复变函数3.4 单调性、凹凸性

x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3

(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上向上凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 向上凸 , 3 27
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
3.4 单调、凹凸·第3章 1
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减) . 任取
( f ( x) 0) , 则
证: 无妨设
由拉格朗日中值定理得
0
故 这说明 在 I 内单调递增. 证毕
3.4 单调、凹凸·第3章 2
例 讨论函数 y e x x 1 的单调性 .
解
y e x 1. 又定义域 D : (, ).
在( ,0)内, y 0, 函数单调减少；
. 在(0,)内, y 0, 函数单调增加
例 讨论函数 y ln x 的单调性.
当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
y
y 3 x2
o
x
3.4 单调、凹凸·第3章 4
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的 分界点． 称驻点 方法: 用驻点及不可导点来划分函 数 f ( x )的定义区间, 然后判断区间
y
内导数的符号.
注意: 区间内个别点导数为零,不影响区 间的单调性.
从而三个拐点为
1 3 1 3 (1 , 1) , (2 3 , ) , (2 3 , ) 84 3 84 3 因为
1 3 8 4 3
1
2 3 1
所以三个拐点共线.

1 3 8 4 3
1
2 3 1
3.4 单调、凹凸·第3章 21
2 2 证明: 令F ( x) sin x x , 则 F (0) 0, F ( ) 0 2 2 F ( x) cos x
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
3.4 单调、凹凸·第3章 18
2. 曲线 y 1 e
x2
1 , ( 的凹区间是 2 1 , ) 2
1 ) 2
;
) 及 ( 凸区间是 ( , 1 2
拐点为 (
3.4 单调、凹凸·第3章 12
例9. 求曲线 解: 1) 求 y y 6 x 2 6 x 12,
的拐点.
1 12( x ) 2 2) 求拐点可疑点坐标 41 1 令 y 0 得 x1 , 对应 y1 2 2 1 1 x , 得 3) 当 1 y 0 ;当 x1 , 得 y 0 2 2 1 41 因此，点 ( , ) 是曲线的拐点。 2 2
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增
在 I 上单调递减
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
3.4 单调、凹凸·第3章 17
思考与练习
3.4 单调、凹凸·第3章 15
例12. 求曲线
的拐点.
3
x 解: y 1 3
x
2
2x , y 9
5
3
( , 0) 0 不存在 y y 凹 0
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
(0 , )

凸
的拐点 .
3.4 单调、凹凸·第3章 16
内容小结
1. 可导函数单调性判别
(2 2 x) ( x 2 1) 2 (1 2 x x 2 ) 2( x 2 1) 2 x y ( x 2 1) 4 2( x 3 3x 2 3x 1) ( x 2 1) 3 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) ( x 2 1) 3
综上所述， 当 x 0 时， 总有 e x 1 x .
3.4 单调、凹凸·第3章 8
例
证明
时, 成立不等式
sin x 2 证: 令 f ( x ) , x
且
证 x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 2 x x
当 x 0 时， f ( x ) 0 , f ( x ) 在 [0, ) 上单调增加；
f ( x ) f (0) 0 ,
即e 1 x ;
x
当 x 0 时， f ( x ) 0 , f ( x ) 在 (,0] 上单调减少；
f ( x ) f (0) 0 , 即 e x 1 x .
x1 x2 f ( x1) f ( x2 ) 2 f ( ) 2
两式相加
(
1 2!
x2 x1 2 [f 2
)
(1 ) f ( 2 )]
当 f ( x) 0时,
f ( x1 ) f ( x2 ) 2

x1 x2 f( ), 2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
3.4 单调、凹凸·第3章 7
例 证明不等式
e x 1 x,
(x 0).
证 令 f ( x ) e x (1 x ) , 则 f ( x) e x 1 ,
x
tan x 1
因此
从而
3.4 单调、凹凸·第3章 9
二、曲线的凹凸性与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
B
则称
则称
A 图形是凸的 .
连续曲线上有切线的凹凸分界点
y y y
称为拐点 .
o o o
xx xx x x x x 11 11 22 x 22 x x 2 2
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
3.4 单调、凹凸·第3章 11
定理2.(凹凸判定法) 设函数 (1) 在 I 内 (2) 在 I 内 证: 则
在区间I 上有二阶导数 在 I 内图形是凹的 ;
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得

f ( x1 )
f ( x2 )
f (1 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 f( ) f ( ) ) ( x1 ) 2 ! ( x1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 f ( 2 ) x1 x2 x1 x2 2 )( x2 f( ) f ( ) ) 2 ! ( x2 2 2 2 2
2 . 证明: 当 0 x

时， 有 sin x
2
x.
F ( x)
F ( x) 是凸函数
0
F ( x) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
3.4 单调、凹凸·第3章 22

1 2 , 1 e 2
1
;
) .
提示: y 2 e
x2
(1 2 x 2 )
3.4 单调、凹凸·第3章 19
备用题
x 1 1.求证曲线 y 2 有位于一直线的三个拐点. x 1 1 2x x2 ( x 2 1) ( x 1)2 x 证明：y 2 2 ( x 1) ( x 2 1) 2
3.4 单调、凹凸·第3章 14
例11 判断曲线
3 解: y 4 x ,
的凹凸性.
y
故曲线
说明:
在
上是向上凹的.
o
x
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线 的一个拐点.
或不存在,
但 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
3.4 单调、凹凸·第3章 20
x 1 1.求证曲线 y 2 有位于一直线的三个拐点. x 1 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) y 2 3 ( x 1) 令 y 0 得 x1 1 , x2 2 3 , x3 2 3
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)


2 0 1
( 2 , )
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1ห้องสมุดไป่ตู้ , (2 , ); 1
的单调减区间为(1 , 2).
o
1 2
x
3.4 单调、凹凸·第3章 6
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
3 y x , y 3 x 2 0 , y(0) 0, 例如, 但在(, )上严格单调增加.
o
x
3.4 单调、凹凸·第3章 5
例4. 确定函数
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
2 解: f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
3.4 单调、凹凸·第3章 13
例10. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
3 2 y 12 x 12 x ,
36 x( x 2 ) 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
2) 求拐点可疑点坐标 3) 列表判别
11 , y 1 , y 对应 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 1 2 27 3
解
y
1 y 0 , x
o
(1,0)
x
所以 y ln x 在定义域内(严格)单调增加 .
3.4 单调、凹凸·第3章 3
例 解
确定函数 f ( x ) x 的单调性.
3 2
D : (,) .
f ( x )
2 3 x
3
, ( x 0)
当 x 0时， f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少；