求函数零点的几种方法
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函数零点
一、知识点回顾
1、函数零点的定义:对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 注意:(1)零点不是点;
(2)方程根与函数零点的关系:方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点.
2、零点存在性定理:如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(<⋅b f a f , 那么, 函数)(x f y =在区间(a, b)内至少有一个零点.
3、一个重要结论:若函数)(x f y =在其定义域内的某个区间上是单调的,则)(x f 在这个区间上至多有一个零点。
4、等价关系:函数)()()(x g x f x F -=有零点⇔方程0)()()(=-=x g x f x F 有实根⇔方程组⎩⎨⎧==)
()(21x g y x f y 有实数根⇔函数)(1x f y =与)(2x g y =的图像有交点。 二、求函数)(x f y =零点的方法
1、解方程0)(=x f 的根;
2、利用零点存在性定理和函数单调性:
3、转化成两个函数图像的交点问题。
三、典例分析
例1二次函数c bx ax y ++=2的部分对应值如下表:
则不等式02>++c bx ax 的解集是
例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点,且一个在(-2,0)内,另一个在(1,3)内,求a 的取值范围.
变式
v1.0 可编辑可修改
1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ,满足1(20)x ∈-,,2(13)x ∈,,求实数a 的取值范围.
2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<,若()αβαβ<,是方程()0f x =的两个根,则实数a b αβ,,,之间的大小关系是( )
A .a b αβ<<<
B .a b αβ<<<
C .a b αβ<<<
D .a b αβ<<<
3.函数012)(≠++=a a ax x f ,,若在11≤≤-x 上,)(x f 存在一个零点,则实数a 的取值范围是
例3 函数2
6
x y =和2log y x =的图象的交点有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个
变式:
1、 若方程8x x b =+有两个不相等的实数根,求b 的取值范围.
2、 已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩≤0.
若函数()()g x f x m =-有3个零点,则实数m m 的取值范围是 .
练习
1.已知函数)(x f 为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于________.
2.函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-.若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解,求a 的取值范围;
3.方程lgx+x=3的解所在区间为( )
A .(0,1)
B .(1,2)
C .(2,3)
D .(3,+∞)
4.x
x x f 1lg )(-=零点所在区间是( ). A. ]1,0( B. ]10,1( C. ]100,10( D. ),100(+∞
5.若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间
(A )(,)a b 和(,)b c 内 (B )(,)a -∞和(,)a b 内 (C )(,)b c 和(,)c +∞内 (D )(,)a -∞和(,)c +∞内