人教版九年级数学圆和正多边形专题

圆和正多边形
教学目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。

教学重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系。

教学难点：理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系． 正多边形是轴对称图形，正n 边形有n 条对称轴；•正2n 边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对角线交点。

知识结构及知识点：
1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。

把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

正n 边形每一个内角的度数为：(n-2)*180°/n 正n 边形的一个中心角的度数为：360°/n 正多边形的中心角与外角的大小相等。

3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。

4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）：
(1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。

(2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。

5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d)
（1）圆内接正三角形：d=1
2
r
（2）圆内接正四边形：d=22
r
（3）圆内接正六边形：
6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：
（1）圆内接正三角形：（2）圆内接正四边形：x= 22
r
（3）圆内接正六边形：x=r
7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只
要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各点即可。

（1）用量角器等分圆周。

（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n边形）。

8、定理1：把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边
形。

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。

．
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据
它作正多边形。

定理2：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

经典例题
例1、已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形
的周长和面积。

此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB
垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正
六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。

重点例题：
已知⊙O和⊙O上的一点A(如图24-3-1).
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边
形的一边.
图24-3-1
思路分析：求作⊙O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O 的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于360°÷12＝30°.
(1)作法： ①作直径AC; ②作直径BD ⊥AC;
③依次连结A 、B 、C 、D 四点, 四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形;
④分别以A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G; ⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点. 六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形. (2)证明：连结OE 、DE. ∵∠AOD ＝
4360︒＝90°，∠AOE ＝6
360︒
＝60°， ∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°. ∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边. 考点例题（中考）：
如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
图24-3-3
思路分析：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，设大圆的圆心为O ，则点O 是正△O 1O 2O 3的中心，求出这个正△O 1O 2O 3外接圆的半径，再加上⊙O 1的半径即为所求.
解：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，则正△O 1O 2O 3外接圆的半径为
334 cm ，所以大圆的半径为334+2=3
6
34 (cm). 课堂练习：
1．如图1所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，
则∠ADB 的度数是（ ）．
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．22．5°
(1) (2) (3)
2．圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（ ）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108°
3．若半径为5cm 的一段弧长等于半径为2cm 的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ） A ．18° B ．36° C ．72° D ．144°
二、课后巩固
1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.3
3
思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长
为
3
3. 答案：D
2.已知正多边形的边心距与边长的比为
2
1
，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B. 答案：B
3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm. 思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P 6＝6a n 求出周长. 答案：18
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度. 答案：144.
5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
图24-3-2
思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R 3与R 6的平方比即可.
解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为R 3，正六边形外接圆⊙O 2的半径为R 6，由题意得R 3=
3
3
AB ，R 6=AB ，∴R 3∶R 6＝3∶3.∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面
积＝1∶3.
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数. 思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求. 解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为n n ︒•-180)2(，外角为n
︒
360，依
题意得
n n ︒•-180)2(-n
︒
360＝100°.解得n ＝9.
（三）、附加题训练
例5、在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC 的边AB 上的高h ．
（2）设DN=x ，且h DN NF
h AB
-=
，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
h
F D
E
C B
A
N
G
分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．。