三角形全等中的动点问题难点专题探究

三角形全等中的动点问题难点专题探究

——以“静”制“动”，不离其宗

◆类型一动点变化

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．

2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C 点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．

3．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC 上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】

(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为_______；

②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．

(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

◆类型二图形变换

4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.

(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；

(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.

(1)求证：△BCD≌△FCE；

(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．

参考答案与解析

1．3或6 解析：∵△ABC 和△APQ 全等，AB ＝PQ ，∴有△ABC ≌△QP A 或△ABC ≌△PQA .当△ABC ≌△QP A 时，则有AP ＝BC ＝3；当△ABC ≌△PQA 时，则有AP ＝AC ＝6，∴当AP ＝3或6时，△ABC 和△APQ 全等，故答案为3或6.

2．2或3 解析：当BD ＝PC 时，△BPD 与△CQP 全等．∵点D 为AB 的中点，∴BD ＝1

2AB ＝6cm ，∴PC ＝6cm ，∴BP ＝8－6＝2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.

3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF (2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下： ∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪

⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，

AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝

∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .

4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，

⎩

⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，

∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .

(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．

5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪

⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，

∴△BCD ≌△FCE (SAS)．

(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.