实变函数论课件14

证明：首先设 mE < ∞。注意到对任何可测 函数序列{gn} ，它不收敛到某个函数 g的点 集是
1 U I U E{x || gn ( x) − g( x) |≥ } k k=1 N=1 n=N
j
∞
∞
∞
因此我们只要找到{ fn} 的一个子序列 { fn }
1 使得m[ U I U E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ }] = 0 k k=1 N=1 i=N
1 = lim E{x || f ( x) − gn ( x) |≥ } = 0, n→∞ 2k
但因
第14讲 依测度收敛 14讲
所以 mE{x || f ( x) − g( x) |≥ 1/ k} = 0， 由于
1 E{x | f ( x) ≠ g( x)} = U E{x || f ( x) − g( x) ≥ }, k k=1 故 mE{x | f ( x) ≠ g( x)} = 0，
fn ( x) → f ( x) a.e.[E]， 则必有 fn ( x) ⇒ f ( x)。
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证明：由叶果洛夫定理，对任意 δ > 0 ，存在 E的可测子集 Eδ ，使得 m(E − Eδ ) < δ， 且 fn (x)在 Eδ 上一致收敛到 f (x)，于是对任 意ε > 0，存在 Nε ，当 n > Nε时，有
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3、设 f是 R1 上的可测函数，证明：对任意 常数a，f (ax) 仍是R1上的可测函数。 4、设 f (x)是E上的可测函数，证明：f ( x)3 ] [ 在E上也可测。 5、若[a,b]上的函数f (x) 在任意线段上可测， 试证它在整个闭区间[a,b]上也可测。
∞
换言之，f ( x) = g( x)a.e.[E] ，证毕 作业：P78 21，22
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习题三 1、设f 是E上的可测函数，证明：对任意 E 实数a， {x | f ( x) = a} 是可测集。 2、设f 是E上的函数，证明：f 在E上可测 当且仅当对一切有理数r， E{x | f ( x) > r} 是可测集。
证明：因为
| f ( x) − g( x) |≤| f ( x) − fn ( x) | + | fn ( x) − g( x) |
所以对任意正整数k，有
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1 E{x || f ( x) − g( x) |≥ } ⊂ k 1 E{x || f ( x) − g( x) |≥ } 2k 1 U E{x || fn ( x) − g( x) |≥ } 1 2k lim mE{x || f ( x) |≥ } n→∞ 2k
( E1 ，存在 { fn}的子序列 { fn1)} ，使
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f
(1) n
) → f a.e.[E1] ，当然在每个Em (m = 2,3,L
(1) n
上仍有 f
⇒ f。同理可从{ f }中取子列
(1) n
( ( ，使 fn 2) → f a.e.[E2 ] ，依此类推，由 { fn 2)}
归纳法可作出一串子序列 { fn(m)} ，任得对任
(m 意m， fn )} { fn(m−1)}的子序列，且 是 { ( fn m) → f a.e.[Em ] 。令
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fn ( x) = f
j
(i ) i
( x) i = 1 2， ，L
则 { fn ( x)}显然仍是{ fn ( x)} 的子序列。
j
∞
∞
∞
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即可。这等价于说对任意的k，有
1 m[ I U E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ } = 0 k N=1 i =N 对每个k，由 fn ⇒ f，知 1 mE{x || fn ( x) − f ( x) |≥ } → 0 (n → ∞) k 故对任意i及k存在 ni，当 n ≥ ni时，有 1 1 mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } < i k 2
j j j
j
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1 ≤ ∑mE{x || fn ( x) − f ( x) |≥ } k i =N 1 (N > k) < N−1 , 2
j
∞
1 lim U 因此 N→∞ mi=N E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ k} = 0 ∞ ∞ 1 进而 m[ I U E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ } = 0 k N=1 i =N
三．Riesz定理 （1） Riesz定理的叙述
) *定理5（Riesz定理）设 fn , f (n = 1,2,L是E 上的可测函数，如果 fn ⇒ f ，则存在子 序列{ fn }，使得 fn ( x) → f ( x) a.e.[E]。
j
i
（2）
Riesz定理的证明
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目的：理解依测度收敛概念，掌握 Lebesgue定理与 Riesz定理。 重点与难点：Lebesgue定理与 Riesz定理 及其证明。
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基本内容： 一．依测度收敛定义 鲁津定理实际是说，任意可测函数都 可以用连续函数在某种意义下逼近。我 们可以将定理2改述成：若 f (x) 是E上的 可测函数，则对任意 ε > 0 ，存在 R1 上的 连续函数，使得 mE{x | f ( x) ≠ g( x)} < ε。
j
∞
∞
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1 1 特别地 mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } < i k 2 由于此处i, k都是任意的，所以在上述不等 式中可以取 i = k，即 1 1 mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } < i i 2 如果必要，还可以使 ni 满足
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注意到
1 E{x | f ( x) ≠ g( x)} = U E{x || f ( x) − g( x) |≥ } n n=1 所以对任意n，有 mE{x || f ( x) − g( x) |≥ 1} < ε， n 进一步，对任意δ > 0 ，有
∞
mE{x || f ( x) − g( x) |≥ δ} < ε
i
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(m fn ) 的子序列，故也有 fn ( x) → f ( x，即 )
i
fn → f a.e.[E] 。证毕。
j
问题3 问题3：一个依测度收敛的函数列是否有唯 一的极限？ 如果极限不唯一， 这些极限 一的极限 ？ 如果极限不唯一 ， 有什么关系？ 有什么关系？
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| fn ( x) − f ( x) |< ε( x ∈ Eδ )
于是 E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ ε} ⊂ E − Eδ ，任
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意 n > Nε ，从而
mE{x || fn ( x) − f ( x) |≥ ε} ≤ m(E − Eδ ) < δ
三．依测度收敛函数列极限的唯一性 下面的定理说明：依测度收敛的可测函 数序列在几乎处处相等意义下有唯一的 极限。
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∗
定理6 设 fn , f 是E上的可测函数，若
fn ( x) ⇒ f ( x)，且 fn ( x) ⇒ g( x) ，则
f ( x) = g( x)a.e.[E]。
i
0 0 记 Em = {x ∈ Em | fn(m) ( x) → f ( x)}，0 = U Em E
则 mE0 = 0 ，且对任意 x ∈ E − E0 ，存在M， 使得 m > M 时，x ∈ Em − E0 ，于是
f
(m) n
m
( x) → f ( x) ，显然当 i > m时， { fn } 是
由 的任意性立得 fn ( x) ⇒ f ( x) 。证毕。 δ 问题1 Lebesgue定理中 定理中E 问题 1 ： Lebesgue 定理中 E 为有限测度集 的条件可否去掉？为什么？ 的条件可否去掉？为什么？
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问题2 Lebesgue定理的逆是否成立 定理的逆是否成立？ 问题 2 ： Lebesgue 定理的逆是否成立 ？ 举 例说明。 例说明。 （3）反例 定理4的逆一般是不对的，即依测度收 敛不一定意味着几乎处处收敛，下面的 例子说明了这一点。
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{ϕn ( x)}总有无穷多个函数在该点等于1，
也有无穷多个函数在该点等于0，所以 在 ϕn (x) [0,1)上处处不收敛于0。
虽然几乎处处收敛强于依测度收敛， 但我们可以从依测度收敛的函数序列中 找一个几乎处处收敛的子序列。这就是 著名的黎斯（Riesz）定理。
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ϕ4 ( x) = f
(3) 1
( x), ϕ5 ( x) = f
(3) 2
( x), ϕ6 ( x) = f
(3) 3
( x)
L L
于是{ϕn ( x)} 是E上的处处有限的可测函数。 对任意 ε > 0，若 ε > 0， E{x || ϕn ( x) |≥ ε} = φ， 则 显然有 lim E{x || ϕn ( x) |≥ ε} = 0若 ε ≤ 1，则 n→∞ 当 ϕn 是第k次等分 [0,1) 区间后所对应的函
取 εn ↓ 0 ，则存在 R1上的连续函数 gn ，使
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得mE{x || f ( x) − gn ( x) |≥ δ} < εn →0(n →∞)。 这种收敛性与前面的几乎处处收敛概念 不同的。我们称它为依测度收敛，具体说 来即下面的。 定义2 设E是可测集， ( x)，f1( x)，f2 ( x)， f L 都是E上几乎处处有限的可测函数，如
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果对于任意 ε > ，都有 0 则称 fn (x) 在E上依测度收敛到 f (x)，记作
fn ⇒ f 。
n→∞
lim mE{x || fn ( x) − f ( x) |≥ ε} = 0
下面的定理说明：几乎处处收敛蕴含依测 度收敛。
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二．Lebesgue定理 （1） Lebesgue定理的叙述 定理4（lebesgue定理） 设E是测度有限 的可测集，f ( x)，f1( x)，f2 ( x)， 是E上几乎 L 处处有限的可测函数，若
j j
∞
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所以 fn ( x) → f ( x) a.e.[E]
i
下设 mE = +∞ ，令
Im = {x = ( x1 Lxn ) || xi |≤ m, i = 1,L, n}
则Em = E I Im是测度有限的可测集，且对 任意 mf n ⇒ f a.e.[Em ]。由前面的证明，对
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数组中第i个函数时有
i −1 i E{x || ϕn ( x) |≥ ε} ⊂ [ , ) k k 所以 mE{x || ϕn ( x) ≥ ε} ≤ 1/ k 。
k 注意到当 n →∞时， → ∞，做
n→∞பைடு நூலகம்
lim mE{x || ϕn ( x) |≥ ε} = 0
这说明 ϕn ⇒ 0 。然而，对任意 x0 ∈[0,1),
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1] 例 设 E = (0,1] ，对任意正整数k，将 ( 0， 区间k等分，并定义
i −1 i , ) 1 x ∈[ (k ) k k (i = 1,2,L, k) fi ( x) = i −1 i 0 x ∉[ , ) k k
令 ϕ1( x) = f1(1) , ϕ2 ( x) = f1(2) ( x), ϕ3 ( x) = f2(2) ( x)
j j
n1 < n2 < L< ni < L
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1 1 于是对任意的k，只要 i > k ，就有 < ， i k 从而 mE{x || f ( x) − f ( x) ≥ 1} < i n i 2i 1 mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } k 1 1 ≤ mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } < i i 2 ∞ 1 这说明 m[ U E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ }] k i =N