2020年高考模拟复习知识点试卷试题之全国卷高考复习--平面向量(知识总结题型)

)
A.( － 7，－ 4)
B.(7 ， 4)
C.( － 1， 4)
D.(1 ， 4)
3.(2019 ·全国Ⅱ卷 ) 已知向量 a＝ ( m，4) ， b＝ (3 ，－ 2) ，且 a∥ b，则 m＝ ________.
4.( 必修 4P101A3改编 ) 已知 ?ABCD的顶点 A( －1，－ 2) ， B(3 ，－ 1) ， C(5 ， 6) ，则顶点 D的坐
考点二 平面向量的坐标运算
【例 2】(1) 已知向量 a＝(5 ，2) ，b＝ ( － 4，－ 3) ，c＝( x，y) ，若 3a－ 2b＋ c＝ 0，则 c＝ ( )
A.( － 23，－ 12)
B.(23 ， 12)
C.(7 ，0)
D.( － 7， 0)
【训练 2】 (1) 已知点 A( － 1， 5) 和向量 a＝ (2 ， 3) ，若 A→B＝ 3a，则点 B 的坐标为 (
P的坐标为
________.
【训练 3】 (1)(2018 ·浙江三市十二校联考 ) 已知点 A(1 ， 3) ，B(4 ，－ 1) ，则与 A→B同方向的
单位向量是 ( )
34 A. 5，－ 5
43
B. 5，－ 5
C.
34 －5， 5
43 D. － 5，5
(2) 若三点 A(1 ，－ 5) ， B( a，－ 2) ，C( － 2，－ 1) 共线，则实数 a 的值为 ________.
【例 1】 下列命题中，不正确的是 ________( 填序号 ).
①若 | a| ＝ | b| ，则 a＝ b；
②若 A，B， C， D 是不共线的四点，则“ A→B＝D→C”是“四边形 ABCD为平行四边形”的充要条
件；
③若 a＝b， b＝ c，则 a＝ c.
【训练 1】 下列命题中，正确的是 ________( 填序号 ).
第一部分 平面向量的概念及线性运算
1. 向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量； 向量的大小叫做向 量的长度 ( 或称模 )
平面向量是自由向量
零向量 单位向量
长度为零的向量；其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量
记作 0 a
非零向量 a 的单位向量为± | a|
平行向量
方向相同或相反的非零向量
2π 3.(2019 ·石家庄模拟 ) 已知平面向量 a，b 的夹角为 3 ，| a| ＝ 2，| b| ＝ 1，则| a＋ b| ＝________.
-5-
5.( 必修 4P104 例 1 改编 ) 已知 | a| ＝ 5， | b| ＝ 4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 ________.
C.
13A→B＋
1D→A 2
D.
12A→B－
2A→D 3
考点三 共线向量定理及其应用
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线 .
(1) 若 A→B＝ a＋ b，B→C＝ 2a＋ 8b，C→D＝ 3( a－b). 求证： A， B， D三点共线；
(2) 试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋ kb 共线 .
【训练 3】已知向量 A→B＝ a＋3b， B→C＝ 5a＋ 3b， C→D＝－ 3a＋ 3b，则 (
)
A. A， B， C三点共线
B. A， B， D三点共线
C. A， C， D三点共线
D. B， C， D三点共线
第二部分 平面向量基本定理与坐标表示
1. 平面向量的基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
x21＋ y21·
x22
＋
y
2.
2
(4) 两非零向量 a⊥ b 的充要条件： a·b＝ 0? x1x2＋y1y2＝ 0.
(5)| a·b| ≤｜a|| b|( 当且仅当 a∥ b 时等号成立 ) ? | x1x2＋ y1y2| ≤ x21＋ y21· x22＋ y22.
3. 平面向量数量积的运算律： (1) a· b＝ b·a( 交换律 ).(2) λ a·b＝ λ( a· b) ＝ a·（λb)( 结
B→C＝ ________( 用 a， b 表示 ).
6.(2018 ·嘉兴七校联考
)设
D，E 分别是△
ABC的边
AB，BC上的点，
AD＝
1
2
2AB，BE＝3BC，若
D→E
＝ λ1A→B＋λ2A→C( λ1， λ 2 为实数 ) ，则 λ1＝ ________， λ2＝ ________.
考点一 平面向量的概念
)
A.(7 ，4)
B.(7 ， 14)
C.(5 ，4)
D.(5 ， 14)
(2)(2015 ·江苏卷 ) 已知向量 a＝ (2 ， 1) ， b＝ (1 ，－ 2). 若 ma＋ nb＝ (9 ，－ 8)( m，n∈ R) ，则 m
－ n 的值为 ________.
考点三 平面向量共线的坐标表示
-4-
标为 ________.
考点一 平面向量基本定理及其应用
【例 1】 ( 2014·全国Ⅰ卷 ) 设 D， E， F 分别为△ ABC的三边 BC，CA， AB的中点，则 E→B＋ F→C＝
()
A. A→D
B. 1A→D 2
C. 1B→C 2
D. B→C
【训练 1】如图，已知 A→B＝ a，A→C＝ b，B→D＝ 3D→C，用 a，b 表示 A→D，则 A→D＝ ________.
-2-
同或相反；
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小
.
答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
1 【例 2】 (2018 ·潍坊模拟 ) 在△ ABC中， P，Q分别是 AB， BC的三等分点，且 AP＝3AB， BQ＝
1 BC.
若
A→B＝
a，
A→C＝
b，则
P→Q＝(
求 a 与 b 的相反向量
减法
－b 的和的 运算叫做
a－ b＝a＋( － b)
a 与 b 的差
(1)| λa| ＝ | λ|| a| ；
(2) 当 λ＞ 0 时，λ a 的方向与 a λ( μa) ＝ λμ a；
求实数 λ 与向量 a
数乘
的方向相同；当 λ＜ 0 时， λa ( λ＋ μ) a＝λ a＋ μa；
【例 3】 (1) 已知平面向量 a＝ (1 ， 2) ， b＝ ( －2， m) ，且 a∥ b，则 2a＋ 3b＝________.
(2)( 必修 4P101 练习 7 改编 ) 已知 A(2 ， 3) ， B(4 ，－ 3) ，点 P 在线段 AB的延长线上，且 | AP|
3
＝
| 2
BP|
，则点
)
3
11 A. 3a＋3b
11 B. － 3a＋ 3b
11 C. 3a－3b
11 D. － 3a－ 3b
【训练 2】 (1) 如图，正方形 ABCD中，点 E 是 DC的中点，点 F 是 BC的一个
靠近 B点的三等分点，那么 E→F等于 (
)
A. 12A→B－13A→D
B. 14A→B＋ 12A→D
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
.
解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相
合律 ).(3)( a＋ b) · c＝ a· c＋b· c( 分配律 ).
【基础练习】
1.(2015 ·全国Ⅱ卷 ) 向量 a＝ (1 ，－ 1) ， b＝( － 1， 2) ，则 (2 a＋ b) · a 等于 ( )
A. － 1
B.0
C.1
D.2
2.(2018 ·湖州模拟 ) 已知向量 a，b，其中 | a| ＝ 3， | b| ＝2，且 ( a－ b) ⊥a，则向量 a 和 b 的 夹角是 ________.
【基础练习】
1.(2018 ·东阳月考 ) 已知向量 a＝ (2 ，4) ， b＝ ( － 1， 1) ，则 2a＋b 等于 ( )
A.(5 ，7)
B.(5 ，9)
C.(3 ， 7)
D.(3 ，9)
2.(2015 ·全国Ⅰ卷 ) 已知点 A(0 ， 1) ， B(3 ， 2) ，向量 →AC＝ ( － 4，－ 3) ，则向量 B→C＝ (
第三部分 平面向量的数量积及其应用
1. 平面向量数量积的有关概念
(1) 向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记 O→A＝ a，O→B＝ b，则∠ AOB＝θ(0 °≤ θ≤180°）
叫做向量 a 与 b 的夹角 .
(2) 数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量 | a|| b|cos__ θ 叫做
)
(2) 若 a∥ b， b∥ c，则 a∥ c.(
)
(3) 向量 A→B与向量 C→D是共线向量，则 A， B， C，D四点在一条直线上 .(
)
(4) 当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b＝ λa，反之成立 .(
)
(5)
在△
ABC中， D是
BC中点，则
A→D＝
1 (
2
A→C＋A→B).(
)
λD→C(
λ∈
R)
，
则 λ＝(
)
A.2
B.3
C. － 2
D. － 3
4.(2015 ·全国Ⅱ卷 ) 设向量 a，b 不平行，向量 λa＋ b 与 a＋ 2b 平行，则实数 λ ＝ ____________.
5.( 必修 4P92A12改编 ) 已知 ?ABCD的对角线 AC和 BD相交于 O，且 O→A＝ a，O→B＝ b，则→DC＝ ______，
(2) 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标
.
②设 A( x1，y1) ， B( x2，y2) ，则 A→B＝( x2－ x1， y2－ y1 ) ， | A→B| ＝ （ x2－x1）2＋（ y2－ y1）2.
4. 平面向量共线的坐标表示
设 a＝ ( x1，y1) ， b＝ ( x2， y2) ，则 a∥ b? x1y2－ x2y1＝0.
2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若
a，b 都是单位向量，则 a＝ b；
③向量 A→B与 B→A相等 . 则所有正确命题的序号是 (
)
A. ①
B. ③
C.①③
D.①②
3.(2018 ·枣庄模拟 ) 设 D 为△ ABC所在平面内一点，
A→D＝－
1A→B＋4A→C，若 33
→BC＝
的积的运算
的方向与 a 的方向相反； 当 λ＝ λ( a＋ b) ＝ λa＋ λb
0 时， λa＝ 0
3. 共线向量定理
向量 a( a≠ 0) 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b＝ λa.
源自文库
-1-
【基础练习】
1. 判断正误 ( 在括号内打“√”或“×”）
(1) 零向量与任意向量平行 .(
a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记作 a· b，即 a· b＝| a|| b|cos__ θ，规定零向量与任一向量的数
量积为 0，即 0·a＝ 0.
(3) 数量积几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度 | a| 与 b 在 a 的方向上的投影 | b|cos θ 的乘积 .
2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 量
0 与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等， 不能比较 大小
相反向量 2. 向量的线性运算
长度相等且方向相反的向量
0 的相反向量为 0
向量 运算
定义
法则 ( 或几何意义 )
运算律
加法 求两个向量和的运算
(1) 交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2) 结合律： ( a＋ b) ＋c＝ a＋ ( b＋ c)
设向量 a＝ ( x1， y1) ，b＝ ( x2， y2) ，θ 为向量 a， b 的夹角 .
(1) 数量积： a·b＝ | a|| b|cos θ＝ x1x2＋ y1y2. (2) 模： | a| ＝ a· a＝ x21＋ y21.
a· b
x1x2＋ y1y2
(3) 夹角： cos θ＝ | a|| b| ＝
对实数 λ 1， λ2，使 a＝ λ1e1＋ λ2e2.
其中，不共线的向量 e1， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
2. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解
.
3. 平面向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模
a，有且只有一
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设 a＝ ( x1，y1) ， b＝ ( x2， y2) ，则 a＋ b＝ ( x1＋ x2， y1＋ y2) ，a－ b＝ ( x1－ x2， y1－ y2) ， λa＝ ( λｘ1， λｙ1) ， | a| ＝ x21＋ y21.