随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分）

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)

e

λ。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

1

(sin(t+1)-sin t)2

ωω。 3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为

1

λ

的同一指数分布。 4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t

对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球

如果时取得红球如果t t t e t t X ,,

3

)(，则 这个随机过程的状态空间

2

12

t,t,;e,e 33

⎧⎫⎨⎬⎩⎭

。 6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，

n 步转移矩阵(n)

(n)

ij P (p )=，

二者之间的关系为(n)n P P =。 7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，

n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)

j i ij i I

p (n)p p ∈=⋅∑。

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}

(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥

(n)ij ij n=1

f f ∞

=∑，若ii f 1<，称状态i 为非常返的。

9．非周期的正常返状态称为遍历态。 10．状态i 常返的充要条件为

(n)

ii

n=0

p

∞

=∑∞。

二．证明题（每题6分，共24分）

1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

证明：左边=

P(ABC)P(ABC)P(AB)

P(C AB)P(B A )P(A)P(AB)P(A)

===右边

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<<

<<时，

1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤=

n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,

X(t )-X(0)=x )≤=

n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,

X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

()(n-)ij ik kj

k I

p p p

l l ∈=

∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

证明：{}

(n)

ij k I

P P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,

X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫

==⎨⎬⎩⎭={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑

=

{}{}k I

P X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑=(l)(n-l)ik kj

P

P ∑，其意义为n 步转移概率可以

用较低步数的转移概率来表示。

4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,

是一列独立同分布随机变量，且与

{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1

X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。

证明：由条件期望的性质[]{}

E X(t)E E X(t)N(t)=⎡⎤⎣⎦，而N(t)i i=1E X(t)N(t)n E Y N(t)n ⎡⎤

===⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

∑ =n i i=1E Y N(t)n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑=n i i=1E Y ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

∑=1nE(Y )，所以[]{}1E X(t)tE Y λ=。

三．计算题（每题10分，共50分）

1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H X(t)=t T

π⎧⎨

⎩ ,t (-,+)∈∞∞，设1

p(H)=p(T)=2，

求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； （2）当t=0时，{}{}1

P X(0)=0P X(0)=12

==

， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0

x<-11F(x;1)=1x<12x 11

⎧⎪⎪

-≤⎨⎪≥⎪⎩

2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。

解：设{}N(t),t 0≥是顾客到达数的泊松过程，2λ=，故{}k -4

(4)P N(2)=k e k!

=，则{}{}{}{}{}-4-4-4-4-4

3271P N(2)3P N(2)=0+P N(2)=1+P N(2)=2+P N(2)=3e 4e 8e e e 33

≤==+++

= 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设

0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00

011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6⎡⎤⎡⎤

=⎢

⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦，于是(2)

0.610.39P

PP=0.520.48⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)

0.57490.4251P P P 0.56680.4332⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)

00P 0.5749=。

4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。

解：一步转移概率矩阵0101

11P=33301

0⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

，

11

1333

(2)27119991

1133

3,⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=，

1

1