无限期限和世代交叠模型
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家庭更愿意接受其消费的更大的变动，以便充分利用其 贴现率与从储蓄中获得的报酬率中的微小差额。
特别地，在任何时间点上消费替代性等于1/ 2 。
瞬时效用函数的三个特征
◆如果 <1 ，C1 关于C是递增的；>1，则是递减
的。给C1 除以 可以确保无论取什么值，消费
的边际效用是正的。 ◆在 1的特殊情形中，瞬时效用函数可以简化为
这就是著名的非蓬齐条件。
家庭最大化问题
代表性家庭想在其预算约束限定下最大化其终身效用。为做到这一 点，我们需要用每单位有效劳动的消费与劳动去表示目标函数与预 算约束
将c(t)设为每单位有效劳动的消费。因此每工人的消费C(t),等于 A(t)c(t).家庭的瞬时效用函数等于：
C( t )1 [ A(t )c (t )]1
t 0 e R c ( t) te ( n g ) td k t ( 0 ) t 0 e R w ( t t) e ( n g ) td （2.14）
最后，由于 K( s) 与k(s)e(ng)s成比例。我们可以把预算约束
（2.10）的非蓬齐条件表达式改写为：
◆厂商的数量众多，生产函数为Y=F(K,AL),其特征与
第一章的假设相同。
◆ 厂商所处的要素市场和产品市场是竞争性的。 ◆厂商将A当做是固定的，A以g 的速率外生的增长。
的作用 决定在不同期间的意愿， 其越小，随着消费的上升，
边际效用的下降越慢，家庭越容许其消费随时间而变动。
如果 接近于零，例如效用关于C几乎是线性的，并因此
2.8假定 2.9家计行为 2.10经济动态 2.11动态无效的可能性 2.12Diamond模型中的政府
家庭
存在大量且同质的家庭，家庭的规模以n 的速度 增长，家庭的每一个成员在每个时点上供给一单 位的劳动。
家庭拥有初始资本量为K(0)/H初始资本量。
不存在折旧，家庭将其收入在消费和储蓄间进行 分配。以便其最大化其终身效用。
lim eR(s)e(ng)sk(s)0 （2.15） s
家庭行为
家庭的问题便是在预算约束（2.14 ）的限制下，选择
c(t) 的路径去最大化终身效用(2.12)。利用目标函数
(2.12)与预算约束（2.14）构造拉格朗日函数：
2.1 假设
家瞬庭时的效效用用函函数数采为 取： 如下U形式t ：0etu(C(t))LH (t)d（t2.1）
u(C(t))C(t)1 1
0 , n (1 )g 0
（2.2）
这个函数是著名的相对风险厌恶不变函数。
拉卡库模型的假设
厂商：
第二章:无限期限与时代交叠模型
◆拉姆塞-卡斯-库普曼模型 ◆Diamond（代蒙德）模型
拉姆塞-卡斯-库普曼模型
2.1 假设 2.2家庭与厂商的行为 2.3经济的动态学分析 2.4 福利 2.5 平衡增长路径 2.6贴现率下降的效应 2.7政府购买的效果
Diamond模型
t 0 e R c (tt)A (tH )L (t)d tk(0 )A (0 H )L (0 )t 0 w (t)A H (d t)tL （2.13） A(t)L(t) 等于 A(0)Le((0n)g)t。把这个事实带入 (2.13)，并给 两边除以A(0)L(0)/H。从而得到：
w (t)f(k(t) )k(t)f(k(t)) （2.5）
家庭的预算约束
家庭的预算约束是其终身消费的贴现值不能超过其 初始值的财富与其终身劳动收入的先值之和
t 0 e R （ t)C (t)L H (t) K H (0 )t 0 e R (t)W (t)L H (t)dt
s 0 H t 0
H
在s 时刻，家庭和资本持有量为：
K H (s ) e R s )K (H (0 )t s 0 e R (s ) R t)[ W ((t) C (t)L H ] ( t)d t
limeR(s) K(s)0
s
H
（2.10）
（2.10）表明，在极限时形式中家庭所持 有资产的现值不能是负的。
K H 0 ) ( ts 0e R t)[(W (t) C (t)L ]H (t)d t0 （2.7）
我们可以写出从t=0倒 t= 的积分形式的一种极限。则（2.7）等价
于：
lim [K (0 )Se R (t)[W (t) C (t)L ](t)d t ]0 （2.8）
t
0
e
t
[
A(0)1
e (1 ) gt
c (t )1
1
] L(0)ent H
dt
A(0)1 L(0) H
t0
e
t
源自文库
e
(1
)
Rt
e
nt
c (t )1
1
dt
B
t
0
e
t
c (t )1
1
dt
（2.12）
现在考虑预算约束(2.6)。在t时刻，家庭的总消费等于每单位有效劳动的消费乘 以家庭的有效劳动量。同理，在t时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的 工资乘以家庭的有效劳动量。因此可以把（2.6）改写成：
lnc 。
◆ n(1)g0确保终身效用不会发散，否则，家庭
可以获得无限的终身效用，并且其最大化问题不会 有良好的定义。
2.2 家庭与厂商的行为
厂商：
由于产品市场和要素市场都是竞争性的，因而厂商 的利润为零
真实利率是 r(t)f(k(t))
（2.3）
真实工资是 W (t) A (t)f[ (k (t) k (t)f(k (t))]（2.4） 每单位有效劳动的工资是
1
1
[ A(0)e Rt ]1
1
A(0) 1- e (1 ) gt c (t )1
1
（2.11）
把（2.11）以及事实 L(t)L(0)en带t 入目标函数（2.1）-（2.2）中，
得到：
U
t
0
e
t
C (t)1
1
L(t) dt H
特别地，在任何时间点上消费替代性等于1/ 2 。
瞬时效用函数的三个特征
◆如果 <1 ，C1 关于C是递增的；>1，则是递减
的。给C1 除以 可以确保无论取什么值，消费
的边际效用是正的。 ◆在 1的特殊情形中，瞬时效用函数可以简化为
这就是著名的非蓬齐条件。
家庭最大化问题
代表性家庭想在其预算约束限定下最大化其终身效用。为做到这一 点，我们需要用每单位有效劳动的消费与劳动去表示目标函数与预 算约束
将c(t)设为每单位有效劳动的消费。因此每工人的消费C(t),等于 A(t)c(t).家庭的瞬时效用函数等于：
C( t )1 [ A(t )c (t )]1
t 0 e R c ( t) te ( n g ) td k t ( 0 ) t 0 e R w ( t t) e ( n g ) td （2.14）
最后，由于 K( s) 与k(s)e(ng)s成比例。我们可以把预算约束
（2.10）的非蓬齐条件表达式改写为：
◆厂商的数量众多，生产函数为Y=F(K,AL),其特征与
第一章的假设相同。
◆ 厂商所处的要素市场和产品市场是竞争性的。 ◆厂商将A当做是固定的，A以g 的速率外生的增长。
的作用 决定在不同期间的意愿， 其越小，随着消费的上升，
边际效用的下降越慢，家庭越容许其消费随时间而变动。
如果 接近于零，例如效用关于C几乎是线性的，并因此
2.8假定 2.9家计行为 2.10经济动态 2.11动态无效的可能性 2.12Diamond模型中的政府
家庭
存在大量且同质的家庭，家庭的规模以n 的速度 增长，家庭的每一个成员在每个时点上供给一单 位的劳动。
家庭拥有初始资本量为K(0)/H初始资本量。
不存在折旧，家庭将其收入在消费和储蓄间进行 分配。以便其最大化其终身效用。
lim eR(s)e(ng)sk(s)0 （2.15） s
家庭行为
家庭的问题便是在预算约束（2.14 ）的限制下，选择
c(t) 的路径去最大化终身效用(2.12)。利用目标函数
(2.12)与预算约束（2.14）构造拉格朗日函数：
2.1 假设
家瞬庭时的效效用用函函数数采为 取： 如下U形式t ：0etu(C(t))LH (t)d（t2.1）
u(C(t))C(t)1 1
0 , n (1 )g 0
（2.2）
这个函数是著名的相对风险厌恶不变函数。
拉卡库模型的假设
厂商：
第二章:无限期限与时代交叠模型
◆拉姆塞-卡斯-库普曼模型 ◆Diamond（代蒙德）模型
拉姆塞-卡斯-库普曼模型
2.1 假设 2.2家庭与厂商的行为 2.3经济的动态学分析 2.4 福利 2.5 平衡增长路径 2.6贴现率下降的效应 2.7政府购买的效果
Diamond模型
t 0 e R c (tt)A (tH )L (t)d tk(0 )A (0 H )L (0 )t 0 w (t)A H (d t)tL （2.13） A(t)L(t) 等于 A(0)Le((0n)g)t。把这个事实带入 (2.13)，并给 两边除以A(0)L(0)/H。从而得到：
w (t)f(k(t) )k(t)f(k(t)) （2.5）
家庭的预算约束
家庭的预算约束是其终身消费的贴现值不能超过其 初始值的财富与其终身劳动收入的先值之和
t 0 e R （ t)C (t)L H (t) K H (0 )t 0 e R (t)W (t)L H (t)dt
s 0 H t 0
H
在s 时刻，家庭和资本持有量为：
K H (s ) e R s )K (H (0 )t s 0 e R (s ) R t)[ W ((t) C (t)L H ] ( t)d t
limeR(s) K(s)0
s
H
（2.10）
（2.10）表明，在极限时形式中家庭所持 有资产的现值不能是负的。
K H 0 ) ( ts 0e R t)[(W (t) C (t)L ]H (t)d t0 （2.7）
我们可以写出从t=0倒 t= 的积分形式的一种极限。则（2.7）等价
于：
lim [K (0 )Se R (t)[W (t) C (t)L ](t)d t ]0 （2.8）
t
0
e
t
[
A(0)1
e (1 ) gt
c (t )1
1
] L(0)ent H
dt
A(0)1 L(0) H
t0
e
t
源自文库
e
(1
)
Rt
e
nt
c (t )1
1
dt
B
t
0
e
t
c (t )1
1
dt
（2.12）
现在考虑预算约束(2.6)。在t时刻，家庭的总消费等于每单位有效劳动的消费乘 以家庭的有效劳动量。同理，在t时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的 工资乘以家庭的有效劳动量。因此可以把（2.6）改写成：
lnc 。
◆ n(1)g0确保终身效用不会发散，否则，家庭
可以获得无限的终身效用，并且其最大化问题不会 有良好的定义。
2.2 家庭与厂商的行为
厂商：
由于产品市场和要素市场都是竞争性的，因而厂商 的利润为零
真实利率是 r(t)f(k(t))
（2.3）
真实工资是 W (t) A (t)f[ (k (t) k (t)f(k (t))]（2.4） 每单位有效劳动的工资是
1
1
[ A(0)e Rt ]1
1
A(0) 1- e (1 ) gt c (t )1
1
（2.11）
把（2.11）以及事实 L(t)L(0)en带t 入目标函数（2.1）-（2.2）中，
得到：
U
t
0
e
t
C (t)1
1
L(t) dt H