湍流

~ v cw1 f w d
2
cb 2 0.622, k 0.41, 2 / 3
1 c6 f w 6 w3 g 6 g cw3
~ v g r cw2 (r r ), r ~ 2 2 Sk d
6
0 P T D
湍流粘性系数越大，耗散越大 离壁面越近，耗散越大
●
●
随机性: 三维, 非定常 有序性: 有旋流动
■ ■
■
湍流是随机性和有序性的结合体 湍流是典型的时空多尺度现象, 高雷诺数下, 具有很宽的时间和空间尺度 可以用N-S方程描述, 但该方程数学上求解 困难(仅存在少数解析解)
1 - 湍流概述
Turbulence in a mixing layer Ret=2Reb
湍流模型-RANS, LES及其他
1 - 湍流概述
■
流体的流态: 层流和湍流
●
●
层流, 湍流, 转捩, 层流化(逆转捩), … 判据: 雷诺数Re=UL/ν
自然界: 小尺度->大尺度 工程领域: 几乎所有涉及流动的工业装备
■
湍流现象在自然界及工程领域广泛存在
● ●
1 - 湍流概述
■
世纪难题——迄今都缺少一个准确的定义
4 - RANS方法
■
雷诺平均(分解)的提出
●
●
●
大多数情况下, 准确描述湍流的时空运动是不现 实的 大多数情况下, 人们也只关心流动的平均效果 湍流的随机性
■
■
对湍流信号可以有 性质
0

4 - RANS方法
■
雷诺应力和封闭问题
ui 0 xi ui ui u j 2 ui 1 p t x j xi x j x j
粘性耗散
1.3, c 1 1.41 ~ 1.45, c 2 1.9 ~ 1.92
近壁区仍需衰减处理—— “低Reynolds数k-模型”
固壁边界条件：
k 0, 0
与物理情况不符，近壁需要特殊处理
4 - RANS方法
■
两方程模型: k-ω模型
用w 方程代替湍流耗散率 方程
4 - RANS方法
■
两方程模型: k-ε模型
t c
k2

u k k uj u 'i u ' j i t x j x j x j
xj
t / k k x j

ui ui x j x j
1 1 u 'i u 'i u ' j p ' u ' j 2

2） k方程模型
ij S ij
湍流扩散—— 以湍流粘性系 数进行的扩散
t / k k x j
u 'i u 'i x j x j
(u)RANS - (unsteady) Reynolds-averaged NavierStokes DNS - direct numerical simulation LES - large-eddy simulation hybrid RANS/LES, also DES (detached-eddy simulation)
ui 0 xi ui ui u j 2 ui 1 p ( t ) t x j xi x j x j
4 - RANS方法
■
Boussinesq涡粘模型-零方程模型
术语“N方程模型”指计算湍流粘性系数时，使用了N个偏微分方程 零方程模型直接写出 t 的表达式，简便 Plantdl混合长模型
3 - DNS方法
■
Hoyas and Jimé nez(2006)对Reτ=2003的槽道湍流进行DNS， 网格数6144×633×4608~1.792×1010，采用2048个处理器， 计算进行了120多天，生成25T数据
3 - DNS方法
■
Wu and Moin (2009), 零压力梯度平板边界层的DNS, 最大 的Re_theta=940, 网格4096×400×128=2×108
得到
u i
方程后，对
求导，乘以 生成
2
ui x j
并平均，得到
的方程 扩散
耗散
u D uj 2v i Dt t x j x j
2 2 2 u ' u ' u ' u ' j u l i l u ' u 'i ui ui ui j 2 ui l xi x j xl xl x j xl x j x j xl xl xl xl xl
2 p ul ul x j x j xl
主项： 小涡拉伸
ui D 2 c 1 uiul c 2 ( t / ) Dt k xl k xl xl
对方程进行平均,代入
ui ui u, p p p
ui 0 xi ui ui u j 1 p 2ui t x j xi x j x j
4 - RANS方法
■
雷诺应力和封闭问题
ui 0 xi ui ui u j 1 p 2ui ( uiuj ) t x j xi x j x j x j
对流 生成 耗散 扩散
四 大 机 制
对流 扩散 生成 耗散
~ v 满足上述方程
假设： 1） 生成项与当地涡量成正比
剪切越强，湍流越强： 符合直观
~~ P cb1S v
~ ~ v S S 2 2 fv2 k d
S 2 ij ij
关键的参数
cb1 0.1355
ij (ui / u j u j / ui ) / 2
1 - 湍流概述
能量级串(energy cascade)示意图
1 - 湍流概述
能谱和耗散谱
谱能传输率
1 - 湍流概述
■
瞬态和平均流场
瞬态/时均横向射流的流场显示
1 - 湍流概述
■
瞬态和平均流场
带肋条的槽道流动: 瞬 态/时均流场对比
2 - 湍流模型
■ ■
湍流问题的研究方法
●
理论, 实验, 数值模拟
●
基于雷诺应力的输运方程
• Reynolds应力模型
4 - RANS方法
■
湍流模型分类
ui 0 xi ui ui u j 2 ui 1 p (uiu j ) t x j xi x j x j x j
ui u j 2 u 'i u ' j t ij k x j xi 3
1 k u'i u'i 2
1） 湍动能方程 （不可压缩）
生成 耗散 粘性扩散 湍流扩散
推导方法 获得扰动量 u 的方程， 两端乘以 u 并平均即可
i i
u k k k uj u 'i u ' j i t x j x j x j x j x j
4 - RANS方法
近壁修正—— 保证近壁处湍流粘性系数快速衰减到0
~ vt v f v1
f v1
最终的湍流粘性系数
cv1 7.1
3 3 cv31
,
~ v / v,
衰减函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
fv1
衰减函数
10 20 30 40
f v1 的图像
^ v/v
模拟方法
● ● ● ●
2 - 湍流模型
■
各种方法的计算量(典型高Re问题)
RANS uRANS
hybrid RANS/LES
DNS LES
lg
3 - DNS方法
■
N-S方程本身封闭, 直接求解不需要引入任 何的经验模型
● ● ●
求解所有尺度导致巨大的计算量 单个方向的网格数目 ~ l /η ~ Re3/4, 对于三维问 题, 总的网格点数 ~ Re9/4 整个计算花销 ~ Re3
u k k uj u 'i u ' j i t x j x j x j
j x j
扩散型
ui u j u 'i u ' j t x j xi
2 ij k 3
t c
k
2
x
k 1

j dV Φ nds
j


c 0.09 ~ 0.11

k 3/ 2 l
内部不会产生， 也不会消失
对于一方程模型（k-模型）
由量纲分析得出
Leabharlann Baidu 4 - RANS方法
■
一方程模型: S-A模型
构造原则： 经验 + 量纲分析 湍流场中标量方 程的一般形式： 假定湍流粘性系数
D uj P Dt t x j x j x j
生成项最为关键，对湍流粘性系数的 影响最大。 更简单的模型（零方程）， 仅保留了生成项
4 - RANS方法
Turbulent kinetic energy budget
2） 耗散项与到壁面的距离有关，越远耗散越小
cw1 cb1 / k (1 cb 2 ) /
2
0.001
x=-30.0 mm
-0.001 0 1 yn/mm
直观

2
3） 扩散项简单模化—— 以 层流+湍流粘性系数 为扩散系数
1 D xk ~ ~ v xk
~ 最终涡粘系数的 v 的控制方程为
~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 1 ~~ v v v ~ ) cb 2 uj cb1 S v cw1 f w ( t x j d xk x j xk xk
4 - RANS方法
■
湍流模型分类
●
基于Boussinesq涡粘假设的模型(涡粘模型)
ui u j 2 u 'i u ' j t ij k x j xi 3
根据如何计算湍流粘性系数 t
• 0方程模型(代数模型): Baldwin-Lomax (B-L) • 1方程模型: Splart-Allmaras (S-A) • 2方程模型: k-ε, k-ω
■
■
优点: 最准确的数值方法, 其结果可用于机 理研究, 或用来校验/发展新的RANS, LES模 型 缺点: 巨大的计算量, 海量数据的处理等
3 - DNS方法
■
■
Pope(2000)对均匀各向同性湍流DNS所需计算时 间的估计(1 GFlops)：TG ~ (ReL/800)3 ~ (Rλ/70)6 days 目前最大(?)规模为40963，NEC – earth simulator
上述方程即为雷诺平均的N-S方程组
ui u j (ui u 'i )(u j u ' j ) ui u j u 'i u ' j ui u ' j u j u 'i ui u j u 'i u ' j
R u ' i u ' j
称为Reynolds应力项
4 - RANS方法
u u xy l y y
2
粘性底层 重叠区 外层
l y2 l ky l 0.09
对数律 亏 损 律
l ky[1 exp( y / A )]
BL模型是 Plantdl混合长模型的推广
壁面律
过 渡 区
ky
4 - RANS方法
■
一方程模型: k-方程模型
■
雷诺应力和封闭问题
●
●
●
由于雷诺应力项的存在, 未知数个数>方程个数, 方程无法求解, 这就导致了所谓的封闭问题 (close problem) 1940年, 周培源首次建立了一般湍流的雷诺应力 所满足的输运微分方程组, 其中出现了三元速度 关联等新未知量, 三元又出现四元… 要求解雷诺平均的N-S方程组, 必须对雷诺应力 项进行模化, 即用已知量表示雷诺应力项, 这就 需要引入湍流模型