第十章 工程力学之弯曲应力

根据上述观察到的现象可作如下两个假设： •梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，并始终垂直 于梁的轴线，这就是梁的平面假设。 •纵向纤维之间没有相互挤压，每根纵向纤维只受到简单拉 伸或压缩。
根据变形和平面假设，经分析得如下两个结论： •纯弯曲梁横截面上没有剪应力，只有正应力。
•纯弯曲梁有一个中性层，每个横截面有一个中性轴。
二、变形的物理关系 梁纯弯曲时，我们设想纵向纤维只产生 简单拉伸或压缩，在正应力没有超过材料 的比例极限时，由虎克定律和式（10-1） 得 y E E

上式即为横截面上弯曲正应力的分布规律。它表明： 梁纯 弯曲时，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正 比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。矩形截面梁横截 面上正应力的分布规律如图10-3所示，显然在中性轴上各点的 正应力为零，而在中性轴的一边是拉应力，另一边是压应力； 横截面上、下边缘各点的正应力最大。
如图10-1（a）所示的简支梁，其剪 力图如图10-1（b）所示，弯矩图如图 10-1（c）所示。可以看出梁中间一段 的剪力为零，而弯矩为常数，即为纯 弯曲； AC 和DB 段上既有剪力，又有 弯矩，为横力弯曲。
一、变形的几何关系 1. 梁的变形特点
如图10-2（a）所示，取梁的纵向对称面为xy平面。梁上的 外载荷就作用Leabharlann Baidu这个平面内，梁的轴线在弯曲变形后也位于这 个平面内。
中性层： 由于变形的连续性，纵向纤维从伸长区到缩短区， 必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，这一长度不变的 过渡层，称为中性层 中性轴： 中性层与横截面的交线。根据梁受力和变形的对 称性，中性轴一定与对称轴垂直。
2. 梁的变形规律 可以证明，纯弯曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图10-2(b) 中代表横截面的线段mn和m1n1延长，相交于C点，C点就是梁轴 弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角， 表 示中性层 O1O2 的曲率半径，因为中性层的纤维长度 O1O2 不变， 故有
加载之前，先在梁的侧面，分别画上与梁轴线垂直的横线mn、 m1n1，与梁轴线平行的纵线ab、a1b1，前二者代表梁的横截面； 后二者代表梁的纵向纤维。如图10-2（a）所示。
在梁的两端加一对力偶，梁处于纯弯曲状态，将产生如图 10-2（b）、图10-2（c）所示的弯曲变形，可以观察到以下 现象： •两条横线仍为直线，仍与纵线垂直，只是横线间作相对 转动，由平行线变为相交线。 •梁上纵线（包括轴线）都变成了圆弧线，近凹边的纵线缩 短，近凸边的纵线伸长。 •横截面的高度不变，而横截面的宽度在纵向纤维的缩短区 有所增加，在纵向纤维的伸长区有所减少，如图10-2（c） 所示。
三、变形的静力学研究 在梁的横截面上任取一微面积 dA ，如图10-4所示，作用在 这微面积上的力为 dA，因为横截面上没有轴向内力，所以作 用在各微面积 dA 上的力 dA 的合力应等于零，即有
FN A dA 0
将式（10－2）代入上式，得

E

A
ydA 0
因为 E 0，所以一定有
纯弯曲梁横截面上的内力为一力偶，即弯矩。该弯矩就是 横截面上所有微面积的内力的合力，即有
A ( dA) y M
将式（10-2）代入上式，得 E 2 y A dA M

表示。其单位为米4（m4）或毫米4（mm4）。于是上式即为
2 y 式中定积分 A dA 称为横截面对中性轴z的惯性矩，用IZ
2. 最大弯曲正应力公式 从式（10-5）可知，梁横截面最外边缘处的弯曲正应力最大。 最大弯曲正应力的求解可以分为以下几种情况： •如果横截面对称于中性轴。例如矩形，以ymax表示最外缘 处到中性轴的距离，则横截面上的最大弯曲正应力为 Mymax max IZ Iz WZ 令 ymax M max 则 WZ 式中WZ称为横截面对中性轴z的抗弯截面模量，简称抗弯 截面模量。单位是立方米（m3）或立方毫米（mm3）。
第十章 工程力学之弯曲应力
§10–1 纯弯曲时梁的正应力 §10–2 常用截面的惯性矩、平行移轴公式 §10–3 弯曲正应力的强度条件
§10–4 提高梁弯曲强度的措施
§10-1 纯弯曲时梁的正应力 纯弯曲： 梁内各横截面上的剪力为零、弯矩为常数的受力 状态。 横力弯曲： 弯曲梁横截面上既有剪力、又有弯矩的受力状态。
O1O2
在如图10-2所示的坐标系中，y轴为横截面的对称轴，z轴为 中性轴，则距中性层为y的任一纵向纤维ab，变形后的长度为
ab ( y)
其线应变为
ab O1O2 O1O2 ( y ) y
这就是横截面上各点的纵向线应变沿截面高度的变化规律。 它说明梁内任一纵向纤维的线应变ε 与该纤维到中性层的距离 y成正比，与中性层的曲率半径 成反比。
M EI Z
1
该公式称为梁弯曲变形的基本公式。它说明梁轴曲线的曲率 与弯矩M成正比，与EIZ成反比。EIZ称为梁的抗弯刚度。
1
四、梁的弯曲正应力
1. 梁的弯曲正应力 公式将式（10-3）代入式（10-2），得 My IZ
这就是纯弯曲梁横截面上的正应力公式。公式中的负号与 坐标系中y轴的正方向有关。应用式（10-4）时，要将M和y按 规定的正负号代入，求得的弯曲正应力σ 如果是正号，即为 拉应力，如果是负号，即为压应力。但在实际计算中通常用M 和y的绝对值来计算σ 的大小，再根据梁的变形情况，直接判 断是拉应力还是压应力。梁弯曲变形后，凸边的应力为拉应 力，凹边的应力为压应力。这样就可把式（10-4）中的负号 去掉，改写为 My IZ

A
ydA yc A 0
积分 A ydA 称为整个横截面对中性轴z的静矩，单位为立方 米（m3）或立方毫米（mm3）。yC为该截面的形心坐标。因 A≠0，则yC=0，即中性轴z必通过横截面的形心。这样中性轴 的位置就确定了。因为y轴是横截面的对称轴，显然也通过横 截面的形心，可见在横截面上所选的坐标原点O就是横截面的 形心。