第三章 3.3 第2课时

第2课时 一元二次不等式的应用及恒成立问题

学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法. 知识点一 分式不等式的解法 思考

x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3

x ＋2

>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？ 答案 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式. 梳理 一般的分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )

>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )

g (x )≤0⇔⎩

⎪

⎨⎪⎧

f (x )·

g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )

≥0. 知识点二 一元二次不等式恒成立问题

思考 x －1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2，3]与不等式x －1>0的解集有什么关系？

答案 x －1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是函数y ＝x －1在区间[2，3]上的图象恒在x 轴上方.区间[2，3]内的元素一定是不等式x －1>0的解，反之不一定成立，故区间[2，3]是不等式x －1>0的解集的子集.

梳理 一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方.区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的子集. 含参不等式的恒成立问题通常转化为分离参数求最值问题，即： 若f (x )有最大值，则k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ； 若f (x )有最小值，则k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .

1.若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × )

2.不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )

3.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( √ )

类型一 分式不等式的解法

例1 解下列不等式： (1)x ＋12x －3

≤1； (2)若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，求关于x 的不等式ax ＋b

x －2>0的解集.

解 (1)∵x ＋1

2x －3≤1，

∴

x ＋1

2x －3

－1≤0， ∴

－x ＋42x －3≤0，即x －4

x －32≥0.

此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －3

2≠0， 解得x <3

2

或x ≥4，

∴原不等式的解集为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x <3

2

或x ≥4. (2)由ax －b >0的解集为(1，＋∞)，知a >0且a ＝b . 由

ax ＋b

x －2

>0，得(ax ＋b )(x －2)>0. 令(ax ＋b )(x －2)＝0得，x 1＝－b

a ＝－1，x 2＝2.

∴(ax ＋b )(x －2)>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). 即

ax ＋b

x －2

>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). 反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )

g (x )≥0(≤0)，

再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 跟踪训练1 解下列不等式. (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x

x ＋3

>1. 解 (1)原不等式可化为⎩

⎪⎨⎪⎧

(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.

解得⎩⎨⎧

x ≤－13或x ≥12

，

x ≠－1

3，

∴x <－13或x ≥1

2

，

∴原不等式的解集为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪

⎪

x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋3<0，

2－x

解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧

x <－3，

x >－1

2，

∴－3

，

∴原不等式的解集为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪

⎪

－30，化简得－2x －1

x ＋3>0，

即

2x ＋1

x ＋3

<0， ∴(2x ＋1)(x ＋3)<0， 解得－3

2

.

∴原不等式的解集为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪

⎪

－3

例2 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R . 解 (1)当a 2－1＝0即a ＝1或－1时， ①由a ＝1，得原不等式为－1<0，恒成立.

②由a ＝－1，得原不等式为2x －1<0即x <1

2

，不合题意，舍去.