数学1(必修)复合函数的单调性和奇偶性

复合函数的单调性和奇偶性

1、复合函数的概念

如果y是u的函数，u又是x的函数，即()

=，那么y关于x的函数(())

=

y f g x

u g x

y f u

=，()

叫做函数()

=的复合函数，其中u是中间变量，自变量为x函数值为y。例如：

u g x

y f u

=和()

函数21

=是由2u

y+

2x

y=和21

=+复合而成。

u x

2、复合函数单调性

复合函数单调性判定方法：

定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。Array即：同增异减。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的

定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性

（1）（2）

解：①

∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②

x∈（-1，3） 令

∴x∈（-1，1]上，u 是递增的，x∈[1，3）上，u 是递减的。 ∵

是增函数 ∴函数

在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域

例2. 求函数222

)(-+=x x x f 的单调区间. 解：外层函数：t y 2=

内层函数：22-+=x x t 内层函数的单调增区间：],2

1[+∞-

∈x 内层函数的单调减区间：21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：],2

1[+∞-∈x 复合函数的减区间为： 2

1,[--∞∈x

在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.

练习：求下列函数的单调区间。 1、（1）减区间，增区间；

（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；

（3）减区间，增区间；

（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）

的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

3、讨论函数y=loga(ax－1)的单调性其中a＞0，且a≠1．

解：由对数函数性质，知ax－1＞0，即ax＞1，

于是，当0＜a＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，

当a＞1时，定义域为(0，＋∞)．

当0＜a＜1时，u＝ax－1在(－∞，0)上是减函数，

而y=logau也是减函数，∴y=loga(ax－1)在(－∞，0)上是增函数．

当a＞1时，u＝ax－1在(0，＋∞)上是增函数，而y=logau也是增函数，

∴y＝loga(ax－1)在(0，＋∞)上是增函数．

综上所述，函数y=loga(ax－1)在其定义域上是增函数

3、复合函数奇偶性

一偶则偶，同奇则奇

记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，

如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，

则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；

当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数：

当里层的函数是偶函数时，不论外层是怎样的函数，复合函数都是偶函数；

当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数；

当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。