二次函数与实际问题(面积最值问题)教学设计

[教学设计] 二次数学的实际运用

——图形面积的最值问题

【知识与技能】：通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题，培养其整体性思想。

【过程与方法】：能通过设置的三个问题，概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法，并学会用数学问题的结论，分析是否是实际问题的解，掌握类比的数学思想方法。

【情感态度与价值观】：体会函数建模思想的同时，体会数学与现实生活的紧密联系，培养学生认真观察，不断反思，主动纠错的能力和乐于思考，认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。

【重点】：如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题

【难点】：如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解

【教学过程】

【活动1】：导入引言：

二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类

（1）利润最大问题；

（2）几何图形中的最值问题：面积的最值，用料的最佳方案等，本节课，我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。

【活动2】：师生互动，合作学习

我们来看一道简单的例题

例1：李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24米，则矩形的长宽分别为多少时，围成的矩形面积最大？

师（让学生思考）：题目中已知量是什么？未知量是什么？如何理解“矩形面积最大”问题？是什么影响了矩形面积的变化呢？我们一起来看下面的动画演示（通过动画演示，让学生感受量的变化）

师：在演示中你们看到了什么？想到了什么？你能列出函数解析式吗？

学生解决：若设矩形一边长为X，当X在变长时，另一边变短，当X变短时，另一边变长，则面积S也随之发生了变化；设宽AB为X米，则长为24-2X (m)

所以面积S=X(24-2X)=-2X2+24X=-2(X-12)2 +288

师：分析归纳解函数问题的一般步骤是什么？

（板书: 第一步，正确理解题意,分析问题中的常量和重量；

第二步，巧设未知数，用未知数表示已知量和未知量，列二次函数解析式表示它们的关系；

第三步，计算，将一般式转化为顶点式，求出数学问题的最值。）

师：请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解，如何检验呢？（在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误，分析解答是否符合实际问题）

小结：求解完答案后，我们要善于检查，分析，反思数学问题的解是否是实际问题的解。

活动3：变式训练，巩固应用。

师：如果我们在图形中再加一个“竖道”，请问刚才的问题中，什么量在变化，什么量不变化？是否影响面积的变化？

师生共同总结得出：AB不变而BC在变，BC表示时要考虑竖道的个数。

师：请大家看下面的中考题，这个问题中涉及的是方程的思想还是函数的思想？

一题多变1：

要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各为多少米？

学生自主探究问题并解答（引导学生分析讨论如何舍去方程的根，获得实际问题的解）

师：问题中面积是否由“400”可以改为“500”“600”“700”呢？面积是否可以取一个任意大的数值呢？

生：不可以，x受墙长的影响，围栏长度的影响，面积不能超过一个最大值。

师：引导利用函数的思想解决下面的问题。

活动4：深入探究，设疑激趣

一题多变2：

师：请大家仔细阅读下面的例题，分析问题中的已知条件又作了哪些变化？

如图所示，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB＝xm，面积为ym2.

(1)求y与x的函数关系式；（2）y是否有最大值？若有，求出y的最大值。

学生互学，师生共同总结：师：利用函数的思想解决实际问题时，要考虑自变量的取值范围，要在自变量范围内求出最大值，要学会检验数学问题的解是否是实际问题的解。利用函数解决实际问题，我们在后面的学习中还要继续探究。

【活动4】归纳小结:

（1）利用函数思想解决实际问题的一般步骤是什么？

（2）本节课你的收获是什么？你的疑问是什么？

活动6】作业布置。