p14_1黑体辐射的规律
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P (T ) = ∫ M ( λ , T )d λ
0 ∞
hc hc 2π k 4T 4 x 5 设 x= dλ . 则 M ( x, T ) = 3 2 x , dx = − 2 kT λ h c (e − 1) kT λ
{范例 范例14.1} 黑体辐射的规律 范例
hc 2π k 4T 4 x 5 x= , M ( x, T ) = 3 2 x , kT λ h c (e − 1)
hc = 0.0029 可得 T λm = kxm 这就是维恩常数。 这就是维恩常数。
理论值与实验值 也符合得很好。 也符合得很好。
取温度为 参数， 参数，黑 体的单色 辐射本领 与波长的 关系如图 所示。 所示。
不论温度是多少， 不论温度是多少，单 色辐射本领随波长的 增加先增加再减小。 增加先增加再减小。 峰值波长与温度的关系 遵守维恩位移定律： 遵守维恩位移定律：峰 值波长与温度成反比。 值波长与温度成反比。 温度升高时， 温度升高时，峰值 波长变短，峰变高。 波长变短，峰变高。 曲线下的面积表示总 辐射本领，温度越高， 辐射本领，温度越高， 曲线下的面积越大， 曲线下的面积越大， 总辐射本领越强。 总辐射本领越强。
2π k 4T 4 公式可 P (T ) = − 化为 h 3c 2
其中
C=
∞ 3
hc dx = − dλ 2 kT λ
x3 d x = CIT 4 ∫ ex −1 ∞
∞
0
2πk h 3c 2
−x
4
x3 I为积分 I = ∫ e x − 1 dx 为积分 0
∞ ∞
手工计算I的 手工计算 的步骤如下
∞ ∞ x e 3 −x − nx I=∫ d x = ∫ x e ∑ e d x = ∑ x 3 e − nx d x −x ∫ 1− e n=0 0 0 n =1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 π4 1 1 设y = nx， I = ， y 3 e − y d y = ∑ 4 3! = 6 ∑ 4 = ∑1 n 4 ∫ 15 n =1 n 可得 n= n =1 n 0
{范例 范例14.1} 黑体辐射的规律 范例
黑体的单色辐射本领是在单位时间内从物体表 面单位面积上所发射的波长在λ到 面单位面积上所发射的波长在 到λ + dλ范围内 范围内 dP (λ , T ) M (λ , T ) = 的辐射能量dP(λ,T)与波长间隔 之比 与波长间隔dλ之比 的辐射能量 与波长间隔 dλ M(λ,T)表示在单位时间内从物体表面单位面积 表示在单位时间内从物体表面单位面积 发射的波长在附近单位波长间隔内的辐射本 其中，k为玻 其中， 为玻 是波长和温度的函数，其单位是W/m3。 尔兹曼常数， 领，是波长和温度的函数，其单位是 尔兹曼常数， h为普朗克常 为普朗克常 2π hc 2 普朗克提出的 M ( λ , T ) = 数，c为真空 为真空 hc 5 黑体单色辐射 λ [exp( ) − 1] 中的光速。 中的光速。 kT λ 本领的公式为 对波长从零到无穷大积分就得总辐射本 领，即：黑体单位面积辐射能量的功率
{范例 范例14.1} 黑体辐射的规律 范例
根据实验得出两个黑体辐射实验规律。 根据实验得出两个黑体辐射实验规律。黑体的总辐射本 能力)为 这就是斯特藩-玻尔兹曼定律 玻尔兹曼定律， 领(能力 为P(T) = σT4，这就是斯特藩 玻尔兹曼定律， 能力 称为斯特藩常数。 其中， 其中，σ = 5.67×10-8W/(m2·K4)，σ称为斯特藩常数。 ， 称为斯特藩常数 黑体的单色辐射本领(能力 能力)的峰值波长与温 黑体的单色辐射本领 能力 的峰值波长与温 度的关系为Tλ 度的关系为 m = b，这就是维恩位移定律， ，这就是维恩位移定律， 其中， 称为维恩常数。 其中，b = 2.897×10-3m·K，b称为维恩常数。 ， 称为维恩常数 根据普朗克提出的黑体辐射公式， 根据普朗克提出的黑体辐射公式，计算 斯特藩常数和维恩与温度有什么关系？ 斯特藩常数和维恩与温度有什么关系？ [解析 在任何温度下对任意波长的电磁波只吸 解析]在任何温度下对任意波长的电磁波只吸 解析 收不反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。 收不反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。
当波长趋于零时， 趋于无穷大 单色辐射本领M趋于零 趋于无穷大， 趋于零； 当波长趋于零时， x趋于无穷大，单色辐射本领 趋于零； 当波长趋于无穷大时， 趋于零 单色辐射本领M也趋于零 趋于零， 也趋于零。 当波长趋于无穷大时， x趋于零，单色辐射本领 也趋于零。 因此单色辐射本领随波长的变化有极值。 因此单色辐射本领随波长的变化有极值。 令dM(x,T)/dx = 0，可得方程 xm = 5[1 – exp(-xm)] ， ， 一般用迭代算法计算上式之值，除了 一般用迭代算法计算上式之值， 零解之外，可得x 的值为4.965。 零解之外，可得 m的值为 。
其中用了分部积分法或 Γ函数，还用到公式 函数， 函数
∑源自文库
n =1
∞
1 π4 = 4 n 90
理论值与实验 值符合得很好。 值符合得很好。
由此可得CI 由此可得 = 5.6688×10-8，
这就是斯特藩常数。 这就是斯特藩常数。
{范例 范例14.1} 黑体辐射的规律 范例
hc 2π k 4T 4 x 5 x= , M ( x, T ) = 3 2 x kT λ h c (e − 1)
0 ∞
hc hc 2π k 4T 4 x 5 设 x= dλ . 则 M ( x, T ) = 3 2 x , dx = − 2 kT λ h c (e − 1) kT λ
{范例 范例14.1} 黑体辐射的规律 范例
hc 2π k 4T 4 x 5 x= , M ( x, T ) = 3 2 x , kT λ h c (e − 1)
hc = 0.0029 可得 T λm = kxm 这就是维恩常数。 这就是维恩常数。
理论值与实验值 也符合得很好。 也符合得很好。
取温度为 参数， 参数，黑 体的单色 辐射本领 与波长的 关系如图 所示。 所示。
不论温度是多少， 不论温度是多少，单 色辐射本领随波长的 增加先增加再减小。 增加先增加再减小。 峰值波长与温度的关系 遵守维恩位移定律： 遵守维恩位移定律：峰 值波长与温度成反比。 值波长与温度成反比。 温度升高时， 温度升高时，峰值 波长变短，峰变高。 波长变短，峰变高。 曲线下的面积表示总 辐射本领，温度越高， 辐射本领，温度越高， 曲线下的面积越大， 曲线下的面积越大， 总辐射本领越强。 总辐射本领越强。
2π k 4T 4 公式可 P (T ) = − 化为 h 3c 2
其中
C=
∞ 3
hc dx = − dλ 2 kT λ
x3 d x = CIT 4 ∫ ex −1 ∞
∞
0
2πk h 3c 2
−x
4
x3 I为积分 I = ∫ e x − 1 dx 为积分 0
∞ ∞
手工计算I的 手工计算 的步骤如下
∞ ∞ x e 3 −x − nx I=∫ d x = ∫ x e ∑ e d x = ∑ x 3 e − nx d x −x ∫ 1− e n=0 0 0 n =1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 π4 1 1 设y = nx， I = ， y 3 e − y d y = ∑ 4 3! = 6 ∑ 4 = ∑1 n 4 ∫ 15 n =1 n 可得 n= n =1 n 0
{范例 范例14.1} 黑体辐射的规律 范例
黑体的单色辐射本领是在单位时间内从物体表 面单位面积上所发射的波长在λ到 面单位面积上所发射的波长在 到λ + dλ范围内 范围内 dP (λ , T ) M (λ , T ) = 的辐射能量dP(λ,T)与波长间隔 之比 与波长间隔dλ之比 的辐射能量 与波长间隔 dλ M(λ,T)表示在单位时间内从物体表面单位面积 表示在单位时间内从物体表面单位面积 发射的波长在附近单位波长间隔内的辐射本 其中，k为玻 其中， 为玻 是波长和温度的函数，其单位是W/m3。 尔兹曼常数， 领，是波长和温度的函数，其单位是 尔兹曼常数， h为普朗克常 为普朗克常 2π hc 2 普朗克提出的 M ( λ , T ) = 数，c为真空 为真空 hc 5 黑体单色辐射 λ [exp( ) − 1] 中的光速。 中的光速。 kT λ 本领的公式为 对波长从零到无穷大积分就得总辐射本 领，即：黑体单位面积辐射能量的功率
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根据实验得出两个黑体辐射实验规律。 根据实验得出两个黑体辐射实验规律。黑体的总辐射本 能力)为 这就是斯特藩-玻尔兹曼定律 玻尔兹曼定律， 领(能力 为P(T) = σT4，这就是斯特藩 玻尔兹曼定律， 能力 称为斯特藩常数。 其中， 其中，σ = 5.67×10-8W/(m2·K4)，σ称为斯特藩常数。 ， 称为斯特藩常数 黑体的单色辐射本领(能力 能力)的峰值波长与温 黑体的单色辐射本领 能力 的峰值波长与温 度的关系为Tλ 度的关系为 m = b，这就是维恩位移定律， ，这就是维恩位移定律， 其中， 称为维恩常数。 其中，b = 2.897×10-3m·K，b称为维恩常数。 ， 称为维恩常数 根据普朗克提出的黑体辐射公式， 根据普朗克提出的黑体辐射公式，计算 斯特藩常数和维恩与温度有什么关系？ 斯特藩常数和维恩与温度有什么关系？ [解析 在任何温度下对任意波长的电磁波只吸 解析]在任何温度下对任意波长的电磁波只吸 解析 收不反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。 收不反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。
当波长趋于零时， 趋于无穷大 单色辐射本领M趋于零 趋于无穷大， 趋于零； 当波长趋于零时， x趋于无穷大，单色辐射本领 趋于零； 当波长趋于无穷大时， 趋于零 单色辐射本领M也趋于零 趋于零， 也趋于零。 当波长趋于无穷大时， x趋于零，单色辐射本领 也趋于零。 因此单色辐射本领随波长的变化有极值。 因此单色辐射本领随波长的变化有极值。 令dM(x,T)/dx = 0，可得方程 xm = 5[1 – exp(-xm)] ， ， 一般用迭代算法计算上式之值，除了 一般用迭代算法计算上式之值， 零解之外，可得x 的值为4.965。 零解之外，可得 m的值为 。
其中用了分部积分法或 Γ函数，还用到公式 函数， 函数
∑源自文库
n =1
∞
1 π4 = 4 n 90
理论值与实验 值符合得很好。 值符合得很好。
由此可得CI 由此可得 = 5.6688×10-8，
这就是斯特藩常数。 这就是斯特藩常数。
{范例 范例14.1} 黑体辐射的规律 范例
hc 2π k 4T 4 x 5 x= , M ( x, T ) = 3 2 x kT λ h c (e − 1)