离散系统频域分析及matlab实现(修订版)

离散系统的频域分析及matlab 实现
摘 要：系统的频域分析主要包括求表征系统频率特性的频率响应特征量和在频域求解系统输出两方面内容，本文主要分析离散系统的频域特性，应用实例结合理论，通过matlab 做出了系统输出的幅频特性和相频特性曲线。

1.系统函数
对于离散系统可以利用差分方程，单位脉冲响应，以及系统函数对系统进行描述。

在本文中利用系统函数H(z)进行描述。

若已知一个差分方程为
∑∑==---=
M
i N
i i
i
i n y a
i n x b n 0
1
)()()(y ，则可以利用双边取Z 变换，最终可以得到系统
函数的一般式H(z)，∑
∑=-=-=
=
N
i i
i M
i i
i
z
a z b
z X z z H 0
0)
()(Y )(。

若已知系统的单位脉冲响应，
则直接将其进行Z 变换就可以得到系统函数H(z)。

系统函数表征系统的复频域
特性。

2.系统的频率响应：
利用Z 变化分析系统的频率响应：设系统的初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列）（n δ的响应输出称为系统的单位脉冲响应h （n ）。

对h(n)进行傅里叶变换，得到：
∑∞
∞
∞-==
-)
(jw n
j |)(|)(e H w j n
n
j e
e
H e
n h ϕω）（
其中|)(|jwn e H 称为系统的幅频特性函数，)(ωϕ称为系统的相位特性函数。

)
(jw
e
H 表示的是系统对特征序列jwn e 的响应特性。

对于一个系统输入信号为
n
)(ωj e
n x =,则系统的输出信号为jwn e )(jw e H 。

由上可以知道单频复指数信号jwn
e 通过频率响应函数为)(jw e H 后，输出仍为单频复指数信号，其幅度放大了
|)(|jw
e
H ，相移为)(ωϕ。

对于系统函数H(z)与H(w)之间，若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，则有jw e z jw
z H e H ==|)()(，在MATLAB 中可以利用freqz 函数计算系统的频率响应。

（1）[h,w]=freqz(b,a,n)
可得到n 点频率响应，这n 个点均匀地分布在上半单位圆（即 ），并将这n 点频率记录在w 中，相应的频率响应记录在h 中。

n 最好能取2的幂次方，如果
缺省，则n=512。

（2）[h,w]=freqz(b,a,n,'whole')
在 之间均匀选取n 个点计算频率响应。

（3）[h,w]=freqz(b,a,n,Fs)
Fs 为采样频率（以Hz 为单位），在0~Fs/2频率范围内选取n 个频率点，计算相应的频率响应。

（4）[h,w]=freqz(b,a,n,'whole',Fs)
在0~Fs 之间均匀选取n 个点计算频率响应。

（5）freqz(b,a)
可以直接得到系统的幅频和相频特性曲线。

其中幅频特性以分贝的形式给出，频率特性曲线的横轴采用的是归一化频率，即Fs/2=1。

3.系统的因果性和稳定性 3.1因果性
因果系统其单位脉冲响应序列h(n)一定是一个因果序列，其z 域的条件是其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞，即∞点不是极点，极点 分布在某个圆内，收敛域在
某个圆外。

3.2稳定性
系统稳定就要求∞<∑∞
∞
-|h(n)|，由序列的)
(jw
e
H 存在条件和jw e z jw
z H e H ==|)()(可
以知道系统稳定的z 域条件就是H(z)的收敛域包含单位圆，即极点全部分布在单位圆内部。

由上3.1和3.2可知，利用系统的零极点分布图可以判断系统的因果性和稳定性。

若在零极点分布图中，若系统的极点都分布在单位圆内，则此系统是因果系统，若有极点分布在单位圆 外，则此系统是非因果系统。

在MATLAB 中可以利用zplane 函数画出系统的零极点分布图。

系统函数的零极点图的绘制：zplane(b,a)。

其中b 为系统函数的分子，a 为系统函数的分母。

4.系统的单位脉冲响应
设系统的初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列）（n δ的响应输出称为系统的单位脉冲响应h （n ）。

对于离散系统可以利用差分方程，单位脉冲响应，以及系统函数对系统进行描述。

单位脉冲响应是系统的一种描述方法，若已知了系统的系统函数，可以利用系统得出系统的单位脉冲响应。

在MATLAB 中利用impz 由函数函数求出单位脉冲响应h(n)。

稳定系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的取值，计算系统的频率响应，可将系统函数中的Z 变量用ωj e 代入即可得到。

频率响应是一个复函数，其模叫幅度响应，其相角叫相位响应，它反映了输入序列的频谱经系统后所发生的变化规律。

从幅频曲线上可直观看到各频率分量的幅度变化情况，从相频曲线上可直观看到各频率分量的相移情况。

根据频响曲线分析系统对信号频谱的影响，概念清楚、简单直观，对信号综合也意义重大，但要将一个较复杂的频率响应复函
数转化成幅度响应和相位响应并图示，计算量大且容易出错，图示结果也不一定精确。

利用MATLAB 函数这些问题都迎刃而解。

幅频特性，它指的是当w 从0到∞变化时，|)(|jw H 的变化特性，记为A （w ），
相频特性，指的是当w 从0到∞变化时，）（ωj H ∠的变化特性称为相频特性，记为）（ωϕ。

离散系统的幅频特性曲线和相频特性曲线直观的反应了系统对不同频率的输入序列的处理情况。

5.MATLAB 的实现
下面已知一个系统的系统函数为
3
2
1
1
125.055.01.1106.03.0)(-----+-+=
z
z
z
z
z H
1.系统的频率响应
clc ;close all;clear all; a=[1 -0.3];
b=[1 -1.6 0.9425];
[H,w]=freqz(a,b,'whole'); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(H)); title('幅度谱');
xlabel('\omega/\pi');
ylabel('|H(e^j^\omega)|'); grid on;
subplot(2,1,2);
plot(w/pi,angle(H)); title('相位谱');
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('phi(\omega)'); grid on;
图1
由图1可以知道此系统为带通；
2
clc ;close all;clear all;
a=[1 -0.3];
b=[1 -1.6 0.9425];
zplane(a,b);
title('零极点分布图');
图2
由图2可以知道系统的所有极点都位于单位圆内，所以此系统为稳定系统；
3.
clc ;close all;clear all;
a=[1 -0.3];
b=[1 -1.6 0.9425];
impz(a,b,30);
title('系统单位脉冲响应');
axis([-3 30 -2 2])
图3
由图3可以知道此系统的单位脉冲响应序列为一个因果序列，所以此系统为因果系统；
6 .结束语
用MATLAB辅助分析离散系统，程序简单易懂，计算准确，绘图方便，只要掌握了系统分析的概念原理和方法，繁杂的分析计算及图形显示均可用MATLAB 实现。

利用MATLAB的计算功能，不仅使大量的手工计算得以简化，也使得系统分析更为简便和高效；利用MATLAB的绘图功能，有利于分析结果的直观理解，也有利于深入掌握所学的内容，更能培养学习的兴趣。