两平面的平行的判定和性质

典型例题一

例1：已知正方体

1111-D C B A ABCD ．

求证：平面//11D AB 平面BD C 1．

证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，

∴B C A D 11//，

又 ⊂B C 1平面BD C 1，

故 //1A D 平面BD C 1．

同理 //11B D 平面BD C 1．

又 1111D B D A D = ，

∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．

说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．

典型例题二

例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．

求证：α⊂a ．

证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγ ，

b =γβ ．

∵βα//

∴b a //1

又β//a

∴b a //

在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行

∴a 与1a 重合，即α⊂a ．

说明：本题也可以用反证法进行证明．

典型例题三

例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图，βα//，A l =α ．

求证：l 与β相交．

证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ．

∴γ与α、β都相交．

设a =αγ ，b =γβ ．

∵βα//

∴b a //

又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ．

∵l 与b 相交．

所以l 与β相交．

典型例题四

例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．

求证： α//EF ，β//EF ．

证明：连接AF 并延长交β于G ．

∵F CD AG =

∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC =αγ ，DG =βγ ．

∵βα//，所以 DG AC //，

∴ GDF ACF ∠=∠，

又 DFG AFC ∠=∠，DF CF =，

∴ △ACF ≌△DFG ．

∴ FG AF =．

又 BE AE =，

∴ BG EF //，β⊂BG ．

故 β//EF ．

同理α//EF

说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．

典型例题六

例6 如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为1A 、1B 、1C 、1D ，且1A 、1B 、1C 、1D 互不重合，也无三点共线．

求证：四边形1111D C B A 是平行四边形．

证明：∵α⊥1AA ， α⊥1DD

∴11//DD AA

不妨设1AA 和1DD 确定平面β．

同理1BB 和1CC 确定平面γ．

又11//BB AA ，且γ⊂1BB

∴γ//1AA

同理γ//AD

又A AD AA = 1

∴γβ//

又11D A =βα ，11C B =γα

∴1111//C B D A ．

同理1111//D C B A ．

∴四边形1111D C B A 是平行四边形．

典型例题七

例7 设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．

A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//m

B ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //

C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //

D ．α//l ，β//m ，且m l // 分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．

答案：C

说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致． 本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．

典型例题八

例8 设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．

分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．

证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ． ∵平面α⊥平面γ，

∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ，

∴MN PQ //．

又∵p a //，Q a PQ = ，N b MN = ，

∴平面α//平面β．

说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，

就可推出MN PQ //． 由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．

典型例题九

例9 如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，

(1)求证：β//MN ；

(2)求MN 的长．