第二章控制系统的数学模型-2-3——【南航自动控制原理】

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②南航《820自动控制原理》、《920自动控制原理(专业学位)》考试大纲

820自动控制原理考试大纲920自动控制原理(专业学位)考试大纲《自动控制原理》考试内容包括: 经典控制理论和现代控制理论。

第一章-自动控制的一般概念：控制系统的一般概念、名词术语、发展史；控制系统的分类；控制系统的组成；典型外作用；对控制系统的基本要求。

第二章-控制系统的数学模型：控制系统动态微分方程的列写；用拉普拉斯变换求解线性微分方程的零初态响应与零输入响应；运动模态的概念；传递函数的定义和性质；典型元部件传递函数的求法；控制系统结构图的绘制；梅逊公式在结构图和信号流图中的应用。

第三章-线性系统的时域分析法：系统稳定性的定义与判断法则；劳斯稳定判据；控制系统时域动态性能指标的定义与计算；一阶系统、二阶系统的阶跃响应，典型欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算；输入引起的误差的定义，静态误差系数、系统型别、稳态误差的计算；计算典型输入作用下，不同类型系统的稳态误差；扰动引起的误差的定义与计算方法；减小稳态误差的措施。

第四章-线性系统的根轨法：根轨迹的基本概念；根轨迹的模值条件与相角条件；根轨迹绘制的基本法则；广义根轨迹；主导极点与偶极子的概念及其应用。

第五章-线性系统的频域分析法：频率特性的概念及其图示法；频率特性的计算；开环频率特性的绘制；开环系统幅相曲线绘制；开环对数曲线绘制；由最小相角系统的对数幅频渐近曲线求传递函数；奈奎斯特稳定判据；对数稳定判据；稳定裕度；串联超前校正网络的设计；串联迟后校正网络的设计。

第六章-线性离散系统的分析：离散系统的基本概念；信号的采样与保持；差分方程的概念；差分方程的求取与求解；香农采样定理；Z变换定理；离散系统的数学模型；脉冲传递函数的概念与求法；离散系统输出Z变换的求法；离散系统的稳定性与稳态误差；第七章-非线性控制系统分析知识点：非线性控制系统概述；常见非线性特性及其对系统运动的影响；负倒描述函数曲线的绘制；用描述函数法判断非线性系统稳定性；自激振荡的判断、自振参数的确定。

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②南航《820⾃动控制原理》、《920⾃动控制原理（专业学位）》考试⼤纲820⾃动控制原理考试⼤纲920⾃动控制原理(专业学位)考试⼤纲《⾃动控制原理》考试内容包括: 经典控制理论和现代控制理论。

第⼀章-⾃动控制的⼀般概念：控制系统的⼀般概念、名词术语、发展史；控制系统的分类；控制系统的组成；典型外作⽤；对控制系统的基本要求。

第⼆章-控制系统的数学模型：控制系统动态微分⽅程的列写；⽤拉普拉斯变换求解线性微分⽅程的零初态响应与零输⼊响应；运动模态的概念；传递函数的定义和性质；典型元部件传递函数的求法；控制系统结构图的绘制；梅逊公式在结构图和信号流图中的应⽤。

第三章-线性系统的时域分析法：系统稳定性的定义与判断法则；劳斯稳定判据；控制系统时域动态性能指标的定义与计算；⼀阶系统、⼆阶系统的阶跃响应，典型⽋阻尼⼆阶系统动态性能指标的计算；输⼊引起的误差的定义，静态误差系数、系统型别、稳态误差的计算；计算典型输⼊作⽤下，不同类型系统的稳态误差；扰动引起的误差的定义与计算⽅法；减⼩稳态误差的措施。

第四章-线性系统的根轨法：根轨迹的基本概念；根轨迹的模值条件与相⾓条件；根轨迹绘制的基本法则；⼴义根轨迹；主导极点与偶极⼦的概念及其应⽤。

第五章-线性系统的频域分析法：频率特性的概念及其图⽰法；频率特性的计算；开环频率特性的绘制；开环系统幅相曲线绘制；开环对数曲线绘制；由最⼩相⾓系统的对数幅频渐近曲线求传递函数；奈奎斯特稳定判据；对数稳定判据；稳定裕度；串联超前校正⽹络的设计；串联迟后校正⽹络的设计。

第六章-线性离散系统的分析：离散系统的基本概念；信号的采样与保持；差分⽅程的概念；差分⽅程的求取与求解；⾹农采样定理；Z变换定理；离散系统的数学模型；脉冲传递函数的概念与求法；离散系统输出Z变换的求法；离散系统的稳定性与稳态误差；第七章-⾮线性控制系统分析知识点：⾮线性控制系统概述；常见⾮线性特性及其对系统运动的影响；负倒描述函数曲线的绘制；⽤描述函数法判断⾮线性系统稳定性；⾃激振荡的判断、⾃振参数的确定。

自动控制原理第二章数学模型精选全文完整版

第二章控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型
基本要求
§ 2-1 引言 § 2-2 系统微分方程的建立 § 2-3 非线性微分方程的线性化 § 2-4 传递函数 (Transfer Function) § 2-6 典型环节及其传递函数 § 2-7 系统的动态结构图 § 2-8 信号流图和梅逊公式
Ea —
基尔霍夫
电枢反电势： Ea ke
— 楞次定律
电磁力矩： M D kmia
— 安培定律
力矩平衡：
d
J dt M D M L
— 牛顿定律
其中 ke (V/rad/s)为反电势系数， km (N •rad/s)为电磁转矩
系数。
消去中间变量 ia , Mm , Ea 可得：
La J
d 2 (t)
di(t ) ur (t) L dt Ri(t) uc (t)
i(t) C duc (t) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
返回子目录
力-电压相似量
机械电气
阻尼 f 电阻 R
力 F 电压 U
dt 2 Ra J
d(t)
dt
k m ke (t )
kmua (t)
La
dM L (t) dt
RaM L (t)
在工程应用中，由于电枢电感La很小，通常忽略不计。则：
Tm
d(t)
dt
(t)
K1ua (t)
K2M L (t)

自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全

TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。（1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)

《自动控制原理》第2章控制系统的数学模型精品PPT课件

FB(t)
f
dy(t) dt
FK (t) 为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比，即
FK(t)ky(t)
d 2 y(t)
a为物体的加速度，即
a dt 2
消除中间变量，将式子标准化可得
mdd 2y2 (tt)fdd(ty)tk(yt)F(t)
2.3用拉普拉斯变换求解线性微分方程
2.3.1拉普拉斯变换定义 2.3.2常用函数的拉普拉斯变换 2.3.3拉普拉斯变换的几个基本法则 2.3.4拉普拉斯反变换变换 2.3.5用拉普拉斯变换求解微分方程
第2章控制系统的数学模型
• 本章的主要内容控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式
2.1系统数学模型概述
数学模型：用数学的方法和形式来表示和描述系统中各变量间的关系。三种形式：输入输出描述
状态空间描述方块图或信号流图描述
对上式取拉氏变换得 c(t)et sint
2.4传递函数
利用拉氏变换的方法可以得到控制系统在复数域的数学模型——传递函数。 2.4.1 传递函数的定义 2.4.2典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的定义
线性定常系统，当初始条件为零时，输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比，定义为传递函数。
G (s)C R ((ss))b0 ssnm ab 11 ssnm 1 1 ab n m 1 s1s ab nm
例2-7 求图2-1所示RLC串联电路的传递函数。设输入量为 u r ，输出量 u c 。
L K(t) fK(s F )
2.微分定理
函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘以s的求导次幂（这时，初始条件需为零）。同理，若初始条件 f(0 )f'(0 ) f(n 1 )(0 ) 0

《自动控制原理》控制系统的数学模型 ppt课件

= Kg
m i 1
(s

zi
)
n (s
j 1

pj)
2)
G(s)

c(s) r(s)

bm (dmsm an (cnsn
dm1sm1 1) cn1sn1 1)
=
K
(T1s (T1s
1)(T2 s 1)(T2s
1)(Tms 1) 1)(Tms 1)
（2-5）（2-6）
9
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
La GD2 Ra d 2n GD2ra dn n ua
Ra 375 CmCe dt2 375CmCe dt
ce
（2-7）
令：
Ta

La ra
--电动机电磁时间常数
Tm

GD2 375
ra CeCm
--电动机机电时间常数
FK ky
－阻尼器的粘性摩擦力－弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程
将以上各式代入（1）式得
m
d2y dt 2

F
ppt课件ddyt

ky
6
（4）整理且标准化
m d 2 y(t) dy(t)
1
k
dt 2
k
y(t) F (t)
dt
k
令 T m/k
- 时间常数；
TaTm
d 3
dt 3
Tm
d 2
dt 2
d
dt
pp0t课.1件05 ua Ce
（2-1210）
例2-4 下图所示为闭环调速控制系统，编写控制系统微分方程。

自动控制原理第2版全篇

=
△
- + - 其中:△称为系统特征式 △= 1 ∑La ∑LbLc ∑LdLeLf+…
—∑La 所有单独回路增益之和
∑L∑和dLLebLLf—c—所有所三有个互两不两接互触回不路接增益触乘回积路之增和益乘积之
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
△k称为第k条前向通路的余子式去掉第k条前向通路后所求的△
x0
(x x0 )
1 d 2 f (x)
2!
dx2
x0
(x x0 )2
忽略二阶以上各项，可写成
y
f
(x0 )
df (x)
dx x0
(x
x0 )
2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入量为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。
注意：相加点和分支点一般不能变位
25
2.3.3闭环传递函数
1、给定输入单独作用下的系统闭环传递函数
(s) G1G2 G1G2 1 G1G2H 1 Gk
2、扰动输入单独作用下的闭环系统
n
(
s)
1
G2 G1G2
H
G2 1 Gk
3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。
（1）给定输入单独作用下的闭环系统
Er
(
s)
1
1 G1G2
H
1 1 Gk
（2）扰动输入单独作用下的闭环系统
En
(
s)
1
G2 H G1G2
H
G2H 1 Gk
4)给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输
出量和偏差输出量

第二章自动控制原理控制系统的数学模型【可编辑全文】

此即为RC四端网络的传递函数。
2024年10月28日星期一
第2章第21页共119页
如何不通过微分方程直接求传递函数：
先求复阻抗Ｚ２
Z2
R2
1 C2S
1 R2C2 C2S
R1 Ｕ３ R2
U1
C1
Z２
Z1C2
U2
1 * 1 R2C2
图2-3 RC组成的四端网络
Z1
1
C1S
|| Z2
C1S C2S 1 1 R2C2
一次项，求出它的系数值。
④ 消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用
偏差量来表示。
2024年10月28日星期一
第2章第25页共119页
注意：（1）线性化方程中的常数与选择的静态工作点的位
置有关,工作点不同时,相应的常数也不相同。
（2）泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。
dt 2
dt
整理得表示输入输出关系的微分方程为：
d 2 y dy
m f ky F
dt 2
dt
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第2章第6页共119页
例2-1-3 图2-1-3所示为电阻、电感、电容串联网络，其中U为输入电压，求以电容两端电压uc为输出的微分方程
解：由电压定律得：
u
L
di dt
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第2章第15页共119页
传递函数的几点性质:
• 传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所有系数均为实数。
• 传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。

第二章控制系统数学模型精选全文完整版

称为小偏差法。
y x
饱和非线性
8
2.2 非线性数学模型的线性化
例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，
如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在， y
(
f x
)
x0
在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：
y0
y=f(x)
y f (x)
f
(x0 )
f (x) x x0
2s 1 例2 求 s(s 的1)原函数。
20
2s 1 例2 求 s(s 的1)原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 A B s(s 1) s s 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
4.积分定理在零初始条件下，即：
f (t)dt t0 f (t)dt2 t0 f (t)dtn1 t0 0
上式表明，则在：零初L[始条件f下(t，)d原tn ]函数F的s(ns)n 重积分的拉氏式等于其象函
数除以s n 15
微分性质
证
T
L[ f (t)] est f (t)dt lim estdf (t) T
10
拉氏变换的概念
• 拉氏变换的概念 • 拉氏变换的运算定理 • 拉氏反变换 • 应用拉氏变换求解微分方程
• 若将实变量t的函数f(t)，乘以指数函数e-st（其中s=σ+jω，是一个复变数），再在0到∞之间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s) 称为f(t)的拉氏变换，可用符号L[f(t)]表示。
7
2.2 非线性数学模型的线性化

自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文

下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。

自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文

23
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn

自动控制原理课件第二章控制系统的数学模型

sX
(s)
x(0)
L
d
2 x(t)
dt 2
s2
X (s)
sx(0)
x (0)
若 x(0) x(0) 0 ,则
… L
dx(t dt
)
sX
(s)
L
d
2 x(t)
dt 2
s2
X
(s)
L
d
n x(t dt n
)
sn
X
(
s)
3)积分定律
L x(t)dt 1 X (s) 1 x(1)(0)
C
的网络微分方程式。
uc(t)
解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
RL
（3）由KVL写原始方程： L di Ri uc ur
ur(t)
C
dt
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
i C duc dt
存在，则
x(0
)
lim
s
sX
(
s)
6)延迟定理
L[ x(t )1(t )] = esX(s)
L[eat x(t)] = X(s + a)
7)时标变换
L
x
t a
aX
(as)
8)卷积定理
X1 ( s)
X2(s)
L
t 0
x1 (t
)
x2
(
)d
4.举例
例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。
1) 微分方程：时域其它模型的基础直观求解繁琐 2) 传递函数：复频域微分方程拉氏变换后的结果 3) 频率特性：频域分析方法不同，各有所长

自动控制原理(数学模型)精选全文完整版

t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)

自动控制原理控制系统的数据模型第二章控制系统的

电路系统 ur L R 1/C q
i
(3) 模拟技术：有了相似系统的概念，可以利用对一种系
统的研究来代替对另一种系统的研究，这就是所谓的模拟
技术。特别是用电子模拟装置模拟机械系统及其它物理系统。
12
2、用复阻抗概念求电路的传递函数
L
R2
Ls
R2
＋
＋
＋
＋
＋
ur
u1 R1 C uc Ur(s) U1(s) R1 1/Cs
d(h0 h)
dt
Cv (
h0
2
1 h0
h)
Q10
Q1
17
AF
d(h0 h)
dt
Cv (
h0
2
1 h0
h)
Q10
Q1
在工作点处的平衡关系 Q10 Q20 Cv h0
线性化方程式
AF
dh
dt
Cv 2 h0
h
Q1
可以省略Δ，简写成
AF
dh dt
Cv 2 h0
h
Q1
那么，传递函数
G(s) H(s)
第二章控制系统的数学模型
2.1 传递函数 2.2 闭环控制系统的动态结构图 2.3 动态结构图的等效变换 2.4 反馈控制系统的传递函数 2.5 典型环节的传递函数 2.6 信号流图与梅逊公式
1
2.1 传递函数
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。
an1
d dt
c(t)
anc(t)
dm
d m1
d
b0 dtm r(t) b1 dtm1 r(t) bm1 dt r(t) bmr(t)