2气体动理论
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2
§2.8 范德瓦耳斯方程 §2.9 气体分子的平均自由程 △§2.10 输运过程 【演示】空气粘滞（卧式转盘）
3
§2.1 理想气体的压强 【演示】气体压强模拟 一、理想气体的微观假设 1、关于每个分子力学性质的假设 （1）质点 (分子线度<<分子间平均距离) （2）遵从牛顿力学规律 （3）除碰撞瞬间，分子间、分子与器壁间无相 互作用力。 （4）分子间、分子与器壁间的碰撞—弹性碰撞
vp
2kT m
2 RT RT 1.41 M M
32
同种气体不同温度的分布：
f(v)
T1
v p 1.41 kT m
T2 >T1
T2 T1 v p 2 v p1
v
0
vp1 vp2
0
f (v ) d v 1
【思考】画出相同温度不同m气体的速率分布。
33
四 、用分布函数计算与速率有关的物理量在速 率 0 ~ 区间内的平均值
m－分子质量
N—分子总数 V—体积
N —分子数密度 n V Ni —速度为 v i 分子数密度 ni V
n ni , N N i
i i
6
A
v i t
一个分子对A冲量： x 2m vix
t 内所有v i 分子对A冲量：
I i ( ni v ix tA)( 2mv ix ) 2ni mv tA
W
W (v ) f (v ) dv
0
其中，分布函数已归一化
一般情况下
0
f (v ) d v 1 。
W
0
W (v ) f (v ) dv
0
f (v ) dv
34
证明：
dNv W W (v ) N 0
dNv W (v ) N d v d v W ( v ) f ( v ) d v
2 ix
v ix t
t 内所有分子对A冲量： 2 1 I I i I i tAm ni v ix 2 i v 0 i
ix
F I m n v 2 压强： P i ix A tA i
7
求统计平均值：
ni 2 2 P m n v nm v ix nm v x n i i
微观大： 标准状态下空气 19 -3 n 2.7 10 cm 10 N n V 2.7 10 涨落0
9
v ix t
§2.2 温度的微观意义
P 2 n t （统计力学） 3 P nkT （热力学）
3 kT t 2
热力学温度是分子平均平动动能的量度。 下面会看到，分子热运动的平均转动和平 均振动动能，也都和温度有关。 温度反映了物体内部分子无规则运动的激 烈程度。 10
v1
v2
正确结果为：
W v1 ~ v 2 W (v ) f (v )dv
v1 v2 v2
f (v )dv
0
v1
W 0 ~ W (v ) f (v )dv
17
平动 + 转动 + 振动 （1）平动自由度为3 （2）转动自由度 非直线型分子（如H2O）转动自由度为3 z 对称轴 1 I 3、多原子分子
2
H
O
.
.
H
.
1 I 2
y
x
1I 2
r 3 , ( , , )
18
直线型分子（如CO2）转动自由度为2 （3）振动自由度
16
本体坐标系
振动自由度为1
m1
微振动～简谐振动
1 v2 动能 2
？
m2
势能 1 2 2
2个平方项
振动自由度 s 1，但 s 2 s kT kT 。 2 双原子分子的平均能量
t r 2 s kT 3 2 2 1 kT 7 kT
2 2 2
（1）温度描述热力学系统的平衡态
（2）温度是一个统计概念，描述大量分子的 集体状态。 （3）温度所反映的运动，是在质心系中表现 的分子的无规则运动（热运动）。 1 3 2 方均根速率： 由 m v kT 2 2
v rms v
2
3kT m
3 RT RT 1.73 M M
11
§2.3 能量均分定理 一个分子的能量，总能写成关于坐标和速度 的平方项之和： 1 m (v 2 v 2 v 2 ) 质心平动动能： y z x
0
0
dNv 其中 f (v ) ，满足 f (v ) d v 1 。如 果 Ndv 0 不归一化，则有 归一化 W (v ) f (v ) dv 0 W f (v ) dv
0
35
例. 计算物理量 W（v）在速率区间v1v2内按 速率的平均值。
解： v1 ~ v 2 W (v ) f (v )dv 对吗？ W
1 mv 2 1 kT x , y , z 2 , 2
一般地，后面将证明： 在温度 T 的平衡态下，分子能量表达式中 任何一个平方项的统计平均值都等于 1 kT。 2
13
一、气体分子的自由度（degree of freedom） 力学对自由度的定义：确定物体空间位置的 独立坐标的数目。
26
速率分布函数的含义：
d Nv f (v ) N dv
在速率v附近，单位速率区间内的分子数占 分子总数的百分比。 对于一个分子，其速率处于v附近单位速率 区间的概率 — 速率分布的 “概率密度”。 v2 【思考】 f (v ) d v 的物理含义? v1 27
归一化条件：
因为
0
x 2
2
x 12 0 x e d 2 3 4 x 2 x e dx 5 2 0 8
3 x 2
30
验证归一化：
m f ( v ) 4 2 kT
3/ 2
v e
3/ 2
2
m v 2 / 2 kT
0
m f (v ) d v 4 2 kT
直接给出速率分布律。讲完玻耳兹曼分布律 后推导。自学：速度分布律，速度分布律 速率分布律。
25
二、速率分布函数
vz
dv
速率分布函数：
(v x , v y , v z )
v
d Nv
d Nv f (v ) N dv
d N v ：速率 v v dv
vx
内的分子数
vy
速度空间
N ：分子总数
和固体）分子的每一个自由度的平均动能都 1 kT。 相等，而且都等于 2 分子运动总平均能量：
i kT , i t r 2s 2
物理解释：分子频繁碰撞，统计地看，能量在 各个自由度上均分。转动？振动？§2.6证明。
21
平动能量连续
转动能级间隔小
振动能级间隔大
10 ~ 10 eV
2
4
2、关于分子集体运动的统计假设
（1）通过碰撞分子速度不断变化 （2）无外场时，平衡态分子按位置均匀分布
dN N n dV V
（3）平衡态分子速度取向各方向等概率
v x v y vz 0
1 v2 v x v y vz 3
2 2 2
5
二、理想气体压强公式的推导
平衡态 忽略重力 分子看成质点
非直线型分子（如H2O）
由n（>2）个原子组成的分子，一般最多有 3n个自由度，其中3个平动，3个转动，其余为 振动自由度 s 3n 6，例如n=3
s 3 3 6 3 t r 2 s kT 2 3 3 2 3 kT 6kT 19 2
直线型分子
s 3n 5
例如CO2 s 3 3 5 4
O=C=O
对称伸缩
O=C=O
反对称伸缩
O=C=O
面内变形 分子的平均能量：
O=C=O
面外变形
t r 2 s kT 3 2 2 4 kT 13 kT 2 2 2
20
二 、能量均分定理
在温度 T 的平衡态下，物质（气体、液体
平动 + 转动 + 振动
刚性分子：平动 + 转动 平动自由度为3
m1
平动 t 3 , ( x, y, z )
m2
C ( x, y, z ) 质心
15
转动自由度为2
1I 2
对称轴
m1
z
I 0
y
m2
C
x
1 I 2
自由度 对能量无贡献 转动 r 2 , ( , )
f (v ) d v 1
d Nv f (v ) N dv
0
1 f (v ) d v N
N
0
d Nv 1
一个分子速率处于区间 0 的总概率等于1。
28
三、麦克斯韦速率分布律（1859） 温度为 T 的平衡态下，气体分子速率分布的 概率密度为
m f ( v ) 4 2 kT
这里，只考虑那些对能量有贡献的自由度。 1、单原子分子（如 He，Ne） 质点，只有平动自由度 t 3 , ( x, y, z )
能量表达式中包括 3 个平方项。 分子平均能量： t t kT 3 kT 2 2
14
分子能量表达式中平方项的数目与自由度有关。
2、双原子分子（如 O2 ，H2 ，CO ）
2
1 I 2 绕过质心轴的转动动能： 2 1 v2 原子间的振动动能： 2
－约化质量， v－相对速度。
2
1 原子间的振动势能： 2
－等效劲度系数， －键长的变化。
振动包 括二个 平方项
12
在温度 T 的平衡态下，一个分子的能量的 统计平均值是多少？
对于平动动能，已经知道
0
v e
2
m v 2 / 2 kT
dv
由积分公式
0
x e
2
x 2
dx
，得 32 4
0
f (v ) d v 1
31
f (v )
T
m f ( v ) 4 2 kT
3/ 2
v e
2
m v 2 / 2 kT
0
vp
v
df (v ) 0 最概然速率：由 dv v p
3/ 2
v e
2
m v 2 / 2 kT
f (v )
T, m
dN v f (v )dv N
【演示】速率分 v 布模拟
29
0
v v dv
高斯积分：
0 e d x 2 1 2 x 2 1 0 x e d x 2 2 x x 3 2 0 x e d 4
4
100 ~ 102 eV
1 eV 热能相当温度～ 104 K
(kT ~ 1.6 10
19
J , k 1.38 10
23
J/K)
常温（T~300K，能量~10－2eV）：振动能 级难跃迁，对能量变化不起作用。 “冻结” 振动自由度，分子可视为刚性。 22
刚性分子：常温，不计振动自由度
3 2 kT 5 t r kT kT 2 2 3kT 5 2 kT （单 原 子） （双 原 子） （非 直 线 型 多 原 子 ） （直 线 型 多 原 子 ）
晶格点阵上的离子：只有振动自由度
2 s kT 2 3 kT 3kT 2 2
23
2 i ix
1 v2 v 3
2 x
2 n P 3 twenku.baidu.com
1 m v 2 —平动动能的统计平均值 t 2 压强（宏观量）与分子平动动能（微观 量）的统计平均值成正比。 8
如何取小体元 V v ix t A ？ 宏观小 微观大
宏观小：
A
v i t
x
例如 V 109 cm3
§2.4 麦克斯韦速率分布律 一、统计规律 一个小球落在哪里 有偶然性；少量小球 的分布每次都可能不 同；大量小球的分布 却是稳定的。
【演示】伽尔顿板
统计规律：对大量偶然事件整体起作用的 稳定的规律 。
24
对任何一个分子，速度取值和取向都是偶然 事件，不可预知。但对平衡态下大量气体分 子，速度的分布将具有稳定的规律 — 麦克 斯韦速度分布律。 只考虑速度大小的分布 — 麦克斯韦速率分 布律。
热 学
Heat
第2章 气体动理论
2005年秋季学期 陈信义编
目 录 △：自学 §2.1理想气体的压强 【演示】气体压强模拟 §2.2 温度的微观意义 §2.3 能量均分定理 §2.4 麦克斯韦速率分布律 【演示】伽尔顿板 速率分布
△§2.5
麦克斯韦速率分布律的实验验证 §2.6 玻耳兹曼分布 能量均分定理的证明(补充) △§2.7 实际气体等温线
§2.8 范德瓦耳斯方程 §2.9 气体分子的平均自由程 △§2.10 输运过程 【演示】空气粘滞（卧式转盘）
3
§2.1 理想气体的压强 【演示】气体压强模拟 一、理想气体的微观假设 1、关于每个分子力学性质的假设 （1）质点 (分子线度<<分子间平均距离) （2）遵从牛顿力学规律 （3）除碰撞瞬间，分子间、分子与器壁间无相 互作用力。 （4）分子间、分子与器壁间的碰撞—弹性碰撞
vp
2kT m
2 RT RT 1.41 M M
32
同种气体不同温度的分布：
f(v)
T1
v p 1.41 kT m
T2 >T1
T2 T1 v p 2 v p1
v
0
vp1 vp2
0
f (v ) d v 1
【思考】画出相同温度不同m气体的速率分布。
33
四 、用分布函数计算与速率有关的物理量在速 率 0 ~ 区间内的平均值
m－分子质量
N—分子总数 V—体积
N —分子数密度 n V Ni —速度为 v i 分子数密度 ni V
n ni , N N i
i i
6
A
v i t
一个分子对A冲量： x 2m vix
t 内所有v i 分子对A冲量：
I i ( ni v ix tA)( 2mv ix ) 2ni mv tA
W
W (v ) f (v ) dv
0
其中，分布函数已归一化
一般情况下
0
f (v ) d v 1 。
W
0
W (v ) f (v ) dv
0
f (v ) dv
34
证明：
dNv W W (v ) N 0
dNv W (v ) N d v d v W ( v ) f ( v ) d v
2 ix
v ix t
t 内所有分子对A冲量： 2 1 I I i I i tAm ni v ix 2 i v 0 i
ix
F I m n v 2 压强： P i ix A tA i
7
求统计平均值：
ni 2 2 P m n v nm v ix nm v x n i i
微观大： 标准状态下空气 19 -3 n 2.7 10 cm 10 N n V 2.7 10 涨落0
9
v ix t
§2.2 温度的微观意义
P 2 n t （统计力学） 3 P nkT （热力学）
3 kT t 2
热力学温度是分子平均平动动能的量度。 下面会看到，分子热运动的平均转动和平 均振动动能，也都和温度有关。 温度反映了物体内部分子无规则运动的激 烈程度。 10
v1
v2
正确结果为：
W v1 ~ v 2 W (v ) f (v )dv
v1 v2 v2
f (v )dv
0
v1
W 0 ~ W (v ) f (v )dv
17
平动 + 转动 + 振动 （1）平动自由度为3 （2）转动自由度 非直线型分子（如H2O）转动自由度为3 z 对称轴 1 I 3、多原子分子
2
H
O
.
.
H
.
1 I 2
y
x
1I 2
r 3 , ( , , )
18
直线型分子（如CO2）转动自由度为2 （3）振动自由度
16
本体坐标系
振动自由度为1
m1
微振动～简谐振动
1 v2 动能 2
？
m2
势能 1 2 2
2个平方项
振动自由度 s 1，但 s 2 s kT kT 。 2 双原子分子的平均能量
t r 2 s kT 3 2 2 1 kT 7 kT
2 2 2
（1）温度描述热力学系统的平衡态
（2）温度是一个统计概念，描述大量分子的 集体状态。 （3）温度所反映的运动，是在质心系中表现 的分子的无规则运动（热运动）。 1 3 2 方均根速率： 由 m v kT 2 2
v rms v
2
3kT m
3 RT RT 1.73 M M
11
§2.3 能量均分定理 一个分子的能量，总能写成关于坐标和速度 的平方项之和： 1 m (v 2 v 2 v 2 ) 质心平动动能： y z x
0
0
dNv 其中 f (v ) ，满足 f (v ) d v 1 。如 果 Ndv 0 不归一化，则有 归一化 W (v ) f (v ) dv 0 W f (v ) dv
0
35
例. 计算物理量 W（v）在速率区间v1v2内按 速率的平均值。
解： v1 ~ v 2 W (v ) f (v )dv 对吗？ W
1 mv 2 1 kT x , y , z 2 , 2
一般地，后面将证明： 在温度 T 的平衡态下，分子能量表达式中 任何一个平方项的统计平均值都等于 1 kT。 2
13
一、气体分子的自由度（degree of freedom） 力学对自由度的定义：确定物体空间位置的 独立坐标的数目。
26
速率分布函数的含义：
d Nv f (v ) N dv
在速率v附近，单位速率区间内的分子数占 分子总数的百分比。 对于一个分子，其速率处于v附近单位速率 区间的概率 — 速率分布的 “概率密度”。 v2 【思考】 f (v ) d v 的物理含义? v1 27
归一化条件：
因为
0
x 2
2
x 12 0 x e d 2 3 4 x 2 x e dx 5 2 0 8
3 x 2
30
验证归一化：
m f ( v ) 4 2 kT
3/ 2
v e
3/ 2
2
m v 2 / 2 kT
0
m f (v ) d v 4 2 kT
直接给出速率分布律。讲完玻耳兹曼分布律 后推导。自学：速度分布律，速度分布律 速率分布律。
25
二、速率分布函数
vz
dv
速率分布函数：
(v x , v y , v z )
v
d Nv
d Nv f (v ) N dv
d N v ：速率 v v dv
vx
内的分子数
vy
速度空间
N ：分子总数
和固体）分子的每一个自由度的平均动能都 1 kT。 相等，而且都等于 2 分子运动总平均能量：
i kT , i t r 2s 2
物理解释：分子频繁碰撞，统计地看，能量在 各个自由度上均分。转动？振动？§2.6证明。
21
平动能量连续
转动能级间隔小
振动能级间隔大
10 ~ 10 eV
2
4
2、关于分子集体运动的统计假设
（1）通过碰撞分子速度不断变化 （2）无外场时，平衡态分子按位置均匀分布
dN N n dV V
（3）平衡态分子速度取向各方向等概率
v x v y vz 0
1 v2 v x v y vz 3
2 2 2
5
二、理想气体压强公式的推导
平衡态 忽略重力 分子看成质点
非直线型分子（如H2O）
由n（>2）个原子组成的分子，一般最多有 3n个自由度，其中3个平动，3个转动，其余为 振动自由度 s 3n 6，例如n=3
s 3 3 6 3 t r 2 s kT 2 3 3 2 3 kT 6kT 19 2
直线型分子
s 3n 5
例如CO2 s 3 3 5 4
O=C=O
对称伸缩
O=C=O
反对称伸缩
O=C=O
面内变形 分子的平均能量：
O=C=O
面外变形
t r 2 s kT 3 2 2 4 kT 13 kT 2 2 2
20
二 、能量均分定理
在温度 T 的平衡态下，物质（气体、液体
平动 + 转动 + 振动
刚性分子：平动 + 转动 平动自由度为3
m1
平动 t 3 , ( x, y, z )
m2
C ( x, y, z ) 质心
15
转动自由度为2
1I 2
对称轴
m1
z
I 0
y
m2
C
x
1 I 2
自由度 对能量无贡献 转动 r 2 , ( , )
f (v ) d v 1
d Nv f (v ) N dv
0
1 f (v ) d v N
N
0
d Nv 1
一个分子速率处于区间 0 的总概率等于1。
28
三、麦克斯韦速率分布律（1859） 温度为 T 的平衡态下，气体分子速率分布的 概率密度为
m f ( v ) 4 2 kT
这里，只考虑那些对能量有贡献的自由度。 1、单原子分子（如 He，Ne） 质点，只有平动自由度 t 3 , ( x, y, z )
能量表达式中包括 3 个平方项。 分子平均能量： t t kT 3 kT 2 2
14
分子能量表达式中平方项的数目与自由度有关。
2、双原子分子（如 O2 ，H2 ，CO ）
2
1 I 2 绕过质心轴的转动动能： 2 1 v2 原子间的振动动能： 2
－约化质量， v－相对速度。
2
1 原子间的振动势能： 2
－等效劲度系数， －键长的变化。
振动包 括二个 平方项
12
在温度 T 的平衡态下，一个分子的能量的 统计平均值是多少？
对于平动动能，已经知道
0
v e
2
m v 2 / 2 kT
dv
由积分公式
0
x e
2
x 2
dx
，得 32 4
0
f (v ) d v 1
31
f (v )
T
m f ( v ) 4 2 kT
3/ 2
v e
2
m v 2 / 2 kT
0
vp
v
df (v ) 0 最概然速率：由 dv v p
3/ 2
v e
2
m v 2 / 2 kT
f (v )
T, m
dN v f (v )dv N
【演示】速率分 v 布模拟
29
0
v v dv
高斯积分：
0 e d x 2 1 2 x 2 1 0 x e d x 2 2 x x 3 2 0 x e d 4
4
100 ~ 102 eV
1 eV 热能相当温度～ 104 K
(kT ~ 1.6 10
19
J , k 1.38 10
23
J/K)
常温（T~300K，能量~10－2eV）：振动能 级难跃迁，对能量变化不起作用。 “冻结” 振动自由度，分子可视为刚性。 22
刚性分子：常温，不计振动自由度
3 2 kT 5 t r kT kT 2 2 3kT 5 2 kT （单 原 子） （双 原 子） （非 直 线 型 多 原 子 ） （直 线 型 多 原 子 ）
晶格点阵上的离子：只有振动自由度
2 s kT 2 3 kT 3kT 2 2
23
2 i ix
1 v2 v 3
2 x
2 n P 3 twenku.baidu.com
1 m v 2 —平动动能的统计平均值 t 2 压强（宏观量）与分子平动动能（微观 量）的统计平均值成正比。 8
如何取小体元 V v ix t A ？ 宏观小 微观大
宏观小：
A
v i t
x
例如 V 109 cm3
§2.4 麦克斯韦速率分布律 一、统计规律 一个小球落在哪里 有偶然性；少量小球 的分布每次都可能不 同；大量小球的分布 却是稳定的。
【演示】伽尔顿板
统计规律：对大量偶然事件整体起作用的 稳定的规律 。
24
对任何一个分子，速度取值和取向都是偶然 事件，不可预知。但对平衡态下大量气体分 子，速度的分布将具有稳定的规律 — 麦克 斯韦速度分布律。 只考虑速度大小的分布 — 麦克斯韦速率分 布律。
热 学
Heat
第2章 气体动理论
2005年秋季学期 陈信义编
目 录 △：自学 §2.1理想气体的压强 【演示】气体压强模拟 §2.2 温度的微观意义 §2.3 能量均分定理 §2.4 麦克斯韦速率分布律 【演示】伽尔顿板 速率分布
△§2.5
麦克斯韦速率分布律的实验验证 §2.6 玻耳兹曼分布 能量均分定理的证明(补充) △§2.7 实际气体等温线