矩阵论 最小多项式 JORDAN式子

λ-矩阵

一、λ-矩阵的基本概念

数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式

()()()

()()()()111

1

n ij m n

m m n

a a

A a a a λλλλλλ⎛⎫

⎪==

⎪ ⎪⎝⎭

，其中各()[]ij a P λλ∈.

1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2

()

A λ的：该子式是一个非零多项式；

3 ()A λ的秩为r ：()A λ

有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零；

4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ

使

()()()()A B B A E λλλλ==，这时记

()

B λ为

()

1A λ-称为

()

A λ的逆矩阵。

()

A λ可逆

()A λ⇔=

非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价：

()

A λ与()

B λ可以经过初等变换互相转化。

()

A λ与

()

B λ等价⇔存在可逆矩阵

()()

,P Q λλ使

()()()()

P A Q B λλλλ=.

二、λ-矩阵的标准准形及三种因子

1 每个λ-矩阵()A λ

都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准

形

()()()

()

120

0r d d B d λλλλ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，

其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。它们满足依次整

除关系：

()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .

因为初等变换不改变

()

A λ的秩，所以上述()()r r A λ=.

2 ()

A λ的所有k 级子式的首一最大公因式

()

k D λ称为

()

A λ的k 级行列式因子。

（1）若

()()r A r

λ=，则

()

A λ的行列式因子恰有r 个：

()()()

12,,,r D D D λλλ .

（2）初等变换不改变()

A λ的各级行列式因子，所以

()

A λ与它的标准形

()

B λ有相同

的行列式因子。显然()

B λ的各级行列式因子为：

()()()()()()()()()

1121212,,,r r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ=== .

所以

()

A λ的行列式因子也满足依次整除关系：

()()

1i i D D λλ+，1,2,,1i r =- .

（3）若

()

A λ行列式因子已求出，则不必再做初等变换也可求出

()

A λ的不变因子：

()()()()

()()()()

211211,,,r r r D D d D d d D D λλλλλλλλ-==

=

.

（4）两种极端情况下求行列式因子的简易方法：

若()A λ有一个k 级子式等于非零常数，则()()11

k D D λλ=== ；

若

()

A λ有两个k 级子式互素，则

()()11

k D D λλ=== .

3 将

()

A λ的各个不变因子在P 上作标准分解，凡幂指数为正的因式（在多个不变因子

中重复出现的要重复计算）都称为()

A λ的初等因子。

()

A λ的所有初等因子编在一块称为

()

A λ的初等因子组。

初等因子组的求法有两种： （1）分解不变因子法。

（2）先用初等变换将

()

A λ化为

()()()

()

120

0r c c C c λλλλ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

（不一定是标准形），

其中

()()()

12,,,r c c c λλλ 均为首一多项式。再将它们在P 上作标准分解，所有那些幂指数组为正的因式就构成

()

A λ的初等因子组。

4 若已知

()

A λ的秩r 和初等因子组，则可按下列步骤确定()

A λ的不变因子：

10

将同底初等因子按升幂排成一个r 元序列，不足r 个时就在前面添上若于个1，使之

构成r 元序列；

20

将上述各序列的的同序号元素相乘就得到()

A λ的全部不变因子。

三、数字方阵的特征矩阵 数字方阵n n

A C

⨯∈的特征矩阵E A λ-是一个λ-矩阵，我们称E A λ-的三种因子为

A 的三种因子。