解直角三角形及其应用(1)湘教版
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》(第1课时)教学设计
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了直角三角形的性质、勾股定理等知识。
本节课主要让学生掌握解直角三角形的应用，即如何利用直角三角形的性质解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生学会运用解直角三角形的方法解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有一定的了解。
但是，他们在解决实际问题时，往往不知道如何将数学知识运用到具体情境中。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的应用方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出解决方案。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、直角三角板等教学工具。
2.学生准备：课本、练习本、直角三角板等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量旗杆高度、房屋面积等，引导学生发现这些问题都可以通过解直角三角形来解决。
从而激发学生的学习兴趣，引入新课。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题干，分析问题。
然后，教师通过讲解，展示解直角三角形的步骤和方法。
1.1 解直角三角形及应用 课件(湘教版九年级上)
B
B C
1，审题，画图 .
C
38 ° 60°
A
D E
A F
D
23 °
B α A β D
BD AD tan a 120 tan 30 120
3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60 120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
C
160 3 277.1
2
锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º a c
3
边角之间的关系: sinA＝
cosA＝ b c a tanA＝ b
其中∠ A可以换成 ∠ B
热身抢答赛
3 1，填空：sin 60 ° = ，tan 30 ° = 2 .
1 2，填空：若tanA= 3 ,则∠A= 60 ° ; cosB= ,则∠B= 60 ° 2
观察△ABC是直角三 构造直角三角形 过点 A 作 AD ⊥ BC 角形吗？
该实际问题可转换为 已知在Rt△ACD中, ∠DCA= 45°, BC=15×20/60=5k D m
45º
在Rt△ADB中,∠DBA= 30°,
又BC=5km, 求AD的长
实际问题的应用-拓展提升
如图所示，山坡上有一颗与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮 斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面。已知山坡的坡角 ∠AEF=23 ° ，量得树干倾斜角度∠BAC= 38 ° ，大树被折断部分和坡面所 成的角∠ADC=60 ° ，量得AD=4 m . (1)求∠CAE的度数； (2)求这棵大树折断前的高度。 (精确到1m)
∠B，b，c.
解: B 90 A 90 30 60. 又 ∵ tan B = b , a 注意： ∴ b = a tan B 1，当已知或求解中有斜边，用正 = 5 tan 60 = 5 3 . 弦或余弦，没有斜边用正切。 2，已知或中间数据皆可时，尽量 用已知数据，避免累积误差。 ∵ sin A = a , 3，乘除运算皆可时选乘法。 c ∴ c = a = 5 = 5 = 10. sin A sin 30 1 2
湘教版九年级数学上册《 解直角三角形的应用(1)》课件
练习 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆
顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆
高度（精确到0.1m）
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°， BC=DC=40m
在Rt△ACD中 tanADC AC
DC
A
A C ta n A D C D C
B
ta n 5 4 4 0 1 .3 8 4 0 5 5 .2
本章内容 第4章
锐角三角函数
本课节内容 解直角三角形的应用 4.4
子目内容 解直角三角形的应用 4.4.1 ———仰角 俯角
复习提问
在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
1.三边之间的关系是什么？
a2 b2 c2
A
2.两锐角之间的关系呢?
∠A＋∠B＝90°
b
c
3.边角之间的关系呢？
∠BAC ＝25°， AC ＝ 1000 m， 因此
tan250 =BC= BC. AC 1000
从而BC≈1000 × tan 25°≈466.3（m）． 因此，上海东方明珠塔的高度
BD ＝ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468（m）．
答： 上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
练习
如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成 30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的 距离.
Ca
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
新课引入
某探险者某天到达如 图所示的点A 处时，他准备 估算出离他的目的地——海 拔为3 500 m 的山峰顶点B 处的水平距离. 他能想出一 个可行的办法吗？
解直角三角形及其应用课件湘教版
A的邻边 斜边
3.边角之间 的关系
正切函数：tan
A
A的对边 A的邻边
余切函数：c ot
A
A的邻边 A的对边
2019年12月7日11时7分
11
B
C
A 30, B 90 A 60
2019年12月7日11时7分
5
解直角三角形的依据
在Rt△ABC中，若∠C=90°， ∠A 、 ∠B 、 ∠C所对的边分别 为a 、b 、c ，AB边上的高为h
(1) 三边间的关系:a2+b2=c2(勾股定理)
(2) 锐角间的关系:∠A+ ∠B=90°
AC 4 2 AB AD BD 4 4 3, ACB 180 45 30
30°
B
2019年12月7日11时7分
7
如图，我军某部在一次野外训练中，
有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚 和山顶的水平距离为1000米，山高为565 米．如果这辆坦克能够爬30０的斜坡，试 问：它能不能通过这座小山?
2019年12月7日11时7分
4
例1 如图所示，在 Rt △ABC中，∠ C = 90，AC 6 ，AB 2 2 ,求∠A，∠ C。
A
解:在Rt△ABC中
BC AB2 AC2 (2 2)2 ( 6)2 2
22
6
sin A BC 2 1 ,且A为锐角,
AB 2 2 2
解直角三形及其应用
2019年12月7日11时7分 1
1.计算： 1 2-
3
sin 2
30
sin 2
60
3 tan 30
九年级数学上册 4.4 解直角三角形应用课件 (新版)湘教版
β
C
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
A
9
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察 旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
A
B
D
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
40
C
10
（2007年昆明）如图，AB和CD是同一地面上的 两座相距36米的楼房,在楼AB的楼顶A点测得楼 CD的楼顶C的仰角为450，楼底D的俯角为300， 求楼CD的高？(结果保留根号)
最器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高 楼的水平距离为120m, 这栋高楼有多高?
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 4
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪 CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线 杆AB的高．（精确到0.1米）
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
A
D 30°
C E
x x
F B
8
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
4.4解直角三角形的应用
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
1
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
4.4 解直角三角形的应用 课件 2024-2025学年数学湘教版九年级上册
答:斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20 m.
利用方位角解直角三角形
[例 2] (2023 邵阳)如图所示,一艘轮船从点 A 处以 30 km/h 的速度向正东方向航行,在 A 处
测得灯塔 C 在北偏东 60°方向上,继续航行 1 h 到达 B 处,这时测得灯塔 C 在北偏东 45°方
向上,已知在灯塔 C 的四周 40 km 内有暗礁,问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全?并说
明理由(参考数据: ≈1.414, ≈1.732).
解:安全.理由如下:过点 C 作 CD 垂直 AB 于点 D,如图所示.
由题意,可得∠CAD=90°-60°=30°,
∠CBD=90°-45°=45°,AB=30×1=30(km),
m(结果精确到1 m.参考数据:sin 83°≈
0.99,cos 83°≈0.12,tan 83°≈8.14).
2.(2023淮安)如图所示,湖边A,B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A,B两点
之间的距离,经测量得∠BAC=37°,∠ABC=58°,AC=80 m,求A,B两点之间的距离(参考数据:
答:“一心阁”CH 的高度约为 27.3 m.
第2课时
与坡度、方位角有关的应用问题
1.坡度与坡角
(1)坡面的 铅直 高度 h 和 水平 长度 l 的比叫作坡度,用字母 i 表示,即 i=
(坡度通
常写成 1∶m 的形式). 坡面 与 水平面 的夹角叫作坡角,记作α,坡度等于坡角的 正切 ,
即 i= =
∴
= .∴AD= CD=20 (m).
∴AB=AD-BD=20 -20≈14.6(m).
4[1].3 解直角三角形及其应用1湘教版
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从而
答：这根电线杆与这座楼的距离约为112m.
图4-26
例1
如图4-27，一艘轮船航行到B处时，灯塔A在船 的北偏东 6 0 的方向，轮船从B处向正东方向行驶 2400m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向.求C处 与灯塔A的距离(精确到1m).
答： A C
= 2 4 0 0 ta n 6 0 = 4 1 5 7 (m ) .
i h l
图4-30
坡度通常写成 1 : m 的形式． 图4-30中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角). 显然，坡度等于坡角的正切. 坡度越大，山坡越陡.
图4-30
例6 如图4-30， 一山坡的坡度 i = 1:1.8，小刚 从山坡脚下点P上坡走了24m到达点N，他上升了 多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多少度 (精确到1′)？
图4-26
解:
在Rt△ABC中，∠C = 90°，
AC=28.5+1.5=30(m)， B A C = 9 0 - 1 5 = 7 5
由于BC是∠BAC的对边，AC是邻边，
因此
ta n 7 5 = B C = B C . AC 30
B C = 3 0 ta n 7 5 1 1 2 ( m ) .
角 sin = 的对边
, , .
其中∠A可以换成∠B.
图4-35
例3 如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸 成 30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸 的距离.
?
图4-25
解: 从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 由于BC是∠A的对边，AB是斜边，因此
九年级数学上册4.3解直角三角形及其应用教案湘教版
九年级数学上册4. 3解直角三角形及其应用教案湘教版教学目的1八（知识）使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股立理，直角三角形的两个锐角互 余及锐角三角函数解直角三角形。
2、 （能力）通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐 步培养学生分析问题、解决问题的能力。
3、 （徳育）渗透数形结合得数学思想，培养学生良好的学习习惯。
垂点难点重点是直角三角形的解法；难点是三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
学生可能不理解在已知 的两个元素中，为什么至少有一个是边教学过程：（-）明确目标1、结合图形指出在三角形中共有几个元素？2、直角三角形ABC 中，ZC = 90\ a 、b 、c, ZA 、ZB 这五个元素间有哪些等量关系呢?（1） 三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 （勾股定理）（2） 锐角之间关系ZA+ZB=90°（3） 边角之间关系.」乙4的对边 」ZA 的邻边 _ZA 的对边 sinA------- . . -------- cosA —. ------ . ■:. ----- tan ------------- ,. , ..斜边 斜边 ZA 的邻边英中A 可以换为B以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。
（二） 整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固。
同时，「本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课一解 直角三角形一的，知识来解决的。
综上所述，解宜角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要「一课。
（三） 重点、难点的学习与目标完成过程 1、 我们已掌握RtZABC 的边角芙系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元 素（至少又一个是边）后，就可求出其余的元素。
这样的导语即可以「使学生大概了解解直角三角形的概 念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情。
43解直角三角形及其应用1湘教版PPT课件
14
感谢聆听
The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film
讲师：XXXX
日期：20XX.X月
15
又∵BF=4
∴AF=8
∵CE：DE=1：3
∵CE=4
B
∴DE=12 ∵ BC=4.5
i=1：2
∴EF=4.5 ∴AD=AF+EF+DE
=8+4.5+12
A F
=24.5（米）
答：坝底宽AD为24.5米。
C i=1：3
E
D
h
α
L
1、斜坡的坡度是1 : 3 ，则坡角α=______度。
2、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面3米高的地方，则物体通过的路程 为 _______米。
坡面与水平面夹角叫做坡角，记作a，
h
有i＝ =tan a
l
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
坡度通常写成1∶m的形式，
如i=1∶6.
i=h：l
h
α
l
例1、一段河坝的断面为梯形ABCD，BC=4.5 高为4米，试根据图中的数据，求出坝底宽AD。
解：作BF⊥AD于F ，CE ⊥AD于E
∵BF：AF=1：2
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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【湘教版】九年级数学上册 4.4《解直角三角形的应用 一》精品教学案
湘教版九年级上册数学教案4.4解直角三角形的应用（1）教学目标1.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．2.逐步培养学生分析问题.解决问题的能力.3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识.重点难点重点：善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．难点：根据实际问题构造合适的直角三角形.教学设计一.预习导学学生通过自主预习教材P125-P126完成下列问题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）.在Rt∆ABC中，∠C=90010，求a.1.若∠A=600，b=32.若∠B=350，c=8，用计算器求 a的值（结果精确到0.1）设计意图：复习导入，回顾解直角三角形的相关知识，为解直角三角形的应用做铺垫.二.探究展示(一)合作探究某探险者某天到达点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B 处的水平距离（图见课本125页的图4-15）.你能帮他想出一个可行的办法吗？探究讨论：先把图4-15抽象，并构造出直角三角形.（引导学生一起把实景图抽象成右图，教师点拨，学生动手.）如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，过点A 作AC⊥BD即可以构造出直角三角形.在Rt∆ABC中，AC表示A处离B处的水平距离，要求AC，只需测出仰角∠BAC和A.B的相对高度AC即可.如果测得点A 的海拔AE=1600m ，仰角∠BAC=400，求A.B 两点之间的水平距离AC （结果保留整数）.学生上台展示因此，A.B 两点之间的水平距离AC 约为2264m. (二)展示提升(首先组内讨论，然后分组上台讲解，其他学生补充、质疑，老师适时点拨、追问，引导学生总结解题方法).1.在离上海东方明珠塔底部1000m 的A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为250，仪器距地面高AE 为1.7m ，求上海东方明珠塔的高度BD （结果精确到1m ）.设计意图：熟悉俯角、仰角的概念（都是视线与水平线的夹角），在解直角三角形题的基础上，稍加难度，学会用解直角三角形的相关知识，解决实际问题.2.某厂家新开发的一种电动车的大灯A 射出的光线AB.AC 与地面MN 所成的夹角∠ABN 、∠ACN分别为80和150，大灯A 与地面的距离为1m ，求该车大灯照亮地面的宽度BC （不考虑其他因素，结果精确到0.1m ）.设计意图：BC 不是直角三角形的一边，所以不能直接求出.设计本题的目的在于让学生学会做辅助线构造直角三角形，并能通过解两个直角三角形来解决问题.通过质疑、追问，总结解直角三角形的应用题一般步骤：（1）将实物图形转化为几何图形.（2）将自然语言转化为数学语言.m BAC BC AC ACBC BAC ，ABC Rt m AE BD BC BAC BD AC m AE m BD 226440tan 1900tan tan 1900,40,,1600,350000≈=∠==∠∆=-=∴=∠⊥==中在（3）解直角三角形，求得解.（4）总结作答.三.知识梳理以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.求某些不便直接测量的物体的高或距离时，可以根据实际问题构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法来求.解直角三角形的应用题一般步骤：（1）将实物图形转化为几何图形.（2）将自然语言转化为数学语言.（3）解直角三角形，求得解.（4）总结作答.四.当堂检测1.一艘游船在离开码头A后，以和河岸成300角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC.设计意图：这是解直角三角形的简单应用，直接利用解直角三角形的知识就可以求得.是展示提升题中的第1题的巩固.2.有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=120，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为50.①求坡高CD（结果精确到0.1m）；②求斜坡新起点A与原起点B的距离（结果精确到0.1m）.设计意图：这道题要在Rt∆ACD中求得AD，在Rt∆BCD中求得BD的长，然后再求AB.是展示提升题中的第2题的巩固练习.五.教学反思本节课通过实例让学生更深刻地理解和运用解直角三角形，把现实生活中的实际问题，抽象.转化为数学问题，从而利用解直角三角形的方法来解决.使学生在解决问题的同时，吸收数学中的转化思想，建模思想把现实问题通过数学模型转化为数学问题.。
4.4 解直角三角形的应用 (课件)2024-2025湘教版 数学九年级上册
BD＝BC－DC＝
AC·ta1nα
－
1 tanβ
，
AG＝AC＋CG＝
AC＋BE
课堂新授
续表
图形
关系式
BC＝BD＋DC ＝AD·
ቆ1 ＋ tanα 1 ቇ
tanβ
图形
关系式
BC＝BE＋EF＋CF ＝BE＋AD＋CF＝
AD＋h· 1＋1 tanα tanβ
课堂新授
特别提醒 1. 当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，
感悟新知
在 Rt△ BCQ 中，∠BQC＝45°， ∴∠QBC＝45°＝∠BQC，∴CQ＝BC＝225 m. ∴PC＝PQ＋CQ＝425 m. 在 Rt△ PCA 中，tan∠APC＝tan15°＝APCC＝4A2C5≈0.27， ∴AC≈114.75 m. ∴AB＝BC－AC≈225－114.75＝110.25(m)≈110 m. ∴奇楼 AB 的高度约为 110 m.
∴ BF＝BC·si授
在Rt△AFB中，∵∠A＝30°，
∴ AB＝2BF＝200 2 m.
计算结果必须根据
又∵ AD＝18 2 m，BE＝32 2 m， 题目要求进行保留.
∴ DE＝AB－AD－BE＝200 2－18 2－32 2＝150 2(m)，
1. 仰角和俯角的定义： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方
的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角.
课堂新授
特别提醒 ◆仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置
的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”. ◆实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形
中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.
∵ 150 2÷10=15 2≈ 21.3(m)，
4.3解直角三角形及其应用课件(1)湘教版
2019年2月1日9时33分
1
1 3 1.计算： sin 2 30 sin 2 60 t an30 2- 3 cos60 1 2.计算： 1 sin 60 t an30
2019年2月1日9时33分
2
(1)直角三角形的三边有什么关系?
a 2 b2 c 2 (勾股定理 )
11
2019年2月1日9时33分
如图，我军某部在一次野外训练中， 有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚 和山顶的水平距离为1000米，山高为565 米．如果这辆坦克能够爬30０的斜坡，试 问：它能不能通过这座小山?
2019年2月1日9时33分
8
2019年2月1日9时33分
9
回顾与小结：2019年2月1日9时33分
与同学交流，谈谈你在本节课中学到哪些 知识？
(2)直角三形的锐角之间有什么关系?
A B 90
(3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系?
sin A
A的对边 斜边 A的对边 t an A A的邻边
A的邻边 斜边 A的邻边 cot A A的对边 cos A
3
2019年2月1日9时33分
想一想
抽 象
在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道 其中的2个元素(至少有一个是边），求出其余的3个元BC
2019年2月1日9时33分
1 1 ab ch 2 2
6
例2 如图，在△ABC中，∠A=45° ， ∠B=30°，BC=8 ，求 ∠ACB及AC、AB的长。
C
解：过C作CD⊥AB于D点。 在Rt △BCD中，∠B=30°， BC=8 ∴CD=4.
A 45° D 30° B
(课件1)4.3解直角三角形及其应用1湘教版
（２）直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90º .
C
b
A
（３）直角三角形边与锐角之间有什么关系？
sin A
tan A
A 的对边
斜边 A 的对边
A 的邻边
.
cos A
A 的邻边 斜边
.
．
根据下列每一组条件，能画出多少个直角 三角形（全等的直角三角形算一个）？
做一做
考虑
如果知道的2个元素都是角， 能求出直角三角形的边吗？
例 题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90º ， ∠A =30º ，a=5,求∠B 、b、 c。
B
c
a
解 B 90 A 90 30 60
又 tan B
b a
,
C 3 A
b
b a tan B 5 tan 60 5 sin A c a sin A a c 5 sin 30 5 1 2 10
田心中学 邓日善
B c
在直角三角形中，除 了直角外还有哪些边 角元素？
a
C
b
A
（1）∠A，∠B （2）a ，b, c
如图，在Rt △ABC 中， ∠C= 90º ∠A 、 ， 说一说 ∠B 、∠C 的对边分别记作a、 b、c．
B （1）直角三角形三边之间有什么关系？
a c
勾股定理
a b c .
２．如图，在Rt △ABC 中， ∠C= 90º ， 例 a=15.6cm，b=8.50cm, 求c 、∠A、 ∠B 题 (长度精确到0.01cm，角度精确到1')．
解
c
a b 15.60 8.50 17.77 cm .
湘教版九年级上册第四章解直角三角形及应用
2019年3月20日9时27分
解直角三角形依据下列关系式 1、三边之间的关系：
B a C b c A
a b c (勾股定理）
2 2 2
2、两锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90° 3、边角之间的关系：
a sin A cos B , c a 1 tan A , b tan B
度为1m,在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前 进16m到达D,在D处测得塔顶A的仰角为45°, 求铁塔AB的高。 A 分析： 解决此题的关键是什么？ 根据题意画出 几何模型
E C 实际问题 建立几何模型
30º F 45º
G B
D 数学问题
转化
2019年3月20日9时27分
回顾与小结：
与同学交流，谈谈你在本节课中学到哪些知识？
用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤： 建立几何模型 转化
实际问题
数学问题
1、根据题意，画出图形；
步 骤
2、根据图形，写出已知； 3、写出解题过程求得答案；
4、做答。
解直角三角形
布置作业：
2019年3月20日9时27分
1、为了测量顶部不能到达的建筑物AB的高度，现在地 平面上取一点C,用测量仪器测得A点的仰角为45°,再向 前行走20m取一点D，使点D在BC的延长线上,此时测得 A点的仰角为30°,已知测角仪器的高为1.5m,求建筑物 A AB的高度。
b sin B cos A , c
2019年3月20日9时27分
在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线下方的叫做俯角. 视线在水平线上方的叫做仰角；
视线 铅 直 线 视线 仰角 俯角 水平线
2019年3月20日9时27分
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总结 1. 在直角三角形中，除直角外的5个元素，只要知道 其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其 余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.
2、解直角三角形依据下列关系式：如图4-35，
a2 + b2 = c2 (勾股定理)，
A + B = 90 ,
角 sin =
1个 1个 1个 1个
结论
在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个 锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，利 用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素，这叫 作解直角三角形.
动脑筋
如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三 角形的边吗？
不能. 因为此时的直角三角形 有无数多个.
c a 2 + b 2 15.60 2 + 8.50 2 17.77 ( cm ) .
由于 ta n A = a = 1 5 .6 0 1 .8 3 5 3 ,
b 8 .5 0
因此 从而
A 61 25 . B 90 61 25 28 35 .
解直角三角形在日常生活中有着广泛的应用.
A 10m C B
24m
10m 24m
例2
如图4-24，在Rt△ABC中， C 90 , A 30 ,
a=5，求∠B，b，c.
解:
B 90 A 90 30 60 .
又 ∵ ta n B = b ,
a
∴ b = a ta n B
答：
b A B , = = =
7 .6 3 c m 3 7 1 9 5 2 4 1
, .
3. 在Rt△ABC中， C 90 , A 30 ,c = 15.68cm， 求∠B ， a，b (长度精确到 0.01cm). 答： B
a b = = =
60 , 7 .8 4 c m , 2 .8 c m .
本节内容 本课内容 4.3
解直角三角形及其应用
说一说
如图4-23，在直角三角形ABC中，∠C=90°， ∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
图4-23
1. 直角三角形的三边之间有什么关系？
a +b =c (勾股定理)
2
2
2
图4-23
2. 直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90°.
图4-23
3. 直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
sin Α = Α c o s Α = ta n Α =
的对边 斜边 Α 的邻边 斜边 Α 的对边 邻边
. .
图4-23
.
做一做
根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形 (全等的直角三角形算一个)？
= 5 ta n 6 0 = 5 3 .
图4-24
∵ sin A = a ,
c
a 5 = 5 = 10. ∴ c = sin A = 1 sin 3 0 2
例3 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =15.60cm， b=8.50cm，求c，∠A，∠B(长度精确到0.01cm)， 角度精确到1′). 解:
c o s = ta n =
的对边 斜边 的邻边 角 斜边 的对边 角 邻边, , .其中∠A Nhomakorabea以换成∠B.
图4-35
结
束
练习
1. 在Rt△ABC中， C 90 , B 45 ,b=3cm， 求∠A，a，c (精确到0.01cm). 答：
A = 45 a ,
= 3 cm ,
c = 4 .2 4 cm .
2. 在Rt△ABC中， C 90 , a=5.82cm，c=9.60cm， 求b，∠A ，∠B (角度精确到1′，长度精确到 0.01cm).
（1）一个锐角为 40°；
（2）一个锐角40°，它的邻边长为3cm；
无数个
1个 1个 1个
（3）一个锐角40°，它的对边长为3cm；
（4）一个锐角40°，斜边长为3cm；
（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.
1个
做一做
从这些问题的结论，你猜想有什么规律？ 这个猜想正确吗？
（1）一个锐角为 40°； 无数个 （2）一个锐角40°，它的邻边长为3cm； （3）一个锐角40°，它的对边长为3cm； （4）一个锐角40°，斜边长为3cm； （5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.