《正弦定理》示范公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】

《正弦定理》教学设计
【知识与能力目标】
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

【过程与方法目标】
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作
【情感态度价值观目标】
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积
等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

【教学重点】
正弦定理的探索和证明及其基本应用。

【教学难点】
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

问题提出
三角形的边与角之间有什么关系?
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系大角对大边
在直角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，C=900 ,则有:
◆教学目标
◆教学重难点
◆教学过程
180
=
+
+C
B
A
c
b
a
c
b
a<
-
>
+,
那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？
分析理解：如图,以A 为原点,以射线AB 的方向为x 轴正方向建立直角坐标系,C 点在y 轴上的射影为C ’
正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等,
即：
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角。

例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角已破损.现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, B=45O, C=120O.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm)?
C c B b A a sin sin sin ==
分析：如图,将BD,CE 分别延长相交于一点A.在△ABC 中已知BC 的长及角B 与C,可以通过正弦定理求AB,AC 的长.
解 将BD,CE 分别延长相交于一点A.在△ABC 中,
BC=2.57cm, B=45O, C=120O
A=180O-(B+C)=15O
利用计算器算得：
同理：
答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm.
例２：台风中心位于某市正东方向300km 处,正以40km/h 的速度向西北方向移动,距离台风中心250km 范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1h)?
分析：如图,设该市在点A,台风中心从点B 向西北方向移动,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A 的距离不大于250km 时,该市受台风影响.
解 设台风中心从点B 向西北方向沿射线BD 移动,该市位于点B 正西方向300km 处的点A.
B C
D
E
A
A B
2N
假设经过t h,台风中心到达点C,则在△ABC 中AB=300km,AC=250km,BC=40t km,B=45O,由正弦定理.
知：
sin 300sin 45sin 0.8485250AB B C AC ︒===≈
解得：
1258.05,121.95C C ≈︒≈︒
当： 158.05,C ≈︒时
同理,当：
答：约2时后将要遭受台风影响,持续约6.6时.
已知两边一对角，三角形解的个数
正弦定理的推论：
证明：如图，圆⊙O 为△ABC 的外接圆，BD 为直径, 则 ∠A=∠D,
A B D
C .O b a
c
小结：
（１）正弦定理的内容．（２）正弦定理的证明（３）正弦定理的应用
◆教学反思
略。