北京高一数学下学期期末考试试题

北京师范大学附属中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试

题

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 若实数a ，b 满足a>b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 2

2

b a <

B.

b

a 11< C. 2

2b a >

D. 3

3b a >

2. 对变量y ,x 有观测数据理据,,i )(y ,x (i i 21=…，10），得散点图1：对变量v ,u 有观测数据,2,1)(,(=i v u i i …，10），得散点图2，由这两个散点图可以判断（ ）

A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关

B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

3. 从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）。设甲乙两组数据的平均数分别为乙甲x x ,，中位数分别为甲m ，乙m ，则（ ）

A. 乙甲乙甲m m x x ><,

B. 乙甲乙甲m m x x <<,

C. 乙甲乙甲m m x x >>,

D. 乙甲乙甲m m x x <>,

4. 执行下面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

5. 公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为（ ）

A.

3

1

B. 3

1

C. 3

D. －3

6. 下列命题中正确的是（ ）

A. 若两条直线都平行于同一个平面，则这两条直线平行；

B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直；

C. 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面；

D. 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线共面。

7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）

A. 32

B. 23

C. 22

D. 2

8. 在△ABC 中，4π=

B ，B

C 边上的高等于BC 3

1

，则cosA ＝（ ） A. 10

10

3 B.

10

10

C. 10

10-

D. 10

10

3-

二、填空题（每小题5分，共30分）

9. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________。

10. 若y x ,满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥+≤,2,3x y y x x ，则y x 2+的最大值为_____________。

11. 如图所示，在某路段检测点，对180辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下频率分布直方图，则车速不小于90km/h 的汽车约有__________辆。

12. 边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影区域内的概率为

3

2

，则阴影区域的面积为__________。 13. 若不等式2||2

+≤⋅x x a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是_____________。 14. 数列}{n a 中，如果对任意*

N n ∈都有

k a a a a n

n n n =--+++11

2（k 为常数），则称}{n a 为等

差比数列，k 称为公差比，现给出下列命题：

①等差比数列的公差比一定不为0； ②等差数列一定是等差比数列；

③若23+-=n

n a ，则数列}{n a 是等差比数列；

④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比； 其中正确的命题的序号为___________。

三、解答题（共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题12分） 在△ABC 中，角3

2π=

C 。 （Ⅰ）若ab a c +=2

2

5，求

A

B

sin sin ； （Ⅱ）求B A sin sin +的最大值。 16. （本小题13分）

手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间。

为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）判断A ，B 两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）； （Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率。 17. （本小题13分）

如图，在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，∠BAC＝90°，2==AC AB ，

31=AA 。M ，N 分别为BC 和CC 1的中点，P 为侧棱1BB 上的动点。

（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面C C BB 11；

（Ⅱ）若P 为线段1BB 的中点，求证：N A 1∥平面APM ；

（Ⅲ）试判断直线BC 1与平面APM 是否能够垂直，若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由。

四、填空题（每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上）

18. 记12x x -为区间],[21x x 的长度，已知函数)0](,2[,2|

|≥-∈=a a x y x ，其值域为

],[n m ，则区间],[n m 的长度的最小值是__________。

19. 设三棱柱111C B A ABC -的体积为10，点P ，Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且

1QC PA =，则四棱锥APQC B -的体积为__________。

20. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（1，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_______种（用数字作答）。 21. 函数a a x

x x f +-+=|4

|)(在区间]4,1[上的最大值是5，则实数a 的取值范围是__________。

22. 设函数1

sin )1()(2

2+++=x x

x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则m M +＝__________。

五、解答题（共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23.（本小题11分）

设R m ∈，不等式0)1(2)13(2

>+++-m x m mx 的解集记为集合P 。 （Ⅰ）若}21|{<<-=x x P ，求m 的值； （Ⅱ）当0>m 时，求集合P ；