制方程+定解条件 控制方程
初始状态 初始速度
初始条件
ϕ S = f ( p)
第二边值问题， 第二边值问题，牛曼问题
∂ϕ ∂n = f ( p)
S
第三边值问题（混合问题） 第三边值问题（混合问题）鲁宾问题
∂ϕ + hϕ = f ( p) ∂n S
第三章 定解条件与定解问题的提法
泛定方程
{
波动方程 热传导方程 稳态方程
定解问题 边界条件
{
{
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
☆ 扩散方程的定解条件 初始条件 定解条件： 边界条件
① 初始条件——描述系统的初始状态 初始条件 描述系统的初始状态
T ( x, y , z , 0) = ϕ ( x, y , z )
式中φ( 为已知函数， 式中 x, y, z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。 为已知函数 表示温度在初始时刻的分布。
第三章 定解条件与定解问题的提法
定解条件与 定解问题的提法
第三章 定解条件与定解问题的提法
3.1 定解条件
☆ 方程
u′( x) = 0
能不能求解？解是什么？ 能不能求解？解是什么？ 求解 能不能定解？该怎么办？ 能不能定解？该怎么办？ 定解 ☆ 方程
u′′( x) = 0
能不能求解？解是什么？ 能不能求解？解是什么？ 求解 能不能定解 该怎么办？ 定解？ 能不能定解？该怎么办？ ☆ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 个任意常数， 个任意常数 个条件。 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。 个条件
(0 < x < l , t > 0) (t ≥ 0) (0 ≤ x ≤ l )
第三章 定解条件与定解问题的提法
长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直， 例： 长为 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直， 电梯在下降过程中，当速度为v 时突然停止。 下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为 0 时突然停止。 试写出杆振动的定解问题。 试写出杆振动的定解问题。
第三章 定解条件与定解问题的提法
☆ 拉普拉斯和泊松方程的定解条件
对于稳态问题，变量不随时间发生变化。 对于稳态问题，变量不随时间发生变化。定解条件不 不随时间发生变化 含初始条件，只有边界条件。 含初始条件，只有边界条件。 第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题） 第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）
第三章 定解条件与定解问题的提法
根据分析问题的不同出发点， 根据分析问题的不同出发点，把数学物理问 题分为正向问题 逆向问题。 正向问题和 题分为正向问题和逆向问题。 正向问题， 正向问题，即 为已知源求场
逆向问题， 逆向问题，即 为已知场求源. 为已知场求源.
不同出发点
?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容。 论的主要内容。 后者是高等数 学物理（或称为现代数学物理） 学物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容