空间角的复习PPT教学课件

C
H
B
解：如图,由已知可得平面ABC平面,作DHBC于H，则DH平面
ABC，作DFAB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知DFH
为所求二面角的平面角。
又知BAD=45º, ABC=30 º，可解得
DF a, HF 3 a, DH 6 a,
3
3
于是在DFH中，由余弦定理，得 cos DFH 3
3 能灵活运用上述知识解决相关问题，提高空间想象能力 和逻辑推理能力
二 知识运用与解题研究： 例 1 已知 ABCD是梯形，∠ABC=∠BAD=900 ，
SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1／
2 解：∵求SSAC⊥与平平面面AABBCCDD所成角 S
∴SA⊥AC ∵AB=BC=1 ∠ABC=900
C
B’ C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
A’ A’ A’
1Sh
3
A’
A’
高
3
C’
2
2B’
B’
2
B’ B’
22
B’
2
B’
2
B’
2
2
B’
B’
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’B’BC的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’ B’
2
C’
3
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V三棱锥
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
定理证明：
V三棱锥＝
1 3
Sh
已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证证明::把V三三棱棱锥＝锥113S以h△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
CH⊥AB垂足为H
(1) 求证 CH⊥平面PAB
(２) 求二面角A-PB-C的大小
D
C
A
3 P 50 7
H
4：如图所示，四边形ABCD是边长为6的正方形，
SA 平面ABCD，SA 8，M是SA的中点，
过M和BC的平面交SD于N。
（1）求二面角M - BC - D大小的正切值； （2）求CN与平面ABCD所成角的正切值；
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。
小结： 4、定理及推论
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 1 V三棱锥＝ 3 Sh
一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的
几分之几？
A
问问题题棱12、、长你如为解能果a法的有改？正几为四种求面
体A-BCD的体积。
B
你能有几种解法？
解三一二、将补利四形用面，体体将积分三公割棱式为 D 锥锥三VD补棱四-A面成锥B体一CE＝-个A13B正SE△方和BC体三D·。棱h
E C
小结：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
1
V锥体＝ 3 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形 象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。
2、三棱锥体积的证明分两步进行： ⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等： （一个锥体的体积计算可以间接求得） ⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一： （它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）
B’
高
1 11 1
A
AA A
C
C CC C
CC
C
三棱B锥1、B2的B 底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
C’
3
1
A
B’
2
C
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C 的面积相等。
设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2， 那么
∵ S1
h2 1
，S
2
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
＋
S1h1
h S
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
＝
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。 把这两个锥体 放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平 面内，用平行于平面α的任一平面去截它们， 截面分别与底面相似，
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
B θ
E
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
D
＝13
1
×2
BC
· ED
· AD
＝
1 3
×1
2
BC
· AEcosθ· AD
C
＝
1 3
S△AB C
· ADcosθ
一 复习回顾
1 平面的斜线和平面所成的角
O
2 直线和平面所成角的范围是[0，90]。
3 求法
(1)直接法—构作三角形
(2)公式法
A
B
(3)向量法
C
4 斜非角的余弦等于线面角的余弦与射非角 余弦的积：cos =cos cos
5 最小角原理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
C B
∴AC=√2
又SA=1 ∴SC=√3
A
D
∴sin∠ACS=
SA SC
=√3／3
∴SC与平面ABCD所成角为arcsin√3／3
例2 已知直二面角 -l-，A,B线
段AB=2a，AB与成45º的角，与成30º A
角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、
F
D
BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
A’
１
A
3 2 B’
B
棱锥1和另两个三棱锥2、3。 C’ 三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
高也相等（顶点都是 的面积相等，高也相等
C（顶∵点V三都棱柱是＝A1）13
∵V1＝V2＝V3＝ Sh。
3
所以
DFH arccos 3
3
即面ABD与面ABC所成的二面角为 arccos
3 3
例2：已知直二面角 -l-,A,B,线段AB=2a，AB与
成45º的角，与成30º角，过A、B两点分别作棱l的垂线 AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小。
解法二（射影法）：由于D在平面ABC A
内的射影H在BC边上 ABH为
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’ A’ A’ A’ A’ AA’’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
B B B B B BB
l
C
D
ABD在平面ABC上的射影设所求
H
B
的二面角为, 则有
cos = SABH /SABD，
由解法一，易求得
SABH
23 3
a2,
代入上式，得
cos
3 3
SABD
1 2
a2
三 练习反馈
1 PA、PB、PC是P从点引出的三条射线，每两条的夹角都是600，求 直线PC与平面PAB所成角
C
B
P
2 如图PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=√2 P
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义？
A
结论：
V三棱锥＝
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ
（3）求CN与BD所成角的余弦值；
（4）求平面SBC与SDC所成角大小的正弦值。
S
M
N
Q
A
E
D
F
B
C
课堂总结
1 熟练掌握线面角定义、公式、求法 2熟练掌握二面角的平面角的定义、作法及其求法
棱锥、圆锥的体积
复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
3、柱体体积公式的推导：
B
D
M
H C
它在过其底边BC的平面M上的射影
DBC以及两者所成的二面角之间的
关系：
cos SDBC
S ABC
用这个关系式可求锐二面角的平面角
异面直线公式法
d2+m2+n2-l2 cosθ=
2mn
(0＜θ≤π) (1) 平移 (2) 求EF
E
m
A
P
d
A1
l
n
F
学习目标
1 熟练掌握线面角定义、公式、求法及最小角原理 2熟练掌握二面角的平面角的定义、作法及其求法
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
B’ B’ B’ B’ B’ B’
A A A A AA
C C C C CC C C C C C
B B B B BB
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
作(求)二面角的平面角的常用方法 （1）、点P在二面角内 —定义法 （2）、点P在棱上 —垂线法 （3）、点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法
l
P
A
P
B
A
B
l
B
P
O
l
A
（4）公式法
A
射影公式法：如图所示， AD平面M，
设AHD= 是二面角A-BC-D的平面 角，由 cos =AD/AH可得，ABC与
求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
1 13
问题2、解答过程中的
A
3
×
2
BC ·AEcosθ·AD其中 1 AEcosθ·AD可表示意思？
2
分析：
∵AEcosθ＝ED
1
B
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD
θ
又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE
E
分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
C
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
练习1：
将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）
D’
C’
问问题题12、、你如能果有这几是种一
个解平法行？六面
A’
B’
体呢？或者
四棱柱呢？
C
D
A
B
练习2:
从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到
柱体体积公式的推导：
等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所截 截面面积始终相等
体 积 相 等
∵V长方体＝abc
∴V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
α
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h
1 3
V三棱锥。
∴V三棱锥＝
1 3
Sh。
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
V锥体＝
1 3
Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’
A’
C’
3
B’
2
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
的面积相等。
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’
A’ A’ A’ A’
A’ A’